Exercices — Calcul intégral
Série progressive et avancée : primitives composées, aires, valeur moyenne, encadrements, comparaison d’intégrales,
fonctions définies par intégrale, paramètres et intégration par parties .
Objectif Rédaction type Bac avec calcul exact.
Niveau Terminale Spé — solide à très avancé.
IPP Directe, répétée, suites d’intégrales.
Méthode Indice détaillé puis correction complète.
Exercice 1
Primitives composées — automatisme indispensable
Solide
Calculer les intégrales suivantes :
\(I=\displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx\)
\(J=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{3x^2}{1+x^3}\,dx\)
\(K=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{2x}{x^2+3}\,dx\)
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Il faut reconnaître une forme \(u'(x)e^{u(x)}\) ou \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Pour \(2x e^{x^2}\), poser mentalement \(u=x^2\).
Pour \(\dfrac{3x^2}{1+x^3}\), le dénominateur a pour dérivée le numérateur.
Pour \(\dfrac{2x}{x^2+3}\), même idée avec \(u=x^2+3\).
Correction détaillée
On utilise les primitives composées.
Pour \(I\), une primitive de \(2x e^{x^2}\) est \(e^{x^2}\). Donc
\[
I=[e^{x^2}]_0^1=e-1.
\]
Pour \(J\), une primitive est \(\ln(1+x^3)\). Donc
\[
J=[\ln(1+x^3)]_0^1=\ln 2.
\]
Pour \(K\), une primitive est \(\ln(x^2+3)\). Donc
\[
K=[\ln(x^2+3)]_1^2=\ln 7-\ln 4=\ln\left(\frac74\right).
\]
Réponse : \(\boxed{I=e-1,\quad J=\ln2,\quad K=\ln\left(\frac74\right)}\).
Exercice 2
Intégrale et aire algébrique
Solide
Soit \(f(x)=x^2-4x+3\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx\).
Déterminer l’aire géométrique comprise entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\), \(x=4\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Attention : une intégrale peut être négative sur une partie de l’intervalle. Pour une aire géométrique, il faut intégrer \(|f(x)|\).
Commence par factoriser \(f(x)\) pour trouver son signe.
Correction détaillée
On factorise :
\[
f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3).
\]
Donc \(f\ge 0\) sur \([0;1]\cup[3;4]\) et \(f\le0\) sur \([1;3]\).
Une primitive est
\[
F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x.
\]
Alors
\[
\int_0^4 f(x)dx=F(4)-F(0)=\frac{64}{3}-32+12=\frac43.
\]
Pour l’aire géométrique :
\[
A=\int_0^1 f(x)dx-\int_1^3 f(x)dx+\int_3^4 f(x)dx.
\]
On calcule \(F(1)=\frac43\), \(F(3)=0\), \(F(4)=\frac43\), \(F(0)=0\). Donc
\[
A=\frac43-(0-\frac43)+\frac43=4.
\]
Réponse : \(\boxed{\int_0^4 f=\frac43}\) et \(\boxed{A=4}\).
Exercice 3
Aire entre deux courbes
Bac
On considère \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=1+x\) sur \([0;1]\).
Justifier que \(f(x)\ge g(x)\) sur \([0;1]\).
Calculer l’aire comprise entre les deux courbes sur \([0;1]\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Utilise l’inégalité classique \(e^x\ge 1+x\), valable pour tout réel \(x\).
L’aire entre deux courbes est \(\displaystyle\int_a^b (\text{fonction du haut}-\text{fonction du bas})dx\).
Correction détaillée
Pour tout réel \(x\), \(e^x\ge 1+x\). Donc sur \([0;1]\), \(f(x)\ge g(x)\).
L’aire vaut donc
\[
A=\int_0^1(e^x-1-x)dx.
\]
Une primitive est
\[
F(x)=e^x-x-\frac{x^2}{2}.
\]
Ainsi
\[
A=F(1)-F(0)=\left(e-1-\frac12\right)-(1)=e-\frac52.
\]
Réponse : \(\boxed{A=e-\frac52}\).
Exercice 4
Valeur moyenne d’une fonction
Solide
Soit \(f(x)=x e^{x^2}\) sur \([0;2]\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 f(x)dx\).
Déterminer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0;2]\).
💡 Indice
✅ Correction détaillée
Indice
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est
\[
m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx.
\]
Pour la primitive, remarque que \((x^2)'=2x\).
Correction détaillée
Comme \((x^2)'=2x\), une primitive de \(x e^{x^2}\) est \(\dfrac12 e^{x^2}\). Donc
\[
\int_0^2 x e^{x^2}dx=\left[\frac12 e^{x^2}\right]_0^2=\frac12(e^4-1).
