Exercices corrigés — Nombres Complexes (Applications) (Tle expertes)

1. \(|z|=2\) et un argument est \(-\dfrac{\pi}{3}\). Ainsi \(\boxed{z=2\left(\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3)\right)=2e^{-i\pi/3}}\).

2. \(z^6=2^6e^{-2i\pi}=\boxed{64}\) et \(z^{15}=2^{15}e^{-5i\pi}=\boxed{-32768}\).

3. \(z^n\) est réel si \(-n\pi/3\equiv0\pmod{\pi}\), donc \(\boxed{n\equiv0\pmod3}\).

4. Il faut \(-n\pi/3\equiv0\pmod{2\pi}\), donc \(\boxed{n\equiv0\pmod6}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}\) et \(1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}\).

2. \(\displaystyle w=\dfrac{2}{\sqrt2}e^{i(\pi/3+\pi/4)}=\boxed{\sqrt2\,e^{i7\pi/12}}\).

3. \(w^6=8e^{i7\pi/2}=\boxed{-8i}\), puis \(w^{12}=\boxed{-64}\).

4. \(\displaystyle w=\dfrac{(1+i\sqrt3)(1+i)}2=\boxed{\dfrac{1-\sqrt3}{2}+i\,\dfrac{1+\sqrt3}{2}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\displaystyle \cos^2\theta=\dfrac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}4=\boxed{\dfrac{1+\cos2\theta}{2}}\).

2. \(\displaystyle \boxed{\cos^4\theta=\dfrac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}}\).

3. \(\displaystyle \boxed{\sin^4\theta=\dfrac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}}\).

4. Les termes en cosinus ont une intégrale nulle sur \([0,\pi/2]\). Donc \(\displaystyle \boxed{\int_0^{\pi/2}\cos^4x\,dx=\dfrac{3\pi}{16}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le produit vaut \((\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\).

2. Par identification des parties réelles : \(\boxed{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\).

3. Par identification des parties imaginaires : \(\boxed{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\).

4. En combinant addition et duplication, puis \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\), on obtient \(\boxed{\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{-16=16e^{i(\pi+2k\pi)}}\), \(k\in\mathbb Z\).

2. \(\displaystyle \boxed{z_k=2e^{i(\pi/4+k\pi/2)},\quad k=0,1,2,3}\).

3. Les solutions sont \(\boxed{\sqrt2(1+i),\ \sqrt2(-1+i),\ \sqrt2(-1-i),\ \sqrt2(1-i)}\).

4. Elles ont module \(2\) et des arguments espacés de \(\pi/2\) : elles forment un carré centré en \(O\). Le côté vaut \(2R\sin(\pi/4)=\boxed{2\sqrt2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{32i=32e^{i(\pi/2+2m\pi)}}\).

2. \(\displaystyle \boxed{z_k=2e^{i(\pi/10+2k\pi/5)},\quad k=0,\ldots,4}\).

3. Les cinq images sont sur le cercle de centre \(O\), rayon \(2\), avec un pas angulaire \(2\pi/5\) : \(\boxed{\text{pentagone régulier}}\).

4. Ce sont les racines de \(X^5-32i\), dont le coefficient de \(X^4\) est nul. Leur somme vaut \(\boxed{0}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Si \(z=\rho e^{i\theta}\), alors \(\rho^n=r\), donc \(\boxed{\rho=r^{1/n}}\).

2. Il faut \(n\theta\equiv\varphi\pmod{2\pi}\), soit \(\boxed{\theta=\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}}\).

3. \(\displaystyle \boxed{z_k=r^{1/n}e^{i(\varphi+2k\pi)/n},\quad k=0,\ldots,n-1}\).

4. \(128=2^7\), donc \(\boxed{z_k=2e^{2ik\pi/7},\ k=0,\ldots,6}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(|z|^n=1\), donc \(\boxed{|z|=1}\).

2. \(\displaystyle \boxed{\mathbb U_n=\{e^{2ik\pi/n}:k=0,\ldots,n-1\}}\).

3. Pour \(\omega=e^{2i\pi/n}\), \(\displaystyle 1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=\dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}=\boxed{0}\).

4. Les arguments sont \(k\pi/4\). Le cosinus est positif pour \(k=0,1,7\). Il y en a donc \(\boxed{3}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Tous les points ont module \(1\), et leurs arguments sont espacés de \(\pi/3\). C’est un \(\boxed{\text{hexagone régulier}}\).

2. \(\displaystyle A_0A_1=|\omega-1|=2\sin(\pi/6)=\boxed{1}\).

