Nombres complexes — applications

Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes — méthodes de calcul, constructions géométriques et raisonnements complexes (niveau Maths Expertes).

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices — Nombres complexes (applications)
Forme trigonométrique • puissances • racines n-ièmes • similitudes
Niveau : Maths Expertes • 19–20/20
Exercice 1 — Puissances complexes (De Moivre)
On considère : \[ z = 1 - i\sqrt{3}. \]
  1. Écrire \(z\) sous forme trigonométrique.
  2. Calculer \(z^6\).
  3. Donner l’interprétation géométrique de \(z^6\).
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\[ |z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2 \] \[ \arg(z)=-\frac{\pi}{3} \quad(\text{car } z \text{ est dans le 4e quadrant}) \] \[ z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \] \[ z^6=2^6\left(\cos\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)+i\sin\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) =64(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=64 \]
Interprétation : \(z^6\) est réel positif \(\Rightarrow\) point sur l’axe réel (à droite de \(O\)).
Exercice 2 — Racines n-ièmes et géométrie
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \[ z^4 = -16. \]
  1. Écrire \(-16\) sous forme trigonométrique.
  2. Déterminer les 4 solutions.
  3. Décrire la configuration géométrique des solutions.
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\[ -16 = 16(\cos\pi+i\sin\pi) \] Les racines 4-ièmes : \[ z_k=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right) \quad (k=0,1,2,3) \] \[ \boxed{ \begin{aligned} z_0&=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\ z_1&=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\\ z_2&=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)\\ z_3&=2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right) \end{aligned}} \]
Géométrie : 4 points sur le cercle \(|z|=2\), arguments espacés de \(\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\) sommets d’un carré centré en \(O\).
Exercice 3 — Similitude directe
On considère : \[ z'=(1-i)z+2. \]
  1. Montrer que c’est une similitude directe.
  2. Déterminer son rapport et son angle.
  3. Calculer l’affixe de son centre.
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\[ a=1-i,\quad b=2 \] \[ |a|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad \arg(a)=-\frac{\pi}{4} \]
C’est une similitude directe de rapport \(\sqrt2\) et d’angle \(-\frac{\pi}{4}\).
Centre \(\omega\) (point fixe) : \[ \omega=\frac{b}{1-a}=\frac{2}{1-(1-i)}=\frac{2}{i}=-2i \] \[ \boxed{\omega=-2i} \]
Exercice 4 — Transformation : module, argument, interprétation
Soit \(z\neq0\) et \[ z'=\frac{1+i}{z}. \]
  1. Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\).
  2. Exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\).
  3. Interpréter géométriquement la transformation.
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\[ |z'|=\frac{|1+i|}{|z|}=\frac{\sqrt2}{|z|} \] \[ \arg(z')=\arg(1+i)-\arg(z)=\frac{\pi}{4}-\arg(z) \]
Interprétation : composée
  • d’une inversion \(z\mapsto \dfrac{1}{z}\),
  • d’une rotation d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\),
  • d’une homothétie de rapport \(\sqrt2\).
⚠️ Piège : ne pas oublier le “\(-\arg(z)\)” (division \(\Rightarrow\) on soustrait les arguments).