\]
La valeur moyenne vaut donc
\[
m=\frac{1}{2-0}\cdot \frac12(e^4-1)=\frac{e^4-1}{4}.
\]
Réponse : \(\boxed{m=\frac{e^4-1}{4}}\).
Exercice 5
Encadrement d’intégrale
Bac
On admet que, pour tout \(x\in[0;1]\),
\[
1\le e^{x^2}\le e^x.
\]
En déduire un encadrement de \(\displaystyle I=\int_0^1 e^{x^2}dx\).
Donner une interprétation graphique de cet encadrement.
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Si \(f\le g\) sur \([a;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g\).
Intègre les deux bornes \(1\) et \(e^x\) sur \([0;1]\).
Correction détaillée
Sur \([0;1]\), on a
\[
1\le e^{x^2}\le e^x.
\]
Par croissance de l’intégrale :
\[
\int_0^1 1dx\le \int_0^1 e^{x^2}dx\le \int_0^1 e^xdx.
\]
Donc
\[
1\le I\le e-1.
\]
Graphiquement, l’aire sous \(e^{x^2}\) est comprise entre l’aire du rectangle de hauteur \(1\) et l’aire sous la courbe \(e^x\).
Réponse : \(\boxed{1\le I\le e-1}\).
Exercice 6
IPP directe — \(xe^x\)
IPP
Calculer exactement :
\[
I=\int_0^1 x e^x\,dx.
\]
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Utilise l’intégration par parties :
\[
\int_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx.
\]
Choisis \(u=x\) et \(v'=e^x\).
Correction détaillée
On pose \(u(x)=x\) et \(v'(x)=e^x\). Alors \(u'(x)=1\) et \(v(x)=e^x\).
Par IPP :
\[
I=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x dx.
\]
Donc
\[
I=e-(e-1)=1.
\]
Réponse : \(\boxed{I=1}\).
Exercice 7
IPP classique — primitive de \(\ln x\)
IPP
Calculer :
\[
J=\int_1^e \ln x\,dx.
\]
En déduire une primitive de \(\ln x\) sur \(]0;+\infty[\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Pour intégrer \(\ln x\), on écrit \(\ln x=1\times\ln x\).
Choisis \(u=\ln x\) et \(v'=1\).
Correction détaillée
On pose \(u(x)=\ln x\) et \(v'(x)=1\). Alors \(u'(x)=\dfrac1x\) et \(v(x)=x\).
Par IPP :
\[
J=[x\ln x]_1^e-\int_1^e x\cdot\frac1x dx.
\]
Donc
\[
J=e-\int_1^e 1dx=e-(e-1)=1.
\]
La même méthode donne une primitive :
\[
\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.
\]
Réponse : \(\boxed{J=1}\) et une primitive est \(\boxed{x\ln x-x}\).
Exercice 8
IPP trigonométrique
IPP
Calculer :
\[
K=\int_0^{\pi} x\cos x\,dx.
\]
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Choisis \(u=x\), car sa dérivée devient plus simple, et \(v'=\cos x\), donc \(v=\sin x\).
Correction détaillée
On pose \(u=x\), \(v'=\cos x\). Alors \(u'=1\), \(v=\sin x\).
\[
K=[x\sin x]_0^\pi-\int_0^\pi \sin x dx.
\]
Le terme de bord vaut \(0\), car \(\sin0=\sin\pi=0\). Donc
\[
K=-[-\cos x]_0^\pi=-(1-(-1))=-2.
\]
Réponse : \(\boxed{K=-2}\).
Exercice 9
IPP répétée — \(x^2e^x\)
Très avancé
Calculer exactement :
\[
I=\int_0^1 x^2e^x\,dx.
\]
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Il faut faire deux IPP successives.
Première IPP : \(u=x^2\), \(v'=e^x\). Il restera \(\int_0^1 2xe^x dx\), qui se calcule encore par IPP.
Correction détaillée
Première IPP avec \(u=x^2\), \(v'=e^x\) :
\[
I=[x^2e^x]_0^1-\int_0^1 2xe^x dx=e-2\int_0^1 xe^x dx.
\]
Or, d’après l’exercice classique :
\[
\int_0^1 xe^x dx=1.
\]
Donc
\[
I=e-2.
\]
Réponse : \(\boxed{I=e-2}\).
Exercice 10
Suite d’intégrales et récurrence par IPP
Très avancé
Pour tout entier naturel \(n\), on pose
\[
I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx.
\]
Calculer \(I_0\).
Montrer que, pour tout \(n\ge1\), \(I_n=e-nI_{n-1}\).
