Exercices — Nombres complexes (point de vue algébrique)
Série HARD (Maths Expertes) : calculs en \(a+ib\), rationalisation, inverse via conjugué,
modules, équations complexes, systèmes sur \(\Re\) / \(\Im\), et pièges classiques.
Méthode “Complexes” (réflexes 19–20/20)
Réflexes incontournables
- Forme algébrique : poser \(z=a+ib\) (avec \(a=\Re(z)\), \(b=\Im(z)\)), puis identifier \(\Re\) / \(\Im\).
- Conjugué : \(\overline{a+ib}=a-ib\), et \(\;z\overline z=|z|^2=a^2+b^2\).
- Inverse : si \(z\neq 0\), alors \(\displaystyle \frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}\).
- Rationaliser : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué.
- Module : préfère \(|z|^2\) à \(|z|\) (évite les racines) : \(|z|=r \iff |z|^2=r^2\).
Pièges classiques :
confondre \(\overline{z+w}=\overline z+\overline w\) (vrai) avec \(\overline{zw}=\overline z\,\overline w\) (vrai) mais
oublier que \(|z+w|\neq |z|+|w|\) en général.
1
Opérations en chaîne — forme \(a+ib\)
#a+ib
#calcul
#identité remarquable
Soient \(z=2-3i\) et \(w=-1+4i\).
1) Calculer \(z+w\) et \(z-w\).
2) Calculer \(zw\).
3) Calculer \(z^2\) et \(w^2\).
4) Simplifier \(z^2-2zw+w^2\) et interpréter.
1) Calculer \(z+w\) et \(z-w\).
2) Calculer \(zw\).
3) Calculer \(z^2\) et \(w^2\).
4) Simplifier \(z^2-2zw+w^2\) et interpréter.
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1)
\[z+w=(2-3i)+(-1+4i)=1+i,\qquad z-w=(2-3i)-(-1+4i)=3-7i.\]
2)
\[zw=(2-3i)(-1+4i)=-2+8i+3i-12i^2=10+11i.\]
3)
\[z^2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=-5-12i,\qquad w^2=(-1+4i)^2=-15-8i.\]
4) Identité : \(z^2-2zw+w^2=(z-w)^2\).
\[(z-w)^2=(3-7i)^2=9-42i+49i^2=-40-42i.\]
Donc \(z^2-2zw+w^2=-40-42i\).
\[z+w=(2-3i)+(-1+4i)=1+i,\qquad z-w=(2-3i)-(-1+4i)=3-7i.\]
2)
\[zw=(2-3i)(-1+4i)=-2+8i+3i-12i^2=10+11i.\]
3)
\[z^2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=-5-12i,\qquad w^2=(-1+4i)^2=-15-8i.\]
4) Identité : \(z^2-2zw+w^2=(z-w)^2\).
\[(z-w)^2=(3-7i)^2=9-42i+49i^2=-40-42i.\]
Donc \(z^2-2zw+w^2=-40-42i\).
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
2
Rationaliser (quotients piégeux)
#conjugué
#rationalisation
#division
Mettre sous forme \(a+ib\) :
a) \(\dfrac{3-5i}{2+i}\)
b) \(\dfrac{2+i}{1-3i}\)
c) \(\dfrac{1}{(1-2i)^2}\)
a) \(\dfrac{3-5i}{2+i}\)
b) \(\dfrac{2+i}{1-3i}\)
c) \(\dfrac{1}{(1-2i)^2}\)
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a) Multiplier par \(2-i\) :
\[\frac{3-5i}{2+i}=\frac{(3-5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6-3i-10i+5i^2}{5}=\frac{1}{5}-\frac{13}{5}i.\]
b) Multiplier par \(1+3i\) :
\[\frac{2+i}{1-3i}=\frac{(2+i)(1+3i)}{1^2+3^2}=\frac{2+7i-3}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i.\]
c) \((1-2i)^2=-3-4i\) puis conjugué :
\[\frac{1}{(1-2i)^2}=\frac{1}{-3-4i}=\frac{-3+4i}{25}=-\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.\]
\[\frac{3-5i}{2+i}=\frac{(3-5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6-3i-10i+5i^2}{5}=\frac{1}{5}-\frac{13}{5}i.\]
b) Multiplier par \(1+3i\) :
\[\frac{2+i}{1-3i}=\frac{(2+i)(1+3i)}{1^2+3^2}=\frac{2+7i-3}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i.\]
c) \((1-2i)^2=-3-4i\) puis conjugué :
\[\frac{1}{(1-2i)^2}=\frac{1}{-3-4i}=\frac{-3+4i}{25}=-\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
3
Conjugué, module, inverse (preuve + application)
#module
#inverse
#preuve
1) Montrer que pour \(z=a+ib\), on a \(z\overline z=|z|^2\).
