Cours — Nombres Complexes (Applications) (Tle expertes)
Cette page propose un cours de mathématiques en Terminale Maths expertes sur Nombres Complexes (Applications). Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler forme algébrique, forme trigonométrique, module et argument, applications géométriques.
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Cours — Nombres complexes (applications)
Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes complexes
Niveau : Terminale Maths Expertes
Niveau : Terminale Maths Expertes
1) Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Soit \(z \neq 0\). On peut écrire :
\[
z = r(\cos \theta + i\sin \theta)
\]
où :
\[
r = |z| \quad \text{et} \quad \theta = \arg(z)
\]
L’argument n’est défini qu’à \(2\pi\) près :
\[
\arg(z) = \theta + 2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z})
\]
Exemple :
\(z = -1 + i\sqrt{3}\) \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \] \[ \arg(z) = \frac{2\pi}{3} \] \[ \boxed{z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)} \]
\(z = -1 + i\sqrt{3}\) \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \] \[ \arg(z) = \frac{2\pi}{3} \] \[ \boxed{z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)} \]
2) Puissances d’un nombre complexe (formule de De Moivre)
Si \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), alors pour tout entier \(n\) :
\[
\boxed{
z^n = r^n\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big)
}
\]
👉 La formule est valable uniquement pour des puissances entières.
Exemple :
\[ z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) \] \[ z^4 = 2^4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) \] \[ \boxed{z^4 = 16\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right)} \]
\[ z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) \] \[ z^4 = 2^4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) \] \[ \boxed{z^4 = 16\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right)} \]
3) Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Les solutions de \(z^n = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) sont :
\[
\boxed{
z_k = r^{1/n}\left(
\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n}
+ i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}
\right)
}
\]
avec \(k = 0,1,\dots,n-1\).
Les racines sont réparties régulièrement sur un cercle de centre \(O\).
Exemple : résoudre \(z^3 = 8\)
\[
8 = 8(\cos 0 + i\sin 0)
\]
\[
z_k = 2\left(\cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}\right)
\]
→ 3 racines formant un triangle équilatéral.
4) Similitudes dans le plan complexe
Toute transformation de la forme :
\[
z' = az + b \quad (a\neq 0)
\]
est une similitude directe.
- \(|a|\) : rapport de la similitude
- \(\arg(a)\) : angle de rotation
- \(b\) : translation
Exemple :
\[ z' = (1+i)z \] \[ |1+i| = \sqrt2, \quad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4} \] → rotation de \(\frac{\pi}{4}\) et agrandissement de rapport \(\sqrt2\).
\[ z' = (1+i)z \] \[ |1+i| = \sqrt2, \quad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4} \] → rotation de \(\frac{\pi}{4}\) et agrandissement de rapport \(\sqrt2\).
Méthode type Bac / Maths Expertes
- Passer en forme trigonométrique
- Appliquer De Moivre ou la formule des racines
- Revenir en forme algébrique si demandé
- Interpréter géométriquement (rotation, cercle, polygone)
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