Cours ADVANCED — Nombres complexes (algébrique) — Maths Expertes
Objectif : manipuler rapidement la forme \(a+ib\), maîtriser conjugué et module, résoudre des équations complexes et sécuriser les calculs (pièges classiques).
Forme \(a+ib\)
Opérations
Conjugué
Module
Équations
Pièges
0) Définition — forme algébrique
Le corps \(\mathbb{C}\)
Un nombre complexe s’écrit
\[
z = a + ib \quad \text{avec } a\in\mathbb{R},\ b\in\mathbb{R},\ i^2=-1.
\]
On appelle :
\[
\Re(z)=a \quad \text{(partie réelle)},\qquad \Im(z)=b \quad \text{(partie imaginaire)}.
\]
Égalité : si \(z=a+ib\) et \(w=c+id\), alors
\[
z=w \iff a=c \ \text{et}\ b=d.
\]
Piège
Ne jamais “annuler” \(i\) comme un nombre réel : on compare séparément
la partie réelle et la partie imaginaire.
1) Opérations — addition, produit, inverse
Addition / soustraction
\[
(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
\]
\[
(a+ib) - (c+id) = (a-c) + i(b-d)
\]
Produit (distributivité + \(i^2=-1\))
\[
(a+ib)(c+id)=ac + iad + ibc + i^2 bd
= (ac-bd) + i(ad+bc).
\]
Puissances rapides de \(i\)
\[
i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1
\]
\[
\Rightarrow\ i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i.
\]
Inverse d’un complexe non nul
Pour \(z=a+ib\neq 0\), on veut \(\dfrac{1}{z}\) sous forme \(x+iy\).
L’idée : multiplier par le conjugué.
\[
\frac{1}{a+ib}=\frac{1}{a+ib}\cdot\frac{a-ib}{a-ib}
=\frac{a-ib}{a^2+b^2}
=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}.
\]
Condition : \(a^2+b^2\neq 0\), donc \((a;b)\neq(0;0)\).
2) Conjugué \(\overline{z}\) — outil principal
Définition
Si \(z=a+ib\), alors
\[
\overline{z} = a - ib.
\]
“On change le signe de la partie imaginaire”.
Propriétés incontournables
Pour tous \(z,w\in\mathbb{C}\) :
\[
\overline{\overline{z}}=z,\qquad \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\qquad
\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}.
\]
\[
z\in\mathbb{R}\iff z=\overline{z}\qquad\text{et}\qquad
z\in i\mathbb{R}\iff z=-\overline{z}.
\]
Formules “express”
\[
\Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2},\qquad
\Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}.
\]
Très utile quand \(z\) est donné sous une forme compliquée.
3) Module \(|z|\) — définition & propriétés
Définition
Pour \(z=a+ib\),
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ \ (\ge 0).
\]
Donc \(|z|=0 \iff z=0\).
Lien fondamental avec le conjugué
\[
z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2.
\]
C’est la raison pour laquelle on rationalise avec \(\overline{z}\).
Propriétés (à savoir démontrer vite)
\[
|\overline{z}|=|z|,\qquad |zw|=|z||w|,\qquad \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}\ (w\neq 0).
\]
\[
|z+w|\le |z|+|w| \quad \text{(inégalité triangulaire).}
\]
Pièges fréquents
\(|z+w|\neq |z|+|w|\) en général. (Égalité seulement dans des cas particuliers.)
4) Division — “rendre réel le dénominateur”
Méthode standard
Pour simplifier \(\dfrac{z}{a+ib}\), multiplier haut & bas par \((a-ib)\).
\[
\frac{z}{a+ib}=\frac{z(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{z(a-ib)}{a^2+b^2}.
\]
Exemple corrigé
Mettre sous forme \(x+iy\) :
\(\displaystyle \frac{3-2i}{1+4i}\).
\[
\frac{3-2i}{1+4i}\cdot\frac{1-4i}{1-4i}
=\frac{(3-2i)(1-4i)}{1^2+4^2}
=\frac{3-12i-2i+8i^2}{17}
\]
\[
=\frac{3-14i-8}{17}
=\frac{-5}{17}-i\frac{14}{17}.
\]
Réponse : \(\displaystyle \frac{3-2i}{1+4i}=-\frac{5}{17}-\frac{14}{17}i\).
5) Équations complexes — méthodes algébriques
Principe : passer à \(a+ib\) et identifier
Si on obtient \(A+iB=0\) avec \(A,B\in\mathbb{R}\), alors
\[
A=0 \quad \text{et}\quad B=0.
\]
Exemple 1 — équation linéaire
Résoudre : \((2-i)z=5+3i\).
\[
z=\frac{5+3i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i}
=\frac{(5+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}
=\frac{10+5i+6i+3i^2}{4+1}
\]
\[
=\frac{10+11i-3}{5}
=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i.
\]
Donc \(\displaystyle z=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i\).
Exemple 2 — équation avec conjugué
Résoudre : \(z+\overline{z}=6\).
Poser \(z=a+ib\) \(\Rightarrow \overline{z}=a-ib\).
Alors
\[
z+\overline{z}=(a+ib)+(a-ib)=2a=6 \Rightarrow a=3.
\]
\(b\) est libre : solutions
\[
z=3+ib,\quad b\in\mathbb{R}.
\]
Exemple 3 — condition sur le module
Décrire l’ensemble des \(z=a+ib\) tels que \(|z-2|=3\).
En algébrique :
\[
|(a+ib)-2|=\sqrt{(a-2)^2+b^2}=3
\iff (a-2)^2+b^2=9.
\]
C’est un cercle (en repère complexe) de centre \(2\) et rayon \(3\).
6) Techniques avancées (très utiles en Maths Expertes)
Rendre un quotient réel / imaginaire
Pour \(z\neq 0\),
\[
\frac{z}{\overline{z}} \ \text{a un module } 1 \quad \text{car}\quad
\left|\frac{z}{\overline{z}}\right|=\frac{|z|}{|\overline{z}|}=1.
\]
Et
\[
\frac{z}{\overline{z}} \in \mathbb{R}\iff z=\overline{z}\ \text{ou}\ z=-\overline{z}\ \text{(cas particuliers)}.
\]
Condition “réel” / “imaginaire pur” sur un produit
Pour \(z,w\neq 0\),
\[
zw\in\mathbb{R} \iff zw=\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}.
\]
\[
zw\in i\mathbb{R} \iff zw=-\overline{zw}.
\]
C’est souvent plus rapide que développer, selon l’énoncé.
Piège “\(\overline{z^2}\)”
Ne pas confondre :
\[
\overline{z^2}=(\overline{z})^2 \quad \text{(vrai)},
\]
mais
\[
\overline{z}^2 \neq \overline{z^2} \ \text{n’est pas un piège (c’est égal)}.
\]
Le vrai piège est plutôt d’oublier que l’opération “barre” agit sur tout :
\(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\), etc.
7) Résumé express (à savoir refaire sans hésiter)
\[
z=a+ib,\ \overline{z}=a-ib,\ |z|=\sqrt{a^2+b^2},\ z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2.
\]
\[
\Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2},\qquad \Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}.
\]
\[
\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.
\]
\[
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).
\]
Objectif “très bon niveau”
Savoir transformer n’importe quelle expression en \(a+ib\), détecter les pièges,
et résoudre vite les équations via identification \(\Re/\Im\) ou conjugué.