En déduire \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Pour la relation de récurrence, fais une IPP avec \(u=x^n\) et \(v'=e^x\).
Le terme de bord est \([x^ne^x]_0^1=e\) pour \(n\ge1\).
Correction détaillée
On a
\[
I_0=\int_0^1 e^x dx=e-1.
\]
Pour \(n\ge1\), par IPP avec \(u=x^n\), \(v'=e^x\), on obtient
\[
I_n=[x^ne^x]_0^1-\int_0^1 nx^{n-1}e^x dx.
\]
Donc
\[
I_n=e-nI_{n-1}.
\]
Alors
\[
I_1=e-I_0=e-(e-1)=1,
\]
\[
I_2=e-2I_1=e-2,
\]
\[
I_3=e-3I_2=e-3(e-2)=6-2e.
\]
Réponse : \(\boxed{I_0=e-1,\ I_1=1,\ I_2=e-2,\ I_3=6-2e}\).
Exercice 11
Paramètre dans une intégrale
Bac
Pour \(a\in\mathbb{R}\), on pose
\[
I(a)=\int_0^1 (x^2+ax+1)dx.
\]
Exprimer \(I(a)\) en fonction de \(a\).
Déterminer \(a\) pour que \(I(a)=2\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Intègre terme à terme. Tu dois obtenir une expression affine en \(a\).
Correction détaillée
On calcule :
\[
I(a)=\left[\frac{x^3}{3}+a\frac{x^2}{2}+x\right]_0^1=\frac13+\frac a2+1=\frac43+\frac a2.
\]
On veut \(I(a)=2\), donc
\[
\frac43+\frac a2=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac a2=\frac23 \quad\Longleftrightarrow\quad a=\frac43.
\]
Réponse : \(\boxed{I(a)=\frac43+\frac a2}\) et \(\boxed{a=\frac43}\).
Exercice 12
Fonction définie par une intégrale
Bac avancé
On définit, pour \(x\ge0\),
\[
F(x)=\int_0^x (t^2-2t+2)dt.
\]
Exprimer \(F(x)\).
Étudier les variations de \(F\) sur \([0;+\infty[\).
Résoudre \(F(x)=0\) sur \([0;+\infty[\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Par le théorème fondamental, \(F'(x)=x^2-2x+2\).
Regarde le discriminant de \(x^2-2x+2\) pour le signe.
Correction détaillée
On calcule :
\[
F(x)=\left[\frac{t^3}{3}-t^2+2t\right]_0^x=\frac{x^3}{3}-x^2+2x.
\]
De plus
\[
F'(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0.
\]
Donc \(F\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
Enfin
\[
F(x)=x\left(\frac{x^2}{3}-x+2\right).
\]
Le trinôme \(\frac{x^2}{3}-x+2\) a un discriminant \(\Delta=1-\frac83=-\frac53<0\), donc il ne s’annule pas.
Réponse : l’unique solution est \(\boxed{x=0}\).
Exercice 13
Intégrale et inégalité par signe
Bac
Montrer que
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx \le 1.
\]
Puis calculer exactement l’intégrale et vérifier l’inégalité.
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Sur \([0;1]\), on a \(1+x\ge1\), donc \(\dfrac1{1+x}\le1\).
Correction détaillée
Sur \([0;1]\),
\[
0<\frac1{1+x}\le1.
\]
Donc, par croissance de l’intégrale :
\[
\int_0^1 \frac1{1+x}dx\le \int_0^1 1dx=1.
\]
Le calcul exact donne
\[
\int_0^1 \frac1{1+x}dx=[\ln(1+x)]_0^1=\ln2.
\]
Comme \(\ln2\le1\), l’inégalité est vérifiée.
Réponse : \(\boxed{\int_0^1 \frac1{1+x}dx=\ln2\le1}\).
Exercice 14
Aire avec valeur absolue
Bac
Calculer
\[
A=\int_{-2}^{3} |x-1|\,dx.
\]
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Il faut couper l’intervalle au point où \(x-1=0\), donc en \(x=1\).
Sur \([-2;1]\), \(|x-1|=1-x\). Sur \([1;3]\), \(|x-1|=x-1\).
Correction détaillée
On découpe :
\[
A=\int_{-2}^{1}(1-x)dx+\int_1^3(x-1)dx.
\]
Donc
\[
\int_{-2}^{1}(1-x)dx=\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1}=\frac12-(-4)=\frac92,
\]
et
\[
\int_1^3(x-1)dx=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^3=\frac32-\left(-\frac12\right)=2.
\]
Ainsi
\[
A=\frac92+2=\frac{13}{2}.
