Quiz HARD — Complexes (applications) — 20 questions
Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes (niveau Maths Expertes)
Exercice 1. Mettre \(z=-\sqrt3+i\) sous forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(\theta\in(-\pi;\pi]\). Donner \(r\) et \(\theta\).
Non vérifié
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\(|z|=\sqrt{3+1}=2\). Quadrant II.
Exercice 2. Soit \(z=1-i\sqrt3\). Donner \(|z|\) et un argument principal \(\theta\in(-\pi;\pi]\).
Non vérifié
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Quadrant IV, \(|z|=2\).
Exercice 3. On suppose \(z\neq 0\). Exprimer \(\arg(\overline z)\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)).
Non vérifié
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Conjugué : symétrie par rapport à l’axe réel.
Exercice 4. Soit \(z\neq 0\). Exprimer \(\arg(1/z)\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)).
Non vérifié
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En trigo : \(1/z\) inverse le module et oppose l’angle.
Exercice 5. Soit \(z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\). Calculer \(z^6\).
Non vérifié
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De Moivre : \(2^6\) et angle \(6\cdot\pi/6=\pi\).
Exercice 6. Soit \(z=\cos\theta+i\sin\theta\). Exprimer \(z^{10}\) sous forme trigonométrique.
Non vérifié
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Formule de De Moivre.
Exercice 7. Calculer \((1+i)^8\) (forme algébrique).
Non vérifié
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Mettre \(1+i\) en trigo : module \(\sqrt2\), angle \(\pi/4\).
Exercice 8. Soit \(z=-\sqrt2+i\sqrt2\). Calculer \(z^4\).
Non vérifié
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Module \(2\), angle \(3\pi/4\).
Exercice 9. Résoudre \(z^3=8\). Donner les 3 solutions sous forme trigonométrique.
Non vérifié
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8 = \(8(\cos 0+i\sin 0)\).
Exercice 10. Résoudre \(z^4=-16\). Donner les 4 arguments \(\theta_k\) dans \([0;2\pi)\).
Non vérifié
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-16 = \(16(\cos\pi+i\sin\pi)\).
Exercice 11. On note \(\omega=e^{2i\pi/3}\). Calculer \(1+\omega+\omega^2\).
Non vérifié
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Somme des racines 3-ièmes de l’unité.
Exercice 12. Donner toutes les solutions de \(z^6=1\) sous forme \(e^{i\theta}\) avec \(\theta\in[0;2\pi)\).
Non vérifié
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Angles \(\theta_k=\frac{2k\pi}{6}\).
Exercice 13. Soit la transformation \(z'=(1-i)z+2\). Donner son rapport \(k\) et son angle \(\alpha\).
Non vérifié
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Lire dans \(a=1-i\).
Exercice 14. Pour \(z'=az+b\) avec \(a\neq 1\), donner la formule du centre \(\omega\) (point fixe).
Non vérifié
Indice
Résoudre \(\omega=a\omega+b\).
Exercice 15. Soit \(z' = e^{i\pi/3}z\). Décrire la transformation (type + angle + rapport + centre).
Non vérifié
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Multiplication par un complexe de module 1.
Exercice 16. Soit \(z'=2e^{-i\pi/6}z\). Donner rapport et angle de la similitude de centre \(O\).
Non vérifié
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Module et argument du coefficient.
Exercice 17. Soit \(z\neq 0\) et \(z' = \dfrac{1+i}{z}\). Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\).
Non vérifié
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\(|1+i|=\sqrt2\) et \(|1/z|=1/|z|\).
Exercice 18. Même contexte : exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\) (modulo \(2\pi\)).
Non vérifié
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Argument d’un quotient : différence.
Exercice 19. Soit \(a\neq 0\). Résoudre \(az+b=z\) (point fixe) et préciser quand il existe.
Non vérifié
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Isoler \(z\).
Exercice 20. Soit \(z=\cos\theta+i\sin\theta\) avec \(\theta\not\equiv 0\ (\pi)\). Montrer que \(\displaystyle \frac{z+1}{z-1}\) est un imaginaire pur et donner sa valeur en fonction de \(\theta\).
Non vérifié
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Multiplier par le conjugué de \(z-1\) et utiliser formules demi-angle.