2) En déduire que si \(z\neq 0\), \(\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}\).
3) Calculer \(\displaystyle \frac{1}{3-4i}\).
2) En déduire que si \(z\neq 0\), \(\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}\).
3) Calculer \(\displaystyle \frac{1}{3-4i}\).
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1) \(z\overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2\).
2) \(\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\overline z}{\overline z}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac{\overline z}{|z|^2}\).
3) \(\overline{3-4i}=3+4i\) et \(|3-4i|^2=3^2+4^2=25\).
\[\frac{1}{3-4i}=\frac{3+4i}{25}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.\]
2) \(\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\overline z}{\overline z}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac{\overline z}{|z|^2}\).
3) \(\overline{3-4i}=3+4i\) et \(|3-4i|^2=3^2+4^2=25\).
\[\frac{1}{3-4i}=\frac{3+4i}{25}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
4
Équation complexe (Re/Im) — HARD
#Re/Im
#système
#conjugué
Résoudre dans \(\mathbb C\) :
\[(1-2i)z+(3+i)\overline z=7-5i.\]
(On posera \(z=a+ib\).)
\[(1-2i)z+(3+i)\overline z=7-5i.\]
(On posera \(z=a+ib\).)
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Poser \(z=a+ib\), \(\overline z=a-ib\).
\[(1-2i)z=(1-2i)(a+ib)=(a+2b)+i(b-2a).\]
\[(3+i)\overline z=(3+i)(a-ib)=(3a+b)+i(a-3b).\]
Somme : \((4a+3b)+i(-a-2b)=7-5i\).
\[\begin{cases}4a+3b=7\\ -a-2b=-5\end{cases}\iff\begin{cases}4a+3b=7\\ a+2b=5\end{cases}\]
De \(a=5-2b\) : \(4(5-2b)+3b=7\Rightarrow b=\frac{13}{5}\), puis \(a=-\frac{1}{5}\).
\[\boxed{z=-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}i}.\]
\[(1-2i)z=(1-2i)(a+ib)=(a+2b)+i(b-2a).\]
\[(3+i)\overline z=(3+i)(a-ib)=(3a+b)+i(a-3b).\]
Somme : \((4a+3b)+i(-a-2b)=7-5i\).
\[\begin{cases}4a+3b=7\\ -a-2b=-5\end{cases}\iff\begin{cases}4a+3b=7\\ a+2b=5\end{cases}\]
De \(a=5-2b\) : \(4(5-2b)+3b=7\Rightarrow b=\frac{13}{5}\), puis \(a=-\frac{1}{5}\).
\[\boxed{z=-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}i}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
5
Module (équation) — cercle en \((a ; b)\)
#module
#cercle
#|z|^2
Soit \(z=a+ib\). Résoudre :
\[\left|z-(2-i)\right|=3.\]
Donner l’équation en \((a ; b)\).
\[\left|z-(2-i)\right|=3.\]
Donner l’équation en \((a ; b)\).