\]
Réponse : \(\boxed{A=\frac{13}{2}}\).
Exercice 15
Comparaison de deux intégrales
Bac avancé
On pose
\[
I=\int_0^1 x^2e^x dx,\qquad J=\int_0^1 xe^x dx.
\]
Comparer \(I\) et \(J\) sans les calculer.
Calculer \(I\) et \(J\), puis vérifier.
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Sur \([0;1]\), on a \(x^2\le x\). Comme \(e^x>0\), on peut multiplier l’inégalité par \(e^x\).
Correction détaillée
Sur \([0;1]\), \(x^2\le x\), donc \(x^2e^x\le xe^x\). Par croissance de l’intégrale :
\[
I\le J.
\]
On sait que \(J=1\). Pour \(I\), par IPP répétée :
\[
I=e-2.
\]
Comme \(e<3\), on a \(e-2<1\). Donc \(I
Réponse : \(\boxed{I=e-2<1=J}\).
Exercice 16
IPP et équation avec paramètre
Très avancé
Pour \(a\in\mathbb{R}\), on pose
\[
I(a)=\int_0^1 (x+a)e^x dx.
\]
Exprimer \(I(a)\) en fonction de \(a\).
Déterminer \(a\) pour que \(I(a)=e\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Sépare l’intégrale :
\[
I(a)=\int_0^1 xe^x dx+a\int_0^1 e^x dx.
\]
La première intégrale se calcule par IPP.
Correction détaillée
On sépare :
\[
I(a)=\int_0^1 xe^x dx+a\int_0^1 e^x dx.
\]
Or
\[
\int_0^1 xe^x dx=1,\qquad \int_0^1 e^x dx=e-1.
\]
Donc
\[
I(a)=1+a(e-1).
\]
On veut \(I(a)=e\), donc
\[
1+a(e-1)=e \quad\Longleftrightarrow\quad a(e-1)=e-1 \quad\Longleftrightarrow\quad a=1.
\]
Réponse : \(\boxed{I(a)=1+a(e-1)}\) et \(\boxed{a=1}\).
Exercice 17
Intégrale et convexité — estimation
Très avancé
On admet que la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que, pour tout \(x\in[0;1]\), \(e^x\le (1-x)+ex\).
En déduire un majorant de \(\displaystyle\int_0^1 e^x dx\).
Comparer avec la valeur exacte.
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Pour une fonction convexe, la courbe est sous la corde reliant deux points.
Ici, utilise les points \((0;1)\) et \((1;e)\).
Correction détaillée
Par convexité, la courbe de \(e^x\) est sous la corde entre \(x=0\) et \(x=1\). L’équation de cette corde est
\[
y=1+(e-1)x=(1-x)+ex.
\]
Donc, pour \(x\in[0;1]\),
\[
e^x\le 1+(e-1)x.
\]
En intégrant :
\[
\int_0^1 e^x dx\le \int_0^1(1+(e-1)x)dx=1+\frac{e-1}{2}=\frac{e+1}{2}.
\]
La valeur exacte est \(e-1\). L’inégalité devient
\[
e-1\le \frac{e+1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad e\le3,
\]
ce qui est vrai.
Réponse : \(\boxed{\int_0^1 e^x dx\le\frac{e+1}{2}}\).
Exercice 18
Intégrale dépendant d’une borne
Bac
On définit
\[
F(x)=\int_1^x \frac{1}{t}dt\qquad(x>0).
\]
Reconnaître \(F(x)\).
Calculer \(F'(x)\).
Résoudre \(F(x)=2\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Par définition classique, \(\displaystyle\int_1^x \frac1t dt=\ln x\).
Correction détaillée
Pour \(x>0\),
\[
F(x)=\ln x.
\]
Donc
\[
F'(x)=\frac1x.
\]
Résoudre \(F(x)=2\), c’est résoudre \(\ln x=2\). Ainsi
\[
x=e^2.
\]
Réponse : \(\boxed{F(x)=\ln x}\), \(\boxed{F'(x)=\frac1x}\), \(\boxed{x=e^2}\).
Exercice 19
Méthode de Chasles et symétrie
Solide
Calculer sans développer inutilement :
\[
I=\int_{-2}^{2}(x^5-3x^3+2x^2+4)dx.
\]
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Sur un intervalle symétrique \([-a;a]\), l’intégrale d’une fonction impaire est nulle.
Les termes \(x^5\) et \(-3x^3\) sont impairs.
Correction détaillée
On sépare les termes :
\[
I=\int_{-2}^{2}x^5dx-3\int_{-2}^{2}x^3dx+2\int_{-2}^{2}x^2dx+4\int_{-2}^{2}1dx.
