Matrices

Calcul matriciel • addition et produit • puissances de matrices • matrices d’adjacence et de transition • applications aux graphes et aux processus discrets (niveau Maths Expertes).

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Cours — Matrices (Terminale • Maths Expertes)
Calcul matriciel • produit • puissances • inverse (cas simple) • matrices d’adjacence et de transition • interprétations (graphes, chaînes de transitions).
Objectif : maîtriser les règles de calcul + savoir modéliser (adjacence / transition) et exploiter \(A^n\).
Sommaire
A. Bases
  • 1) Vocabulaire — dimension, coefficient \(a_{ij}\)
  • 2) Matrices particulières (identité, diagonale…)
  • 3) Addition, scalaire, transposée
B. Produit & puissances
  • 4) Produit \(AB\) — conditions & calcul
  • 5) Propriétés (non-commutativité)
  • 6) Puissances \(A^n\) — récurrence & interprétation
C. Modélisation
  • 7) Matrices d’adjacence (graphes)
  • 8) Matrices de transition (processus)
  • 9) Comment lire \(A^n\) (chemins / états)
D. Méthodes
  • 10) Calcul rapide / pièges de dimensions
  • 11) Vérifications (unités, colonnes, sommes)
  • 12) Mini-problèmes type Bac/ME
1) Définition — coefficients \(a_{ij}\) et dimensions
\[ A=(a_{ij})_{\substack{1\le i\le n\\1\le j\le p}} \quad\text{est une matrice de taille } n\times p \]
\(n\) = nombre de lignes, \(p\) = nombre de colonnes. Le coefficient \(a_{ij}\) est l’entrée à la ligne \(i\), colonne \(j\).
Lecture
Exemple \(2\times 3\) :
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \] \[ a_{21}=3,\quad a_{12}=-2,\quad a_{23}=7 \]
Colonnes = vecteurs
Une matrice \(n\times p\) peut être vue comme \(p\) vecteurs-colonnes de dimension \(n\).
\[ A=\big(C_1\;C_2\;\cdots\;C_p\big) \]
Piège classique : confondre \(a_{ij}\) (ligne puis colonne) avec (colonne puis ligne). Toujours « i = ligne, j = colonne ».
2) Matrices particulières indispensables
Matrice nulle
\[ 0_{n,p}=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \]
Identité
Matrice carrée \(n\times n\), diagonale à 1.
\[ I_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ AI_n=I_nA=A \quad (\text{si dimensions compatibles}) \]
Diagonale / triangulaire
Diagonale : \(a_{ij}=0\) si \(i\ne j\). Triangulaire sup. : \(a_{ij}=0\) si \(i>j\).
\[ D=\begin{pmatrix} d_1&0&0\\ 0&d_2&0\\ 0&0&d_3 \end{pmatrix} \]
Symétrique / transposée
Transposée : on échange lignes et colonnes.
\[ (A^T)_{ij}=a_{ji} \] \[ A\ \text{symétrique} \iff A^T=A \]
3) Addition, multiplication par un réel, transposée
Addition
Possible seulement si même taille.
\[ (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \]
Scalaire
\[ (\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij} \]
Transposée : propriétés
\[ (A^T)^T=A,\qquad (A+B)^T=A^T+B^T,\qquad (\lambda A)^T=\lambda A^T \]
4) Produit \(AB\) : condition, formule, sens
Condition de compatibilité : si \(A\) est \(n\times p\) et \(B\) est \(p\times m\), alors \(AB\) existe et est \(n\times m\). (Le « p » du milieu doit être le même.)
Formule
\[ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj} \]
Ligne \(i\) de \(A\) • colonne \(j\) de \(B\) → produit scalaire.
Exemple complet (à maîtriser)
\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&0\\5&1\end{pmatrix} \] \[ AB=\begin{pmatrix} 1\cdot4+2\cdot5 & 1\cdot0+2\cdot1\\ (-1)\cdot4+3\cdot5 & (-1)\cdot0+3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14&2\\ 11&3 \end{pmatrix} \]
Interprétation « combinaison linéaire »
La colonne \(j\) de \(AB\) est une combinaison des colonnes de \(A\), coefficients donnés par la colonne \(j\) de \(B\).
\[ AB=\big(A\,\text{col}_1(B)\ \ \cdots\ \ A\,\text{col}_m(B)\big) \]
Pièges 19/20 :
  • Non-commutatif : en général \(AB\ne BA\) (et parfois \(BA\) n’existe même pas).
  • Les dimensions de \(AB\) se lisent : (lignes de A) × (colonnes de B).
5) Propriétés à connaître (et à utiliser proprement)
\[ A(BC)=(AB)C \quad \text{(associativité)} \] \[ A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC \quad \text{(distributivité)} \] \[ (\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda(AB) \] \[ (AB)^T=B^T A^T \]
Attention : il n’y a pas de règle simple du type \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) car \(AB\ne BA\) en général.