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\(|z-(2-i)|=3\iff |(a-2)+i(b+1)|=3\).
Donc \(|z-(2-i)|^2=(a-2)^2+(b+1)^2=9\).
\[\boxed{(a-2)^2+(b+1)^2=9}.\]
Donc \(|z-(2-i)|^2=(a-2)^2+(b+1)^2=9\).
\[\boxed{(a-2)^2+(b+1)^2=9}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
6
Module + quotient — passer au carré (piège)
#module
#quotient
#carré
Résoudre dans \(\mathbb C\setminus\{-1\}\) :
\[\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=2.\]
Donner l’équation en \((a ; b)\) et interpréter.
\[\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=2.\]
Donner l’équation en \((a ; b)\) et interpréter.
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|(z-1)/(z+1)|=2 \(\iff |z-1|=2|z+1|\).
Poser \(z=a+ib\) :
\(|z-1|^2=(a-1)^2+b^2\), \(|z+1|^2=(a+1)^2+b^2\).
\[(a-1)^2+b^2=4\big((a+1)^2+b^2\big).\]
Développer :
\[a^2-2a+1+b^2=4a^2+8a+4+4b^2\Rightarrow 3a^2+10a+3+3b^2=0.\]
Compléter le carré :
\[\left(a+\frac{5}{3}\right)^2+b^2=\frac{16}{9}.\]
Interprétation : cercle de centre \(\left(-\frac{5}{3};0\right)\) et rayon \(\frac{4}{3}\), avec \(z\neq-1\).
Poser \(z=a+ib\) :
\(|z-1|^2=(a-1)^2+b^2\), \(|z+1|^2=(a+1)^2+b^2\).
\[(a-1)^2+b^2=4\big((a+1)^2+b^2\big).\]
Développer :
\[a^2-2a+1+b^2=4a^2+8a+4+4b^2\Rightarrow 3a^2+10a+3+3b^2=0.\]
Compléter le carré :
\[\left(a+\frac{5}{3}\right)^2+b^2=\frac{16}{9}.\]
Interprétation : cercle de centre \(\left(-\frac{5}{3};0\right)\) et rayon \(\frac{4}{3}\), avec \(z\neq-1\).
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
7
Équation avec module : \(|z|=|z-1|\) (méthode rapide)
#module
#égalité
#|.|^2
Résoudre : \(|z|=|z-1|\) avec \(z=a+ib\).
Donner l’équation en \((a ; b)\).
Donner l’équation en \((a ; b)\).
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Passer au carré : \(|z|^2=|z-1|^2\).
\[a^2+b^2=(a-1)^2+b^2\Rightarrow a^2=(a^2-2a+1)\Rightarrow 2a=1\Rightarrow a=\frac12.\]
\[\boxed{a=\frac12}\] (droite verticale).
\[a^2+b^2=(a-1)^2+b^2\Rightarrow a^2=(a^2-2a+1)\Rightarrow 2a=1\Rightarrow a=\frac12.\]
\[\boxed{a=\frac12}\] (droite verticale).
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
8
Produit réel / imaginaire (condition sur \(z\overline w\))
#conjugué
#Re/Im
#produit
Soit \(w=1+2i\). Déterminer l’ensemble des \(z=a+ib\) tels que \(z\overline w\) soit réel.
Donner une condition sur \(a,b\).
Donner une condition sur \(a,b\).