\]
Les deux premières intégrales sont nulles car les fonctions sont impaires sur un intervalle symétrique.
Donc
\[
I=2\int_{-2}^{2}x^2dx+4\times4.
\]
Or
\[
\int_{-2}^{2}x^2dx=2\int_0^2x^2dx=2\cdot\frac83=\frac{16}{3}.
\]
Ainsi
\[
I=2\cdot\frac{16}{3}+16=\frac{32}{3}+\frac{48}{3}=\frac{80}{3}.
\]
Réponse : \(\boxed{I=\frac{80}{3}}\).
Exercice 20
Intégrale et aire entre paraboles
Bac
On considère \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x\).
Trouver les points d’intersection des deux courbes.
Calculer l’aire comprise entre les deux courbes.
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Résous \(x^2=2x\). Ensuite détermine quelle fonction est au-dessus sur l’intervalle obtenu.
Correction détaillée
Les intersections vérifient
\[
x^2=2x \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-2)=0.
\]
Donc \(x=0\) ou \(x=2\).
Sur \([0;2]\), on a \(2x-x^2=x(2-x)\ge0\), donc \(g\ge f\).
L’aire vaut
\[
A=\int_0^2(2x-x^2)dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\frac83=\frac43.
\]
Réponse : \(\boxed{A=\frac43}\).
Exercice 21
Synthèse Bac — intégrale, moyenne, aire
Très avancé
Soit \(f(x)=x^2e^{-x}\) sur \([0;2]\).
Calculer \(\displaystyle I=\int_0^2 x^2e^{-x}dx\) à l’aide de deux IPP.
En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur \([0;2]\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
Première IPP : \(u=x^2\), \(v'=e^{-x}\), donc \(v=-e^{-x}\).
Il restera \(\int xe^{-x}dx\), à traiter par une deuxième IPP.
Correction détaillée
On pose \(u=x^2\), \(v'=e^{-x}\). Alors \(u'=2x\), \(v=-e^{-x}\).
\[
I=[-x^2e^{-x}]_0^2+2\int_0^2 xe^{-x}dx=-4e^{-2}+2J,
\]
où \(J=\int_0^2 xe^{-x}dx\).
Pour \(J\), IPP avec \(u=x\), \(v'=e^{-x}\), donc \(v=-e^{-x}\) :
\[
J=[-xe^{-x}]_0^2+\int_0^2 e^{-x}dx=-2e^{-2}+[-e^{-x}]_0^2.
\]
Donc
\[
J=-2e^{-2}+1-e^{-2}=1-3e^{-2}.
\]
Ainsi
\[
I=-4e^{-2}+2(1-3e^{-2})=2-10e^{-2}.
\]
La valeur moyenne vaut
\[
m=\frac1{2}\int_0^2 f(x)dx=1-5e^{-2}.
\]
Réponse : \(\boxed{I=2-10e^{-2}}\), \(\boxed{m=1-5e^{-2}}\).
Exercice 22
Problème complet — aire et paramètre
Très avancé
Pour \(a>0\), on considère \(f_a(x)=a e^{-x}\) sur \([0;2]\).
Calculer \(A(a)=\displaystyle\int_0^2 f_a(x)dx\).
Déterminer \(a\) pour que l’aire sous la courbe soit égale à \(3\).
Donner alors la valeur moyenne de \(f_a\) sur \([0;2]\).
💡 Indice détaillé
✅ Correction détaillée
Indice détaillé
La primitive de \(e^{-x}\) est \(-e^{-x}\).
Après calcul de \(A(a)\), résous une équation simple en \(a\).
Correction détaillée
On calcule :
\[
A(a)=a\int_0^2 e^{-x}dx=a[-e^{-x}]_0^2=a(1-e^{-2}).
\]
On veut \(A(a)=3\), donc
\[
a(1-e^{-2})=3 \quad\Longleftrightarrow\quad a=\frac{3}{1-e^{-2}}.
\]
Si l’aire vaut \(3\), la valeur moyenne sur \([0;2]\) vaut
\[
m=\frac{1}{2-0}\int_0^2 f_a(x)dx=\frac32.
\]
Réponse : \(\boxed{a=\frac{3}{1-e^{-2}}}\) et \(\boxed{m=\frac32}\).
Conseil Bac : avant de calculer une intégrale, toujours identifier la méthode : primitive directe,
primitive composée, signe/aire, comparaison, valeur moyenne, ou IPP. Pour une aire géométrique, ne jamais oublier
de vérifier le signe de la fonction ou de découper l’intervalle.