1) Limites en un point et à l’infini
a) Limite finie en un point
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage d’un réel \(a\) (éventuellement en dehors de \(a\)). On dit que \[ \lim_{x\to a} f(x) = \ell \quad (\ell\in\mathbb{R}) \] si les valeurs \(f(x)\) se rapprochent arbitrairement de \(\ell\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).
Interprétation graphique : sur la courbe de \(f\), en se rapprochant de l’abscisse \(a\), l’ordonnée peut être rendue aussi proche que l’on veut de \(\ell\). Le point \((a,\ell)\) peut être ou non sur la courbe.
b) Limites infinies et limites à l’infini
- \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = +\infty\) signifie que les valeurs de \(f(x)\) deviennent arbitrairement grandes lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = L\) signifie que pour des valeurs de \(x\) très grandes, \(f(x)\) est arbitrairement proche du réel \(L\).
Exemple : pour \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), \[ \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty. \]
2) Opérations sur les limites
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(a\) (ou en \(+\infty\)) et ayant des limites finies en ce point. Alors :
- \(\displaystyle \lim (f+g) = \lim f + \lim g\).
- \(\displaystyle \lim (f\cdot g) = (\lim f)(\lim g)\).
- \(\displaystyle \lim\left( \frac{f}{g} \right) = \dfrac{\lim f}{\lim g}\) si \(\lim g \neq 0\).
Formes indéterminées : certaines écritures ne permettent pas de conclure directement : \[ +\infty - \infty,\quad 0\times \infty,\quad \frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty}. \] Il faut alors transformer l’expression (factorisation, mise en facteur, conjugaison, changement de variable, etc.).
3) Comparaison et théorème des gendarmes
Soient \(f,g,h\) définies au voisinage de \(a\) et telles que, pour tout \(x\) de ce voisinage, \[ f(x)\le g(x)\le h(x). \] Si \[ \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L, \] alors \[ \lim_{x\to a} g(x) = L. \]
Idée : on encadre une fonction compliquée \(g\) entre deux fonctions plus simples \(f\) et \(h\) dont on connaît la limite.
4) Asymptotes
- \(x = a\) est une asymptote verticale si \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty\).
- \(y = L\) est une asymptote horizontale si \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L\).
- \(y = mx + p\) est une asymptote oblique si \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \bigl(f(x) - (mx + p)\bigr) = 0\).
Exemple : pour \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x}\), on écrit \[ f(x) = 2x + \frac{1}{x}. \] Lorsque \(x\to +\infty\), \(\dfrac{1}{x}\to 0\) : la droite \(y = 2x\) est asymptote oblique à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).