Fiche ULTRA — Complexes (applications)
Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes
Objectif : méthodes rapides + pièges classiques (niveau Maths Expertes)
Objectif : méthodes rapides + pièges classiques (niveau Maths Expertes)
0) À savoir par cœur (mémo)
Formes
\[
z=a+ib,\quad \overline z=a-ib,\quad |z|=\sqrt{a^2+b^2}
\]
\[
z\neq 0:\quad z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\quad r=|z|,\ \theta=\arg(z)\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)
\]
Produits / quotients en trigo
\[
z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)
\]
\[
\boxed{z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big)}
\]
\[
\boxed{\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big)}
\quad(z_2\neq 0)
\]
De Moivre
\[
\boxed{\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))}\quad (n\in\mathbb{Z})
\]
Racines n-ièmes
Si \(w=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), alors les solutions de \(z^n=w\) sont :
\[
\boxed{
z_k=r^{1/n}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)
}\quad k=0,1,\dots,n-1
\]
1) Méthodes FLASH (ce qu’on fait en exam)
A) Mettre en forme trigonométrique vite
- \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Trouver \(\theta\) via \(\tan\theta=\dfrac{b}{a}\) + quadrant (signes de \(a,b\)).
- Vérifier : \(a=r\cos\theta\), \(b=r\sin\theta\).
⚠️ Piège quadrant : ne jamais prendre \(\arctan(b/a)\) “brut” sans corriger l’angle.
B) Calculer \(z^n\) efficacement
- Passer en trigo : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
- De Moivre : \(z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))\).
- Si on veut l’algébrique : utiliser valeurs usuelles + simplifier.
Astuce : si \(\theta\) est “jolie” (\(\pi/2,\pi/3,\pi/4,\pi/6\)), l’algébrique devient immédiat.
C) Résoudre \(z^n=w\)
- Écrire \(w=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
- Appliquer la formule des racines : \(\theta_k=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\).
- Donner les \(n\) solutions distinctes (pour \(k=0\) à \(n-1\)).
Géométrie : les racines sont les sommets d’un polygone régulier sur le cercle \(|z|=r^{1/n}\).
2) Similitudes (lecture directe en complexe)
Une similitude directe s’écrit :
\[
\boxed{z' = az + b}\quad (a\neq 0)
\]
- Rapport : \(\boxed{k=|a|}\)
- Angle : \(\boxed{\alpha=\arg(a)}\)
- Translation : \(b\)
Centre d’une similitude \(z'=az+b\)
Le centre \( \omega \) (point fixe) vérifie \( \omega = a\omega + b \) :
\[
\boxed{\omega=\frac{b}{1-a}}\quad \text{si } a\neq 1
\]
⚠️ Si \(a=1\), ce n’est plus une similitude non triviale : c’est une translation \(z'=z+b\) (pas de centre).
Cas particuliers utiles :
- \(z'=e^{i\alpha}z\) : rotation d’angle \(\alpha\), centre \(O\), rapport \(1\).
- \(z'=kz\) (\(k>0\)) : homothétie de centre \(O\), rapport \(k\).
- \(z'=k e^{i\alpha}z\) : similitude de centre \(O\), rapport \(k\), angle \(\alpha\).
3) Pièges classiques (à éviter)
- Argument : \(\arg(z)\) est défini modulo \(2\pi\). Toujours garder \(\theta+2k\pi\).
- Quadrant : \(\tan\theta=b/a\) ne suffit pas : vérifier le signe de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
- Racines : oublier des solutions (il y en a exactement \(n\)).
- Doublons : prendre \(k\) au-delà de \(n-1\) donne des solutions déjà comptées.
- Similitude : centre \( \omega=\frac{b}{1-a} \) seulement si \(a\neq 1\).
- Retour algébrique : ne pas arrondir : utiliser valeurs exactes (\(\sqrt2/2\), \(\sqrt3/2\), etc.).
Checklist “1 minute” (avant de rendre)
- Ai-je précisé \(z\neq 0\) si j’utilise une forme trigo ?
- Mes angles sont-ils au bon quadrant ?
- Pour \(z^n=w\), ai-je donné les \(n\) solutions \(k=0,\dots,n-1\) ?
- Pour \(z'=az+b\), ai-je donné rapport \(|a|\), angle \(\arg(a)\), centre \(\omega=\frac{b}{1-a}\) (si \(a\neq 1\)) ?
- Les résultats sont-ils exacts (pas d’arrondis) ?