3. \(\displaystyle A_0A_2=|\omega^2-1|=2\sin(\pi/3)=\boxed{\sqrt3}\).

4. \(\displaystyle A_0A_3=|-1-1|=\boxed{2}\) : \(A_0A_3\) est un diamètre du cercle unité.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Comme \(\zeta^5=1\) et \(\zeta\ne1\), la somme géométrique vaut \(\boxed{0}\).

2. On obtient \(\zeta^2+\zeta+1+\zeta^{-1}+\zeta^{-2}=0\). Avec \(x=\zeta+\zeta^{-1}\) et \(\zeta^2+\zeta^{-2}=x^2-2\), \(\boxed{x^2+x-1=0}\).

3. Comme \(x=2\cos(2\pi/5)>0\), \(x=(\sqrt5-1)/2\). Donc \(\boxed{\cos(2\pi/5)=\dfrac{\sqrt5-1}{4}}\).

4. On utilise \(\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1\) avec \(\theta=\pi/5\). Ainsi \[ 2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{5}\right)-1=\dfrac{\sqrt5-1}{4}. \] Donc \[ \cos^2\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{3+\sqrt5}{8} =\left(\dfrac{1+\sqrt5}{4}\right)^2. \] Comme \(0<\pi/5<\pi/2\), le cosinus est positif, d'où \[ \boxed{\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt5+1}{4}}. \]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Les dix points ont module \(1\) et des arguments espacés de \(\pi/5\) : \(\boxed{\text{décagone régulier}}\).

2. \(\displaystyle A_0A_1=2\sin(\pi/10)=\boxed{\dfrac{\sqrt5-1}{2}}\).

3. \(\displaystyle A_0A_2=2\sin(\pi/5)=\boxed{\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{2}}\).

4. \(A_5\) est diamétralement opposé à \(A_0\), donc \(\boxed{A_0A_5=2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le module vaut \(1\), donc \(\boxed{AC=AB}\).

2. L’argument vaut \(\pi/3\), donc l’angle orienté de \(\overrightarrow{AB}\) vers \(\overrightarrow{AC}\) vaut \(\boxed{\pi/3}\).

3. \(z_B-z_A=3+2i\). Après multiplication par \(e^{i\pi/3}\), \(\boxed{z_C=\dfrac52-\sqrt3+i\,\dfrac{3\sqrt3}{2}}\).

4. On remplace \(e^{i\pi/3}\) par \(e^{-i\pi/3}\). On obtient \(\boxed{z_{C'}=\dfrac52+\sqrt3-i\,\dfrac{3\sqrt3}{2}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(z_B-z_A=3+i\), donc \(i(z_B-z_A)=-1+3i\), d’où \(\boxed{z_D=4i}\).

2. Dans un parallélogramme \(z_A+z_C=z_B+z_D\). Ainsi \(\boxed{z_C=3+5i}\).

3. \(\overrightarrow{AD}\) est obtenu de \(\overrightarrow{AB}\) par multiplication par \(i\) : même longueur et angle droit. Le parallélogramme est donc un \(\boxed{\text{carré}}\).

4. Le centre est le milieu de \(A\) et \(C\) : \(\boxed{2+3i}\). Le rayon vaut \(\dfrac12|z_C-z_A|=\boxed{\sqrt5}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\displaystyle \dfrac{z_C}{z_B}=1+i\sqrt3=\boxed{2e^{i\pi/3}}\).

2. Donc \(\boxed{AC=2AB}\) et \(\boxed{\widehat{BAC}=60^\circ}\).

3. \(AB=1\), \(AC=2\), \(BC=\sqrt3\). Comme \(AB^2+BC^2=AC^2\), \(\boxed{ABC\text{ est rectangle en }B}\).

4. \(\displaystyle \mathcal A=\dfrac12 AB\cdot BC=\boxed{\dfrac{\sqrt3}{2}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. La condition signifie \(\boxed{MA=2MB}\), où \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(-1\) et \(1\).

2. \((x+1)^2+y^2=4((x-1)^2+y^2)\), soit \(\boxed{3x^2-10x+3y^2+3=0}\).

3. \(\displaystyle \boxed{\left(x-\dfrac53\right)^2+y^2=\dfrac{16}{9}}\).

4. Le lieu est le cercle de centre \(\boxed{(5/3;0)}\) et de rayon \(\boxed{4/3}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. L’argument du quotient mesure, modulo \(\pi\), l’angle entre les directions \(AM\) et \(BM\).

