Exercices — Calcul intégral (Terminale Spécialité)
Série complète « type Bac » : intégrales définies • aires • comparaisons • paramètres • IPP.
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Exercice 1 — Intégrale définie (calcul direct)
Calculer \(\displaystyle I=\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx\).
Une primitive est \(F(x)=x^3-2x^2+x\).
\[
I=F(2)-F(0)=2.
\]
Exercice 2 — Aire sous une courbe
Soit \(f(x)=x^2\). Calculer l’aire sous la courbe sur \([0;1]\).
\[
A=\int_0^1 x^2 dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13.
\]
Exercice 3 — Aire entre deux courbes
Calculer l’aire entre \(y=x\) et \(y=x^2\) sur \([0;1]\).
Sur \([0;1]\), \(x\ge x^2\).
\[
A=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac16.
\]
Exercice 4 — Comparaison d’intégrales
Comparer \(\int_0^1 x^2 dx\) et \(\int_0^1 x dx\).
Sur \([0;1]\), \(x^2\le x\) donc
\[
\int_0^1 x^2 dx \le \int_0^1 x dx.
\]
Exercice 5 — Paramètre
Calculer \(\displaystyle I(a)=\int_0^1 ax\,dx\).
\[
I(a)=a\int_0^1 x dx=\frac{a}{2}.
\]
Exercice 6 — Valeur absolue
Calculer \(\int_{-1}^1 |x| dx\).
\[
\int_{-1}^1 |x|dx=2\int_0^1 x dx=1.
\]
Exercice 7 — IPP (admis)
Calculer \(\int x e^x dx\).
IPP : \(u=x,\ v'=e^x\).
\[
\int xe^x dx=xe^x-e^x+C.
\]
Exercice 8 — Sujet Bac complet
On considère \(f(x)=x^2-1\). 1) Étudier le signe de \(f\). 2) Calculer l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses sur \([-1;1]\).
\(f(x)\le0\) sur \([-1;1]\).
\[
A=\int_{-1}^1 |x^2-1|dx=2\int_0^1(1-x^2)dx=\frac43.
\]