Quiz — Nombres Complexes (Applications) (Tle expertes)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Maths expertes permet de vérifier rapidement tes acquis sur Nombres Complexes (Applications). Les questions ciblent notamment forme algébrique, forme trigonométrique, module et argument, applications géométriques pour repérer les points à revoir.
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Quiz de maths Terminale Maths expertes : Nombres Complexes (Applications)
Terminale Maths expertes
Chapitres
Quiz HARD — Complexes (applications) — 20 questions
Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes (niveau Maths Expertes)
Q1. Mettre \(z=-\sqrt3+i\) sous forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(\theta\in(-\pi;\pi]\). Donner \(r\) et \(\theta\).
Non vérifié
Indice
\(|z|=\sqrt{3+1}=2\). Quadrant II.
Correction
On a \(|z|=2\). Comme \(\cos\theta=\frac{-\sqrt3}{2}\) et \(\sin\theta=\frac12\), alors \(\theta=\frac{5\pi}{6}\) mais en quadrant II : \(\theta=\frac{5\pi}{6}\). Dans \((-\pi;\pi]\), cela reste \(\boxed{\theta=\frac{5\pi}{6}}\). Donc \(\boxed{z=2(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})}\).
Q2. Soit \(z=1-i\sqrt3\). Donner \(|z|\) et un argument principal \(\theta\in(-\pi;\pi]\).
Non vérifié
Indice
Quadrant IV, \(|z|=2\).
Correction
\(|z|=\sqrt{1+3}=2\). On a \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}\), donc \(\boxed{\theta=-\frac{\pi}{3}}\).
Q3. On suppose \(z\neq 0\). Exprimer \(\arg(\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)).
Non vérifié
Indice
Conjugué : symétrie par rapport à l’axe réel.
Correction
Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), alors \(\overline z=r(\cos\theta-i\sin\theta)=r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\). Donc \(\boxed{\arg(\overline z)\equiv-\arg(z)\ (2\pi)}\).
Q4. Soit \(z\neq 0\). Exprimer \(\arg(1/z)\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)).
Non vérifié
Indice
En trigo : \(1/z\) inverse le module et oppose l’angle.
Correction
Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), alors \(\frac1z=\frac1r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\). Donc \(\boxed{\arg(1/z)\equiv-\arg(z)\ (2\pi)}\).
Q5. Soit \(z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\). Calculer \(z^6\).
Non vérifié
Indice
De Moivre : \(2^6\) et angle \(6\cdot\pi/6=\pi\).
Correction
\(z^6=2^6(\cos\pi+i\sin\pi)=64(-1+0i)=\boxed{-64}.\) (Attention au piège du signe.)
Q6. Soit \(z=\cos\theta+i\sin\theta\). Exprimer \(z^{10}\) sous forme trigonométrique.
Non vérifié
Indice
Formule de De Moivre.
Correction
\(z^{10}=(\cos\theta+i\sin\theta)^{10}=\boxed{\cos(10\theta)+i\sin(10\theta)}\).
Q7. Calculer \((1+i)^8\) (forme algébrique).
Non vérifié
Indice
Mettre \(1+i\) en trigo : module \(\sqrt2\), angle \(\pi/4\).
Correction
On a \(1+i=\sqrt2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)\). Donc \((1+i)^8=(\sqrt2)^8(\cos2\pi+i\sin2\pi)=16\cdot 1=\boxed{16}.\)
Q8. Soit \(z=-\sqrt2+i\sqrt2\). Calculer \(z^4\).
Non vérifié
Indice
Module \(2\), angle \(3\pi/4\).
Correction
\(|z|=\sqrt{2+2}=2\), \(\arg(z)=\frac{3\pi}{4}\). Donc \(z^4=2^4(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)=16(-1+0i)=\boxed{-16}.\)
Q9. Résoudre \(z^3=8\). Donner les 3 solutions sous forme trigonométrique.
Non vérifié
Indice
8 = \(8(\cos 0+i\sin 0)\).
Correction
Les solutions : \(z_k=2\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right)\), \(k=0,1,2\).