2. La condition équivaut à \(\boxed{AM\perp BM}\).

3. Le lieu est \(\boxed{\text{le cercle de diamètre }[AB]\text{ privé de }A,B}\).

4. Son centre est \(O\) et son rayon vaut \(1\) : \(\boxed{x^2+y^2=1}\), avec \(M\neq A,B\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Module \(2\) et argument \(\pi/2\) donnent \(\boxed{\dfrac{z-1}{z+1}=2i}\).

2. \(z-1=2i(z+1)\), donc \(z(1-2i)=1+2i\).

3. \(\displaystyle z=\dfrac{1+2i}{1-2i}=\dfrac{(1+2i)^2}{5}=\boxed{-\dfrac35+\dfrac45i}\).

4. Pour ce \(z\), le quotient vaut exactement \(2i\), de module \(2\) et d’argument \(\pi/2\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le point fixe vérifie \(L=iL+1-i\), donc \(\boxed{L=1}\).

2. \(w_{n+1}=z_{n+1}-1=i(z_n-1)=\boxed{iw_n}\).

3. Comme \(w_0=1\), \(w_n=i^n\), donc \(\boxed{z_n=1+i^n}\).

4. Les affixes sont périodiquement \(2,1+i,0,1-i\). Les points sont les sommets d’un carré sur le cercle de centre \(1\) et de rayon \(1\), de période \(\boxed{4}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(w_0=2\) et \(w_{n+1}=\dfrac12e^{i\pi/3}w_n\), donc \(\boxed{w_n=2\left(\dfrac12\right)^ne^{in\pi/3}}\).

2. \(\displaystyle \boxed{z_n=1+i+2^{1-n}e^{in\pi/3}}\).

3. \(\boxed{LM_n=|w_n|=2^{1-n}}\).

4. À chaque étape, la direction tourne de \(\pi/3\) et la distance au centre est divisée par \(2\). Ainsi \(\boxed{z_n\to1+i}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Si \(z,w\neq0\), \(z\overline w=|z||w|e^{i\theta}\), donc \(\operatorname{Re}(z\overline w)=|z||w|\cos\theta\le|z||w|\). Les cas nuls sont immédiats.

2. \(|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\operatorname{Re}(z\overline w)\le(|z|+|w|)^2\). Donc \(\boxed{|z+w|\le|z|+|w|}\).

3. Supposons \(z,w\neq0\). L’égalité \[ |z+w|=|z|+|w| \] équivaut, après élévation au carré, à \[ \operatorname{Re}(z\overline w)=|z||w|. \] Si \(z\overline w=|z||w|e^{i\theta}\), cela impose \(\cos\theta=1\), donc \(\theta\equiv0\ [2\pi]\). Ainsi \(z\) et \(w\) ont le même argument et \[ \boxed{\dfrac zw\in\mathbb R_{+}^{*}}. \] Réciproquement, si \(z/w>0\), les deux nombres ont même direction et même sens, et l’égalité triangulaire est atteinte.

4. Sur \([-1,1]\), \(|x-1|=1-x\) et \(|x+1|=x+1\), donc la somme vaut constamment \(\boxed{2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Seuls \(x_0=1\) et \(x_2=-1\) sont non nuls : \(\boxed{X_k=1-\omega^{2k}}\).

2. Comme \(\omega^2=-1\), \(X_k=1-(-1)^k\). Ainsi \(\boxed{X_0=0,\ X_1=2,\ X_2=0,\ X_3=2}\).

3. \(\boxed{X=(0,2,0,2)}\).

4. Les facteurs \(\omega^{jk}\) sont des puissances d’une racine quatrième de l’unité ; ils codent les quatre directions angulaires de la transformée.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Pour \(c=-1\) : \(0,-1,0,-1,0,-1,\ldots\). La suite est périodique et \(\boxed{\text{bornée}}\).

2. Pour \(c=1\) : \(0,1,2,5,26,\ldots\). Les termes croissent très vite : la suite est \(\boxed{\text{non bornée}}\).

3. Pour \(c=i\) : \(z_1=i\), \(z_2=-1+i\), \(z_3=-i\), \(z_4=-1+i\). Un cycle apparaît, donc la suite est bornée.

4. Expérimentalement, \(\boxed{-1\text{ et }i}\) appartiennent à l’ensemble de Mandelbrot, tandis que \(\boxed{1}\) n’y appartient pas.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le module vaut \(\sqrt2\) et les arguments sont \(k\pi/4\). Ainsi \(\boxed{z_k=\sqrt2\,e^{ik\pi/4},\ k=0,\ldots,7}\).

