Complexes Applications

Q2. Mettre \(z=-\sqrt3+i\) sous forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(\theta\in(-\pi;\pi]\). Donner \(r\) et \(\theta\). Non vérifié

Indice

\(|z|=\sqrt{3+1}=2\). Quadrant II.

Correction

On a \(|z|=2\). Comme \(\cos\theta=\frac{-\sqrt3}{2}\) et \(\sin\theta=\frac12\), alors \(\theta=\frac{5\pi}{6}\) mais en quadrant II : \(\theta=\frac{5\pi}{6}\). Dans \((-\pi;\pi]\), cela reste \(\boxed{\theta=\frac{5\pi}{6}}\). Donc \(\boxed{z=2(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})}\).

Q3. Soit \(z=1-i\sqrt3\). Donner \(|z|\) et un argument principal \(\theta\in(-\pi;\pi]\). Non vérifié

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Quadrant IV, \(|z|=2\).

Correction

\(|z|=\sqrt{1+3}=2\). On a \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}\), donc \(\boxed{\theta=-\frac{\pi}{3}}\).

Q4. On suppose \(z\neq 0\). Exprimer \(\arg(\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)). Non vérifié

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Conjugué : symétrie par rapport à l’axe réel.

Correction

Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), alors \(\overline z=r(\cos\theta-i\sin\theta)=r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\). Donc \(\boxed{\arg(\overline z)\equiv-\arg(z)\ (2\pi)}\).

Q5. Soit \(z\neq 0\). Exprimer \(\arg(1/z)\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)). Non vérifié

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En trigo : \(1/z\) inverse le module et oppose l’angle.

Correction

Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), alors \(\frac1z=\frac1r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\). Donc \(\boxed{\arg(1/z)\equiv-\arg(z)\ (2\pi)}\).

Q6. Soit \(z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\). Calculer \(z^6\). Non vérifié

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De Moivre : \(2^6\) et angle \(6\cdot\pi/6=\pi\).

Correction

\(z^6=2^6(\cos\pi+i\sin\pi)=64(-1+0i)=\boxed{-64}.\) (Attention au piège du signe.)

Q7. Soit \(z=\cos\theta+i\sin\theta\). Exprimer \(z^{10}\) sous forme trigonométrique. Non vérifié

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Formule de De Moivre.

Correction

\(z^{10}=(\cos\theta+i\sin\theta)^{10}=\boxed{\cos(10\theta)+i\sin(10\theta)}\).

Q8. Calculer \((1+i)^8\) (forme algébrique). Non vérifié

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Mettre \(1+i\) en trigo : module \(\sqrt2\), angle \(\pi/4\).

Correction

On a \(1+i=\sqrt2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)\). Donc \((1+i)^8=(\sqrt2)^8(\cos2\pi+i\sin2\pi)=16\cdot 1=\boxed{16}.\)

Q9. Soit \(z=-\sqrt2+i\sqrt2\). Calculer \(z^4\). Non vérifié

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Module \(2\), angle \(3\pi/4\).

Correction

\(|z|=\sqrt{2+2}=2\), \(\arg(z)=\frac{3\pi}{4}\). Donc \(z^4=2^4(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)=16(-1+0i)=\boxed{-16}.\)

Q10. Résoudre \(z^3=8\). Donner les 3 solutions sous forme trigonométrique. Non vérifié

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8 = \(8(\cos 0+i\sin 0)\).

Correction

Les solutions : \(z_k=2\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right)\), \(k=0,1,2\).

Q11. Résoudre \(z^4=-16\). Donner les 4 arguments \(\theta_k\) dans \([0;2\pi)\). Non vérifié

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-16 = \(16(\cos\pi+i\sin\pi)\).

Correction

\(\theta_k=\frac{\pi+2k\pi}{4}\), donc \(\boxed{\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4}\).

Q12. On note \(\omega=e^{2i\pi/3}\). Calculer \(1+\omega+\omega^2\). Non vérifié

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Somme des racines 3-ièmes de l’unité.

Correction

Les racines 3-ièmes de l’unité vérifient \(1+\omega+\omega^2=0\). Donc \(\boxed{0}\).

Q13. Donner toutes les solutions de \(z^6=1\) sous forme \(e^{i\theta}\) avec \(\theta\in[0;2\pi)\). Non vérifié

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Angles \(\theta_k=\frac{2k\pi}{6}\).

Correction

Les solutions : \(z_k=e^{i\frac{2k\pi}{6}}=e^{i\frac{k\pi}{3}}\), \(k=0,1,2,3,4,5\).

Q14. Soit la transformation \(z'=(1-i)z+2\). Donner son rapport \(k\) et son angle \(\alpha\). Non vérifié

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Lire dans \(a=1-i\).

Correction

\(|1-i|=\sqrt2\) et \(\arg(1-i)=-\frac\pi4\). Donc \(\boxed{k=\sqrt2,\ \alpha=-\frac\pi4}\).

Q15. Pour \(z'=az+b\) avec \(a\neq 1\), donner la formule du centre \(\omega\) (point fixe). Non vérifié

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Résoudre \(\omega=a\omega+b\).

Correction

On a \(\omega=a\omega+b\Rightarrow (1-a)\omega=b\Rightarrow \boxed{\omega=\frac{b}{1-a}}\).

Q16. Soit \(z' = e^{i\pi/3}z\). Décrire la transformation (type + angle + rapport + centre). Non vérifié

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Multiplication par un complexe de module 1.

Correction

Module \(1\) donc rapport 1, argument \(\pi/3\) donc rotation d’angle \(\pi/3\), centre \(O\).

Q17. Soit \(z'=2e^{-i\pi/6}z\). Donner rapport et angle de la similitude de centre \(O\). Non vérifié

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Module et argument du coefficient.

Correction

Rapport \(|2e^{-i\pi/6}|=2\), angle \(-\pi/6\).

Q18. Soit \(z\neq 0\) et \(z' = \dfrac{1+i}{z}\). Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\). Non vérifié

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\(|1+i|=\sqrt2\) et \(|1/z|=1/|z|\).

Correction

\(|z'|=\frac{|1+i|}{|z|}=\boxed{\frac{\sqrt2}{|z|}}\).

Q19. Même contexte : exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)). Non vérifié

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Argument d’un quotient : différence.

Correction

\(\arg(z')=\arg(1+i)-\arg(z)=\frac\pi4-\arg(z)\ (2\pi).\)

Q20. Soit \(a\neq 0\). Résoudre \(az+b=z\) (point fixe) et préciser quand il existe. Non vérifié

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Isoler \(z\).

Correction

Point fixe si \((1-a)z=b\). Si \(a\neq 1\), unique solution \(\boxed{z=\frac{b}{1-a}}\). Si \(a=1\), soit aucun (si \(b\neq0\)), soit tous (si \(b=0\)).

Q21. Soit \(z=\cos\theta+i\sin\theta\) avec \(\theta\not\equiv 0\ (\pi)\). Montrer que \(\displaystyle \frac{z+1}{z-1}\) est un imaginaire pur et donner sa valeur en fonction de \(\theta\). Non vérifié

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Multiplier par le conjugué de \(z-1\) et utiliser formules demi-angle.

Correction

On calcule \(\frac{z+1}{z-1}\cdot\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}-1}\). Avec \(|z|=1\Rightarrow \overline z=1/z\). Après simplification (formules demi-angle), on obtient \(\boxed{\frac{z+1}{z-1}=-i\cot\left(\frac\theta2\right)}\), imaginaire pur.