6) Puissances \(A^n\) (matrice carrée) — méthode et lecture
Définition
\[ A^1=A,\qquad A^{n+1}=A^nA\quad (n\ge1),\qquad A^0=I_n \]
Méthode « récurrence »
Pour prouver une formule explicite de \(A^n\), on montre : initialisation (souvent \(n=1\)) puis hérédité via \(A^{n+1}=A^nA\).
Astuce calcul
Si \(A\) a une structure simple (diagonale, triangulaire, bloc…), les puissances se calculent vite.
Exemple rapide : diagonale
\[ D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)\quad\Rightarrow\quad D^k=\mathrm{diag}(d_1^k,\dots,d_n^k) \]
7) Matrice d’adjacence (graphe) — et lecture de \(A^n\)
On considère un graphe orienté à \(n\) sommets \(S_1,\dots,S_n\). Sa matrice d’adjacence \(A\) est la matrice \(n\times n\) définie par :
\[ a_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{si il existe un arc } S_i\to S_j\\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \]
Théorème clé (Maths Expertes) : \((A^k)_{ij}\) donne le nombre de chemins de longueur \(k\) allant de \(S_i\) vers \(S_j\).
Mini-exemple (4 sommets)
\[ A= \begin{pmatrix} 0&1&1&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix} \]
Ici \(a_{13}=1\) signifie un arc \(S_1\to S_3\). Si \((A^2)_{14}=2\), alors il existe deux chemins en 2 arcs de \(S_1\) vers \(S_4\).
8) Matrice de transition (processus) — \(X_{n+1}=X_nT\)
On modélise un système à \(m\) états \(E_1,\dots,E_m\). La matrice de transition \(T=(t_{ij})\) (taille \(m\times m\)) vérifie :
\[ t_{ij}=\mathbb{P}(E_i\to E_j) \]
Convention : selon les exercices, on utilise vecteurs-lignes ou vecteurs-colonnes. Ici on adopte la convention vecteur-ligne : \(X_n\) est une ligne de probabilités et \[ X_{n+1}=X_nT,\qquad X_n=X_0T^n. \]
Vérification obligatoire
\[ \forall i,\quad \sum_{j=1}^{m} t_{ij}=1 \]
(Somme des lignes = 1 si on travaille en vecteurs-lignes.)
Lecture de \(T^n\)
L’entrée \((T^n)_{ij}\) est la probabilité d’être en \(E_j\) après \(n\) étapes en partant de \(E_i\) (si \(X_0\) correspond à l’état initial).
Exemple (2 états)
\[ T=\begin{pmatrix} 0.8&0.2\\ 0.3&0.7 \end{pmatrix}, \quad X_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \Rightarrow X_1=X_0T=\begin{pmatrix}0.8&0.2\end{pmatrix}. \]
9) (Option utile) Inverse d’une matrice \(2\times2\)
Pour \( A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \), on pose \(\det(A)=ad-bc\). Si \(\det(A)\ne0\), alors \(A\) est inversible et :
\[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]
Piège : l’inverse n’existe que si \(\det(A)\ne0\). Et attention : \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) (ordre inversé).
10) Méthodes & checklist 19–20/20
Méthode 1 — produit \(AB\)
  1. Vérifier les dimensions : \(A:n\times p\), \(B:p\times m\).
  2. Identifier la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\).
  3. Calculer la somme \(\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}\).
  4. Recontrôler une case « au hasard » pour éviter une erreur de signe.
Méthode 2 — transition
  1. Fixer la convention (ligne/colonne) et la tenir jusqu’au bout.
  2. Vérifier que chaque ligne (ou colonne) somme à 1.
  3. Utiliser \(X_n=X_0T^n\).
  4. Interpréter \((T^n)_{ij}\) : proba/chemins selon le contexte.
Phrase à mettre dans tes rédactions : « Les dimensions sont compatibles : \(A\) est \(n\times p\) et \(B\) est \(p\times m\), donc \(AB\) est défini et de taille \(n\times m\). »
11) Mini-exemples (type Bac/ME)
Exemple 1 — chemins de longueur 3
On donne une matrice d’adjacence \(A\). Le nombre de chemins de longueur 3 de \(S_i\) à \(S_j\) vaut \((A^3)_{ij}\).
➡️ On calcule \(A^2\) puis \(A^3=A^2A\), et on lit l’entrée.
Exemple 2 — état après \(n\) étapes
Pour une matrice de transition \(T\) et un état initial \(X_0\) (ligne), on obtient \(X_n=X_0T^n\).
➡️ Souvent on demande \(X_5\) ou \(X_{10}\) (calculatrice autorisée).
Suite : Fiche ultra-synthèse (formules + méthodes + pièges) puis Exercices HARD 19–20/20.
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