2. Le cosinus est positif pour \(k=0,1,7\) : il y en a \(\boxed{3}\).

3. Il faut \(k=2\) ou \(6\), donc \(\boxed{z=\pm i\sqrt2}\).

4. Il faut \(k=0\) ou \(4\), donc \(\boxed{z=\pm\sqrt2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(z=2e^{i\pi/6}\). Réel iff \(n\pi/6\equiv0\pmod\pi\), soit \(\boxed{n\equiv0\pmod6}\).

2. Positif iff \(n\pi/6\equiv0\pmod{2\pi}\), soit \(\boxed{n\equiv0\pmod{12}}\).

3. Imaginaire pur non nul iff \(n\pi/6\equiv\pi/2\pmod\pi\), soit \(\boxed{n\equiv3\pmod6}\).

4. Négatif iff \(n\pi/6\equiv\pi\pmod{2\pi}\), soit \(\boxed{n\equiv6\pmod{12}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z_A=2e^{i5\pi/6}}\) et \(\boxed{z_{A_1}=2e^{-i5\pi/6}}\).

2. \(z_B=e^{i\pi/6}z_{A_1}=2e^{-i2\pi/3}=\boxed{-1-i\sqrt3}\).

3. Les deux modules valent \(2\). La différence des arguments vaut \(\pi/2\) modulo \(2\pi\), donc les rayons sont perpendiculaires.

4. \(\boxed{OAB\text{ est rectangle isocèle en }O}\). Son aire vaut \(\dfrac12\times2\times2=\boxed{2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le facteur a module \(1\) et argument \(-\pi/6\) : \(\boxed{F\text{ est la rotation de centre }O\text{ et d’angle }-\pi/6}\).

2. \(\boxed{z_{A'}=2e^{i(5\pi/6-\pi/6)}=2e^{i2\pi/3}=-1+i\sqrt3}\).

3. \((e^{-i\pi/6})^{12}=e^{-i2\pi}=1\), donc \(\boxed{F^{12}=\mathrm{Id}}\).

4. Les douze points ont module \(2\) et leurs arguments sont espacés de \(\pi/6\). Ils forment \(\boxed{\text{un dodécagone régulier}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\Delta=-36\), donc \(\boxed{z=2+3i\text{ ou }z=2-3i}\).

2. \(|z_X-2|=3\) pour \(X=A,B,C,D\). Le cercle a pour centre le point d’affixe \(\boxed{2}\) et pour rayon \(\boxed{3}\).

3. \(\displaystyle \dfrac{-3-3i}{-3+3i}=\boxed{i}\). Le module vaut \(1\) et l’argument \(\pi/2\) : \(CA=CB\) et \(CA\perp CB\).

4. Les rayons vers \(C,A,D,B\) ont des arguments \(0,\pi/2,\pi,-\pi/2\). Ils sont espacés d’un quart de tour : \(\boxed{CADB\text{ est un carré}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(|z_{k+1}-z_k|=R|e^{2i\pi/n}-1|=\boxed{2R\sin(\pi/n)}\).

2. L’angle au centre vaut \(2\pi/n\), donc \(\displaystyle \boxed{\mathcal A_k=\dfrac12R^2\sin(2\pi/n)}\).

3. En sommant les \(n\) triangles : \(\displaystyle \boxed{\mathcal A=\dfrac n2R^2\sin(2\pi/n)}\).

4. Pour \(n=6,R=2\) : \(\mathcal A=3\times4\times\sin(\pi/3)=\boxed{6\sqrt3}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. La partie réelle de \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0\) donne \(\boxed{\sum\cos(2k\pi/n)=0}\).

2. La partie imaginaire donne \(\boxed{\sum\sin(2k\pi/n)=0}\).

3. \(\cos^2t=(1+\cos2t)/2\). Comme \(\sum_{k=0}^{n-1}e^{4ik\pi/n}=0\) pour \(n\ge3\), \(\boxed{\sum\cos^2(2k\pi/n)=n/2}\).

4. Par \(\sin^2t=1-\cos^2t\), \(\boxed{\sum\sin^2(2k\pi/n)=n/2}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. On factorise \(X^n-1=(X-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega^k)\), puis on divise par \(X-1\). Ainsi \(\boxed{1+X+\cdots+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega^k)}\).

2. Pour \(X=1\), le membre de gauche vaut \(n\). Donc \(\boxed{\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)=n}\).

3. \(|1-e^{2ik\pi/n}|=2\sin(k\pi/n)\). Ainsi \(n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)\), d’où \(\boxed{\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=\dfrac{n}{2^{n-1}}}\).

4. Pour \(n=5\), \(\boxed{\displaystyle\prod_{k=1}^{4}\sin(k\pi/5)=\dfrac{5}{16}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.