Exercices corrigés — Nombres Complexes (Algébrique) (Tle expertes)

1)

\[z+w=(2-3i)+(-1+4i)=1+i,\qquad z-w=(2-3i)-(-1+4i)=3-7i.\]

2)

\[zw=(2-3i)(-1+4i)=-2+8i+3i-12i^2=10+11i.\]

3)

\[z^2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=-5-12i,\qquad w^2=(-1+4i)^2=-15-8i.\]

4) Identité : \(z^2-2zw+w^2=(z-w)^2\).

\[(z-w)^2=(3-7i)^2=9-42i+49i^2=-40-42i.\]

Donc \(z^2-2zw+w^2=-40-42i\).

a) Multiplier par \(2-i\) :

\[\frac{3-5i}{2+i}=\frac{(3-5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6-3i-10i+5i^2}{5}=\frac{1}{5}-\frac{13}{5}i.\]

b) Multiplier par \(1+3i\) :

\[\frac{2+i}{1-3i}=\frac{(2+i)(1+3i)}{1^2+3^2}=\frac{2+7i-3}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i.\]

c) \((1-2i)^2=-3-4i\) puis conjugué :

\[\frac{1}{(1-2i)^2}=\frac{1}{-3-4i}=\frac{-3+4i}{25}=-\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.\]

1) \(z\overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2\).

2) \(\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\overline z}{\overline z}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac{\overline z}{|z|^2}\).

3) \(\overline{3-4i}=3+4i\) et \(|3-4i|^2=3^2+4^2=25\).

\[\frac{1}{3-4i}=\frac{3+4i}{25}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.\]

Poser \(z=a+ib\), \(\overline z=a-ib\).

\[(1-2i)z=(1-2i)(a+ib)=(a+2b)+i(b-2a).\]

\[(3+i)\overline z=(3+i)(a-ib)=(3a+b)+i(a-3b).\]

Somme : \((4a+3b)+i(-a-2b)=7-5i\).

\[\begin{cases}4a+3b=7\\ -a-2b=-5\end{cases}\iff\begin{cases}4a+3b=7\\ a+2b=5\end{cases}\]

De \(a=5-2b\) : \(4(5-2b)+3b=7\Rightarrow b=\frac{13}{5}\), puis \(a=-\frac{1}{5}\).

\[\boxed{z=-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}i}.\]

\(|z-(2-i)|=3\iff |(a-2)+i(b+1)|=3\).

Donc \(|z-(2-i)|^2=(a-2)^2+(b+1)^2=9\).

\[\boxed{(a-2)^2+(b+1)^2=9}.\]

|(z-1)/(z+1)|=2 \(\iff |z-1|=2|z+1|\).

Poser \(z=a+ib\) :

\(|z-1|^2=(a-1)^2+b^2\), \(|z+1|^2=(a+1)^2+b^2\).

\[(a-1)^2+b^2=4\big((a+1)^2+b^2\big).\]

Développer :

\[a^2-2a+1+b^2=4a^2+8a+4+4b^2\Rightarrow 3a^2+10a+3+3b^2=0.\]

Compléter le carré :

\[\left(a+\frac{5}{3}\right)^2+b^2=\frac{16}{9}.\]

Interprétation : cercle de centre \(\left(-\frac{5}{3};0\right)\) et rayon \(\frac{4}{3}\), avec \(z\neq-1\).

Passer au carré : \(|z|^2=|z-1|^2\).

\[a^2+b^2=(a-1)^2+b^2\Rightarrow a^2=(a^2-2a+1)\Rightarrow 2a=1\Rightarrow a=\frac12.\]

\[\boxed{a=\frac12}\] (droite verticale).

\(\overline w=1-2i\). Alors

\[z\overline w=(a+ib)(1-2i)=(a+2b)+i(b-2a).\]

Pour que ce soit réel, il faut \(\Im(z\overline w)=0\Rightarrow b-2a=0\Rightarrow b=2a\).

\[\boxed{b=2a}.\]

Poser \(z=a+ib\), \(\overline z=a-ib\).

\[z+\overline z=2a=4\Rightarrow a=2.\]

\[z-\overline z=2ib=6i\Rightarrow b=3.\]

\[\boxed{z=2+3i}.\]

\(z=\dfrac{2-3i}{1+i}\). Multiplier par \(1-i\) :

\[z=\frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-3i+3i^2}{2}=\frac{2-5i-3}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i.\]

\[\boxed{z=-\frac12-\frac52 i}.\]

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) et \(\Re(z)=a\). On doit avoir \(a\ge 0\).

Passer au carré :

\[a^2+b^2=4a^2\Rightarrow b^2=3a^2\Rightarrow b=\pm\sqrt3\,a.\]

Avec \(a\ge 0\).

\[\boxed{b=\sqrt3\,a\;\text{ou}\;b=-\sqrt3\,a\;\text{avec}\;a\ge 0}.\]

Preuve :

\[|z+w|^2=(z+w)\overline{(z+w)}=(z+w)(\overline z+\overline w)=z\overline z+w\overline w+z\overline w+\overline z\,w.\]

Or \(z\overline w+\overline z\,w=2\Re(z\overline w)\). Donc la formule.