Q10. Résoudre \(z^4=-16\). Donner les 4 arguments \(\theta_k\) dans \([0;2\pi)\).
Non vérifié
Indice
-16 = \(16(\cos\pi+i\sin\pi)\).
Correction
\(\theta_k=\frac{\pi+2k\pi}{4}\), donc \(\boxed{\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4}\).
Q11. On note \(\omega=e^{2i\pi/3}\). Calculer \(1+\omega+\omega^2\).
Non vérifié
Indice
Somme des racines 3-ièmes de l’unité.
Correction
Les racines 3-ièmes de l’unité vérifient \(1+\omega+\omega^2=0\). Donc \(\boxed{0}\).
Q12. Donner toutes les solutions de \(z^6=1\) sous forme \(e^{i\theta}\) avec \(\theta\in[0;2\pi)\).
Non vérifié
Indice
Angles \(\theta_k=\frac{2k\pi}{6}\).
Correction
Les solutions : \(z_k=e^{i\frac{2k\pi}{6}}=e^{i\frac{k\pi}{3}}\), \(k=0,1,2,3,4,5\).
Q13. Soit la transformation \(z'=(1-i)z+2\). Donner son rapport \(k\) et son angle \(\alpha\).
Non vérifié
Indice
Lire dans \(a=1-i\).
Correction
\(|1-i|=\sqrt2\) et \(\arg(1-i)=-\frac\pi4\). Donc \(\boxed{k=\sqrt2,\ \alpha=-\frac\pi4}\).
Q14. Pour \(z'=az+b\) avec \(a\neq 1\), donner la formule du centre \(\omega\) (point fixe).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\omega=a\omega+b\).
Correction
On a \(\omega=a\omega+b\Rightarrow (1-a)\omega=b\Rightarrow \boxed{\omega=\frac{b}{1-a}}\).
Q15. Soit \(z' = e^{i\pi/3}z\). Décrire la transformation (type + angle + rapport + centre).
Non vérifié
Indice
Multiplication par un complexe de module 1.
Correction
Module \(1\) donc rapport 1, argument \(\pi/3\) donc rotation d’angle \(\pi/3\), centre \(O\).
Q16. Soit \(z'=2e^{-i\pi/6}z\). Donner rapport et angle de la similitude de centre \(O\).
Non vérifié
Indice
Module et argument du coefficient.
Correction
Rapport \(|2e^{-i\pi/6}|=2\), angle \(-\pi/6\).
Q17. Soit \(z\neq 0\) et \(z' = \dfrac{1+i}{z}\). Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\).
Non vérifié
Indice
\(|1+i|=\sqrt2\) et \(|1/z|=1/|z|\).
Correction
\(|z'|=\frac{|1+i|}{|z|}=\boxed{\frac{\sqrt2}{|z|}}\).
Q18. Même contexte : exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)).
Non vérifié
Indice
Argument d’un quotient : différence.
Correction
\(\arg(z')=\arg(1+i)-\arg(z)=\frac\pi4-\arg(z)\ (2\pi).\)
Q19. Soit \(a\neq 0\). Résoudre \(az+b=z\) (point fixe) et préciser quand il existe.
Non vérifié
Indice
Isoler \(z\).
Correction
Point fixe si \((1-a)z=b\). Si \(a\neq 1\), unique solution \(\boxed{z=\frac{b}{1-a}}\). Si \(a=1\), soit aucun (si \(b\neq0\)), soit tous (si \(b=0\)).
Q20. Soit \(z=\cos\theta+i\sin\theta\) avec \(\theta\not\equiv 0\ (\pi)\). Montrer que \(\displaystyle \frac{z+1}{z-1}\) est un imaginaire pur et donner sa valeur en fonction de \(\theta\).
Non vérifié
Indice
Multiplier par le conjugué de \(z-1\) et utiliser formules demi-angle.
Correction
On calcule \(\frac{z+1}{z-1}\cdot\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}-1}\). Avec \(|z|=1\Rightarrow \overline z=1/z\). Après simplification (formules demi-angle), on obtient \(\boxed{\frac{z+1}{z-1}=-i\cot\left(\frac\theta2\right)}\), imaginaire pur.
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