Exercices corrigés — Nombres Complexes (Applications) (Tle expertes)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths expertes sur Nombres Complexes (Applications). Tu vas t’entraîner sur forme algébrique, forme trigonométrique, module et argument, applications géométriques avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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Chapitres
Exercices — Nombres complexes (applications)
Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes
Niveau : Maths Expertes • 19–20/20
Niveau : Maths Expertes • 19–20/20
Exercice 1 — Puissances complexes (De Moivre)
On considère :
\[
z = 1 - i\sqrt{3}.
\]
- Écrire \(z\) sous forme trigonométrique.
- Calculer \(z^6\).
- Donner l’interprétation géométrique de \(z^6\).
Correction Afficher / Masquer
\[
|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2
\]
\[
\arg(z)=-\frac{\pi}{3}
\quad(\text{car } z \text{ est dans le 4e quadrant})
\]
\[
z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)
\]
\[
z^6=2^6\left(\cos\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)+i\sin\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)
=64(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=64
\]
Interprétation : \(z^6\) est réel positif \(\Rightarrow\) point sur l’axe réel (à droite de \(O\)).
Exercice 2 — Racines n-ièmes et géométrie
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
\[
z^4 = -16.
\]
- Écrire \(-16\) sous forme trigonométrique.
- Déterminer les 4 solutions.
- Décrire la configuration géométrique des solutions.
Correction Afficher / Masquer
\[
-16 = 16(\cos\pi+i\sin\pi)
\]
Les racines 4-ièmes :
\[
z_k=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)
\quad (k=0,1,2,3)
\]
\[
\boxed{
\begin{aligned}
z_0&=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\
z_1&=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\\
z_2&=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)\\
z_3&=2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)
\end{aligned}}
\]
Géométrie : 4 points sur le cercle \(|z|=2\), arguments espacés de \(\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\) sommets d’un carré centré en \(O\).
Exercice 3 — Similitude directe
On considère :
\[
z'=(1-i)z+2.
\]
- Montrer que c’est une similitude directe.
- Déterminer son rapport et son angle.
- Calculer l’affixe de son centre.
Correction Afficher / Masquer
\[
a=1-i,\quad b=2
\]
\[
|a|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad \arg(a)=-\frac{\pi}{4}
\]
C’est une similitude directe de rapport \(\sqrt2\) et d’angle \(-\frac{\pi}{4}\).
Centre \(\omega\) (point fixe) :
\[
\omega=\frac{b}{1-a}=\frac{2}{1-(1-i)}=\frac{2}{i}=-2i
\]
\[
\boxed{\omega=-2i}
\]
Exercice 4 — Transformation : module, argument, interprétation
Soit \(z\neq0\) et
\[
z'=\frac{1+i}{z}.
\]
- Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\).
- Exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\).
- Interpréter géométriquement la transformation.
Correction Afficher / Masquer
\[
|z'|=\frac{|1+i|}{|z|}=\frac{\sqrt2}{|z|}
\]
\[
\arg(z')=\arg(1+i)-\arg(z)=\frac{\pi}{4}-\arg(z)
\]
Interprétation : composée
- d’une inversion \(z\mapsto \dfrac{1}{z}\),
- d’une rotation d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\),
- d’une homothétie de rapport \(\sqrt2\).
⚠️ Piège : ne pas oublier le “\(-\arg(z)\)” (division \(\Rightarrow\) on soustrait les arguments).
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