Application : \(z\overline w=(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i\Rightarrow \Re(z\overline w)=-1\).

\(|z|^2=2\), \(|w|^2=13\).

\[|z+w|^2=2+13+2(-1)=13\Rightarrow |z+w|=\sqrt{13}.\]

On veut \(z=ai\) avec \(a\in\mathbb R\).

Alors \(z^2=-a^2=-16\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=\pm 4\).

\[\boxed{z=4i\;\text{ou}\;z=-4i}.\]

Discriminant : \(\Delta=(2-2i)^2-8i\).

\[(2-2i)^2=4-8i+4i^2=4-8i-4=-8i.\]

Donc \(\Delta=-8i-8i=-16i\).

Chercher \(\sqrt\Delta\) : on veut \((a+ib)^2=-16i\).

\[(a+ib)^2=(a^2-b^2)+i(2ab)\Rightarrow\begin{cases}a^2-b^2=0\\2ab=-16\end{cases}\]

Donc \(a=\pm b\) et \(ab=-8\).

Si \(a=b\), alors \(a^2=-8\) impossible réel.

Si \(a=-b\), alors \(-a^2=-8\Rightarrow a^2=8\Rightarrow a=\pm 2\sqrt2\) et \(b=\mp 2\sqrt2\).

Ainsi \(\sqrt\Delta=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)\).

Solutions :

\[z=\frac{(2-2i)\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)}{2}=(1-i)\pm(\sqrt2-\sqrt2\,i).\]

\[\boxed{z_1=(1+\sqrt2)-(1+\sqrt2)i\quad\text{et}\quad z_2=(1-\sqrt2)-(1-\sqrt2)i}.\]

\(z\overline z=|z|^2=a^2+b^2\) et \(z+\overline z=2a\).

Donc

\[a^2+b^2+2a=0\iff (a+1)^2+b^2=1.\]

\[\boxed{(a+1)^2+b^2=1}.\] (cercle de centre \((-1;0)\) et rayon 1)

\(a=3\). Et \(|z|^2=a^2+b^2=25\Rightarrow 9+b^2=25\Rightarrow b^2=16\Rightarrow b=\pm 4\).

\[\boxed{z=3+4i\;\text{ou}\;z=3-4i}.\]

1) Vrai : \(|\overline z|^2=\overline z\,z=z\overline z=|z|^2\Rightarrow |\overline z|=|z|\).

2) Faux : l’égalité des modules est toujours vraie, même si \(z\) n’est pas réel.

Contre-exemple : \(z=1+i\). Alors \(|z|=\sqrt2\) et \(|\overline z|=\sqrt2\) mais \(z\neq\overline z\).

Poser \(z=a+ib\), \(\overline z=a-ib\).

\[a+ib=\lambda(a-ib)\Rightarrow\begin{cases}a=\lambda a\\ b=-\lambda b\end{cases}\]

Donc \((1-\lambda)a=0\) et \((1+\lambda)b=0\).

- Si \(\lambda=1\) : alors \(b=0\) et \(a\) libre \(\Rightarrow z\in\mathbb R\).

- Si \(\lambda=-1\) : alors \(a=0\) et \(b\) libre \(\Rightarrow z\in i\mathbb R\).

- Si \(\lambda\neq\pm 1\) : alors \(a=0\) et \(b=0\Rightarrow z=0\).

\[\boxed{\lambda=1\Rightarrow z\in\mathbb R;\;\lambda=-1\Rightarrow z\in i\mathbb R;\;\lambda\neq\pm1\Rightarrow z=0}.\]

Passer au carré :

\[(a-2)^2+b^2=a^2+(b+1)^2.\]

Développer : \(a^2-4a+4+b^2=a^2+b^2+2b+1\Rightarrow -4a+4=2b+1\).

\[\boxed{2b+4a-3=0}\quad\text{ou}\quad\boxed{b=-2a+\frac{3}{2}}.\]

On a \(|z|^2=a^2+b^2\).

Calculer \((3-4i)z=(3-4i)(a+ib)=(3a+4b)+i(3b-4a)\).

Donc \(\Re((3-4i)z)=3a+4b\).

Équation :

\[a^2+b^2=3a+4b\iff a^2-3a+b^2-4b=0.\]

Compléter le carré :

\[(a-\tfrac{3}{2})^2+(b-2)^2=\tfrac{9}{4}+4=\tfrac{25}{4}.\]

\[\boxed{(a-\tfrac{3}{2})^2+(b-2)^2=\left(\tfrac{5}{2}\right)^2}.\]

Interprétation : cercle de centre \(\left(\tfrac{3}{2};2\right)\) et rayon \(\tfrac{5}{2}\).