Fiche ULTRA — Complexes (algébrique) — Maths Expertes
Tout ce qu’il faut savoir refaire vite : formules incontournables, méthodes Bac, et pièges qui font perdre des points.
Formules
Rationaliser
Conjugué
Module
Équations
Pièges
1) Formules ESSENTIELLES (par cœur)
Définition / égalité
\[
z=a+ib,\quad a=\Re(z),\quad b=\Im(z),\quad i^2=-1
\]
\[
a+ib=c+id \iff a=c\ \text{et}\ b=d
\]
Conjugué
\[
\overline{z}=a-ib,\qquad \overline{\overline{z}}=z
\]
\[
\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\qquad
\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}
\]
\[
z\in\mathbb{R}\iff z=\overline{z},\qquad z\in i\mathbb{R}\iff z=-\overline{z}
\]
Module
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ (\ge 0),\qquad |z|=0 \iff z=0
\]
\[
z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2
\]
\[
|\overline{z}|=|z|,\qquad |zw|=|z||w|,\qquad \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}\ (w\neq 0)
\]
\[
|z+w|\le |z|+|w|\quad (\text{triangulaire})
\]
Re/Im en fonction de \(z\) et \(\overline{z}\)
\[
\Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2},\qquad
\Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}
\]
2) Opérations — express
Somme
\[
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
\]
Produit
\[
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)
\]
Puissances de \(i\)
\[
i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i
\]
3) Méthodes “Bac / ME” (à appliquer automatiquement)
M1 — Mettre sous forme \(x+iy\) : rationaliser
Pour \(\dfrac{z}{a+ib}\), multiplier haut et bas par \(a-ib\).
\[
\frac{z}{a+ib}=\frac{z(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{z(a-ib)}{a^2+b^2}
\]
Checklist : (1) conjugué du dénominateur, (2) \(a^2+b^2\), (3) développer, (4) séparer réel/imag.
M2 — Inverse d’un complexe
\[
\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}
\]
À utiliser aussi pour résoudre \((a+ib)z=w\) : \(z=\dfrac{w}{a+ib}\) puis M1.
M3 — Résoudre une équation complexe : identifier \(\Re/\Im\)
Si tu arrives à \(A+iB=0\) avec \(A,B\in\mathbb{R}\), alors :
\[
A=0\quad \text{et}\quad B=0
\]
C’est la méthode la plus sûre pour éviter les erreurs.
M4 — Équations avec conjugué : poser \(z=a+ib\)
Remplacer \(\overline{z}\) par \(a-ib\), puis séparer réel/imaginaire.
\[
z+\overline{z}=2a,\qquad z-\overline{z}=2ib
\]
M5 — Conditions sur le module : passer au carré
Pour \(|z-\alpha|=r\), écrire \(|z-\alpha|^2=r^2\) :
\[
|z-\alpha|^2=(z-\alpha)\overline{(z-\alpha)}=r^2
\]
En algébrique si \(z=a+ib\), alors \(|z-\alpha|^2\) devient une somme de carrés.
4) Mini-exemples (à refaire en 30 secondes)
E1 — Quotient sous forme \(x+iy\)
\[
\frac{2+i}{1-3i}=\frac{(2+i)(1+3i)}{1^2+3^2}=\frac{-1+7i}{10}
\]
Donc \(\displaystyle \frac{2+i}{1-3i}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i\).
E2 — Équation \((2-i)z=5+3i\)
\[
z=\frac{5+3i}{2-i}=\frac{(5+3i)(2+i)}{5}=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i
\]
E3 — Conjugué : \(z+\overline{z}=6\)
\(z=a+ib\Rightarrow 2a=6\Rightarrow a=3\), donc \(z=3+ib\) avec \(b\in\mathbb{R}\).
E4 — Module : \(|z-2|=3\)
\(z=a+ib\Rightarrow \sqrt{(a-2)^2+b^2}=3\Rightarrow (a-2)^2+b^2=9\).
5) Pièges classiques (à éviter)
P1 — “Annuler \(i\)”
Faux : \(a+ib=0 \Rightarrow a=0\) et \(b=0\). On sépare toujours réel/imaginaire.
P2 — \(|z+w|=|z|+|w|\)
En général c’est faux. On utilise plutôt \(|z+w|\le |z|+|w|\).
P3 — Oublier le conjugué sur tout le bloc
\(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\) (pas \(\overline{z}+w\)).
P4 — Dénominateur complexe non rationalisé
Au Bac/ME, on attend une réponse sous forme \(x+iy\) : on rationalise.
P5 — Confondre \(|z|^2\) et \(|z^2|\)
\(|z|^2 = z\overline{z}\). Et \(|z^2|=|z|^2\) (car \(|zw|=|z||w|\)).
6) Checklist examen (30 secondes)
✅ Forme \(a+ib\) finale
✅ Dénominateur réel
✅ \(\Re/\Im\) séparés
✅ Conjugué correct
✅ Module au carré si besoin
✅ Pièges vérifiés