Quiz HARD — Matrices (20 questions)
Calcul matriciel • puissances • matrices d’adjacence • matrices de transition • pièges classiques Maths Expertes
Q2. Soient \(A\) de taille \(3 imes2\) et \(B\) de taille \(2 imes5\). Donner la taille de \(AB\).
Non vérifié
Indice
Les dimensions de \(AB\) sont (lignes de \(A\)) × (colonnes de \(B\)).
Correction
Le produit \(AB\) est défini car \(2=2\). Sa taille est \(3 imes5\).
Q3. Soient \(A\) de taille \(4 imes3\) et \(B\) de taille \(2 imes4\). Le produit \(AB\) est-il défini ?
Non vérifié
Indice
Comparer le nombre de colonnes de \(A\) et le nombre de lignes de \(B\).
Correction
Le produit \(AB\) n’est pas défini car \(3\neq2\).
Q4. Si \(A\) est \(n imes p\) et \(B\) est \(p imes m\), quelle est la taille de \(BA\) ?
Non vérifié
Indice
Comparer les dimensions internes de \(B\) et \(A\).
Correction
Le produit \(BA\) n’existe que si \(m=n\). En général, il n’est pas défini.
Q5. Calculer \(AB\) avec \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\). Donner l’entrée \((AB)_{12}\).
Non vérifié
Indice
Produit ligne 1 de \(A\) • colonne 2 de \(B\).
Correction
\((AB)_{12}=1\cdot0+2\cdot3=6\).
Q6. Avec les matrices de la question précédente, donner la valeur de \((BA)_{12}\).
Non vérifié
Indice
Calculer \(BA\), puis lire la case (1,2).
Correction
On trouve \(BA=\begin{pmatrix}2&4\\1&5\end{pmatrix}\), donc \((BA)_{12}=4\).
Q7. Que peut-on conclure concernant \(AB\) et \(BA\) dans cet exemple ?
Non vérifié
Indice
Comparer les matrices obtenues.
Correction
On observe que \(AB\neq BA\) : le produit matriciel n’est pas commutatif.
Q8. Soit \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\). Donner \(A^2\).
Non vérifié
Indice
Multiplier \(A\times A\).
Correction
\(A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\).
Q9. Avec la même matrice \(A\), donner \(A^n\) (pour \(n\ge1\)).
Non vérifié
Indice
Observer le motif dans \(A^2,A^3\dots\).
Correction
On obtient \(A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\).
Q10. Quelle est la valeur de \(A^0\) pour une matrice carrée \(A\) ?
Non vérifié
Indice
Par convention.
Correction
Par définition, \(A^0=I\) (matrice identité).
Q11. Vrai ou faux : \((AB)^T=A^TB^T\).
Non vérifié
Indice
Attention à l’ordre.
Correction
La bonne formule est \((AB)^T=B^TA^T\).
Q12. Si \(A\) est symétrique, que vaut \(A^T\) ?
Non vérifié
Indice
Définition d’une matrice symétrique.
Correction
Par définition, \(A^T=A\).
Q13. Dans une matrice d’adjacence \(A\), que représente \((A^k)_{ij}\) ?
Non vérifié
Indice
Interprétation clé en graphes.
Correction
\((A^k)_{ij}\) est le nombre de chemins de longueur \(k\) de \(S_i\) vers \(S_j\).
Q14. Si \((A^3)_{22}=0\), que peut-on conclure ?
Non vérifié
Indice
Interpréter le nombre.
Correction
Il n’existe aucun chemin de longueur 3 allant de \(S_2\) vers \(S_2\).
Q15. Dans une matrice de transition (vecteurs-lignes), que vaut la somme des coefficients d’une ligne ?
Non vérifié
Indice
Propriété probabiliste.
Correction
Chaque ligne représente une loi de probabilité, donc sa somme vaut 1.
Q16. Avec la convention vecteurs-lignes, quelle est la relation correcte ?
Non vérifié
Indice
Attention au sens.
Correction
On a \(X_{n+1}=X_nT\).
Q17. Si \(X_0=(1\;0\;0)\), que représente \(X_0T^n\) ?
Non vérifié
Indice
Interprétation.
Correction
C’est la loi de probabilité du système après \(n\) étapes.
Q18. Soit \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\). Quelle condition est nécessaire pour que \(M^{-1}\) existe ?
Non vérifié
Indice
Déterminant.
Correction
Il faut \(\det(M)=ad-bc\neq0\).
Q19. Quelle est la formule de \((AB)^{-1}\) (si elle existe) ?
Non vérifié
Indice
Ordre inversé.
Correction
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
Q20. Vrai ou faux : \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\).
Non vérifié
Indice
Penser à la commutativité.
Correction
Faux en général car \(AB\neq BA\).
Q21. Pourquoi doit-on toujours annoncer les dimensions avant un calcul matriciel ?
Non vérifié
Indice
Rédaction attendue au bac.
Correction
Pour vérifier que le produit est défini et éviter toute erreur de calcul.
Clavier