Fiche — Matrices (Maths Expertes)
Tout l’essentiel à savoir : calcul matriciel • puissances • matrices d’adjacence et de transition.
Objectif 19–20/20 : savoir calculer, interpréter et rédiger sans piège.
1) Notations & définitions clés
\[
A=(a_{ij})_{\substack{1\le i\le n\\1\le j\le p}}
\quad\text{matrice } n\times p
\]
\(i=\) ligne, \(j=\) colonne (ordre crucial).
- Matrice carrée : \(n=p\).
- Matrice nulle : tous les coefficients sont nuls.
- Identité : \(I_n\) avec des 1 sur la diagonale.
- Transposée : \((A^T)_{ij}=a_{ji}\).
2) Opérations de base (à connaître par cœur)
Addition
\[
A+B\ \text{possible ⇔ même taille},\quad
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
\]
Produit par un réel
\[
(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}
\]
Transposée — règles
\[
(A^T)^T=A,\quad
(A+B)^T=A^T+B^T,\quad
(AB)^T=B^TA^T
\]
3) Produit de matrices \(AB\)
Condition :
\(A\) est \(n\times p\) et \(B\) est \(p\times m\) ⇒ \(AB\) existe et est \(n\times m\).
Formule fondamentale
\[
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}
\]
Ligne \(i\) de \(A\) • colonne \(j\) de \(B\).
Pièges classiques :
- ❌ \(AB \ne BA\) en général (non-commutativité).
- ❌ \(BA\) peut ne pas exister même si \(AB\) existe.
- ✔️ La taille de \(AB\) = (lignes de \(A\)) × (colonnes de \(B\)).
4) Puissances d’une matrice carrée
\[
A^0=I_n,\quad A^1=A,\quad A^{n+1}=A^nA
\]
- Définies uniquement pour les matrices carrées.
- Souvent calculées par récurrence.
- Très utiles pour les graphes et les transitions.
Cas diagonal (gain de temps)
\[
D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)
\Rightarrow
D^k=\mathrm{diag}(d_1^k,\dots,d_n^k)
\]
5) Matrice d’adjacence (graphe)
\[
a_{ij}=
\begin{cases}
1 & \text{si arc } S_i\to S_j\\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
\]
Résultat clé :
\((A^k)_{ij}\) = nombre de chemins de longueur \(k\) de \(S_i\) vers \(S_j\).
➜ Très fréquent en Maths Expertes (lecture directe dans \(A^2, A^3,\dots\)).
6) Matrice de transition (processus / Markov)
\[
t_{ij}=\mathbb{P}(E_i\to E_j)
\]
Convention à fixer !
Ici : vecteurs-lignes
\[
X_{n+1}=X_nT,\quad X_n=X_0T^n
\]
Vérification obligatoire
\[
\forall i,\ \sum_j t_{ij}=1
\]
7) Inverse d’une matrice \(2\times2\)
\[
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad
\det(A)=ad-bc
\]
\[
\det(A)\ne0 \Rightarrow
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
\]
Attention :
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1\!}\) (ordre inversé).
8) Checklist examen (à réciter mentalement)
- ✔️ Les dimensions sont compatibles.
- ✔️ J’ai annoncé la taille du produit.
- ✔️ J’ai utilisé la bonne convention (ligne/colonne).
- ✔️ J’ai interprété \(A^n\) (chemins / probabilités).
- ✔️ J’ai soigné la rédaction.
Prochaine étape : Exercices HARD 19–20/20 puis Quiz 20 questions.