Exercices corrigés
Limites algébriques, asymptotes, comparaison.
Exercice 1 — Limites à l’infini
Calculer, lorsque c’est possible, les limites suivantes :
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (3x^2 - x + 5)\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{2x^3 - 5}{x^2 + 1}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{5x - 1}{2x + 7}\)
Correction
- \(3x^2 - x + 5 \sim 3x^2\) quand \(x\to +\infty\), donc la limite est \(+\infty\).
- \(\dfrac{2x^3 - 5}{x^2 + 1} = x\cdot\dfrac{2x^2 - 5/x}{x^2 + 1} \sim x\cdot\dfrac{2x^2}{x^2} = 2x\). Quand \(x\to -\infty\), \(2x\to -\infty\), donc la limite est \(-\infty\).
- \(\dfrac{5x - 1}{2x + 7} = \dfrac{5 - 1/x}{2 + 7/x} \to \dfrac{5}{2}\) lorsque \(x\to +\infty\).
Exercice 2 — Limite en un point et prolongement
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}. \]
- Montrer que pour tout \(x\neq 1\), \(f(x) = x + 1\).
- En déduire \(\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)\).
- Peut-on prolonger \(f\) par continuité en \(x=1\) ? Si oui, par quelle valeur ?
Correction
- \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Pour \(x\neq 1\), \[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
- \(\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} (x+1) = 2.\)
- On peut définir \(f(1)=2\). La fonction prolongée est continue en 1.
Exercice 3 — Asymptotes d’une fonction rationnelle
Soit \(g(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
- Factoriser le numérateur de \(g\) et simplifier l’expression.
- Étudier la limite de \(g(x)\) en \(x\to 1\).
- Étudier la limite de \(g(x)\) en \(x\to +\infty\).
- En déduire les asymptotes de la courbe de \(g\).
Correction
- \(x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)\). Pour \(x\neq 1\), \[ g(x) = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2. \]
- \(\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x) = 3\). Il y a un trou en \(x=1\), mais pas d’asymptote verticale.
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty\) car \(g(x)=x+2\).
- La courbe est confondue avec la droite \(y=x+2\), privée du point d’abscisse 1 : pas d’asymptote oblique « différente ».
Exercice 4 — Exponentielle et logarithme
Calculer les limites suivantes :
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x\ln x\)
Correction
- \(\dfrac{\ln x}{x}\to 0\) car \(\ln x\) croît moins vite que \(x\).
- \(x\,\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\to 0\) car \(\mathrm{e}^x\) domine toute puissance.
- \(x\ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}\to 0\) quand \(x\to 0^+\).