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\(\overline w=1-2i\). Alors
\[z\overline w=(a+ib)(1-2i)=(a+2b)+i(b-2a).\]
Pour que ce soit réel, il faut \(\Im(z\overline w)=0\Rightarrow b-2a=0\Rightarrow b=2a\).
\[\boxed{b=2a}.\]
\[z\overline w=(a+ib)(1-2i)=(a+2b)+i(b-2a).\]
Pour que ce soit réel, il faut \(\Im(z\overline w)=0\Rightarrow b-2a=0\Rightarrow b=2a\).
\[\boxed{b=2a}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
9
Somme et conjugué : retrouver \(a\) et \(b\)
#système
#conjugué
#a+ib
Trouver \(z\) sachant :
\[z+\overline z=4\quad\text{et}\quad z-\overline z=6i.\]
\[z+\overline z=4\quad\text{et}\quad z-\overline z=6i.\]
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Poser \(z=a+ib\), \(\overline z=a-ib\).
\[z+\overline z=2a=4\Rightarrow a=2.\]
\[z-\overline z=2ib=6i\Rightarrow b=3.\]
\[\boxed{z=2+3i}.\]
\[z+\overline z=2a=4\Rightarrow a=2.\]
\[z-\overline z=2ib=6i\Rightarrow b=3.\]
\[\boxed{z=2+3i}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
10
Équation du type \((1+i)z=2-3i\)
#division
#rationalisation
Résoudre : \((1+i)z=2-3i\). Donner \(z\) sous forme \(a+ib\).
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\(z=\dfrac{2-3i}{1+i}\). Multiplier par \(1-i\) :
\[z=\frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-3i+3i^2}{2}=\frac{2-5i-3}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i.\]
\[\boxed{z=-\frac12-\frac52 i}.\]
\[z=\frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-3i+3i^2}{2}=\frac{2-5i-3}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i.\]
\[\boxed{z=-\frac12-\frac52 i}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
11
Condition \(|z|=2\Re(z)\) (interprétation)
#module
#Re
#carré
Déterminer l’ensemble des \(z=a+ib\) tels que
\[|z|=2\Re(z).\]
\[|z|=2\Re(z).\]
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\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) et \(\Re(z)=a\). On doit avoir \(a\ge 0\).
Passer au carré :
\[a^2+b^2=4a^2\Rightarrow b^2=3a^2\Rightarrow b=\pm\sqrt3\,a.\]
Avec \(a\ge 0\).
\[\boxed{b=\sqrt3\,a\;\text{ou}\;b=-\sqrt3\,a\;\text{avec}\;a\ge 0}.\]
Passer au carré :
\[a^2+b^2=4a^2\Rightarrow b^2=3a^2\Rightarrow b=\pm\sqrt3\,a.\]
Avec \(a\ge 0\).
\[\boxed{b=\sqrt3\,a\;\text{ou}\;b=-\sqrt3\,a\;\text{avec}\;a\ge 0}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
12
Démonstration : \(|z+w|^2\) (formule utile)
#preuve
#module
#conjugué
Montrer que pour tous \(z,w\in\mathbb C\) :
\[|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\Re(z\overline w).\]
Puis appliquer à \(z=1+i\), \(w=2-3i\).
\[|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\Re(z\overline w).\]
Puis appliquer à \(z=1+i\), \(w=2-3i\).
Correction détaillée Afficher / Masquer
Preuve :
\[|z+w|^2=(z+w)\overline{(z+w)}=(z+w)(\overline z+\overline w)=z\overline z+w\overline w+z\overline w+\overline z\,w.\]
Or \(z\overline w+\overline z\,w=2\Re(z\overline w)\). Donc la formule.
Application : \(z\overline w=(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i\Rightarrow \Re(z\overline w)=-1\).
\(|z|^2=2\), \(|w|^2=13\).
\[|z+w|^2=2+13+2(-1)=13\Rightarrow |z+w|=\sqrt{13}.\]
\[|z+w|^2=(z+w)\overline{(z+w)}=(z+w)(\overline z+\overline w)=z\overline z+w\overline w+z\overline w+\overline z\,w.\]
Or \(z\overline w+\overline z\,w=2\Re(z\overline w)\). Donc la formule.
Application : \(z\overline w=(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i\Rightarrow \Re(z\overline w)=-1\).
\(|z|^2=2\), \(|w|^2=13\).
\[|z+w|^2=2+13+2(-1)=13\Rightarrow |z+w|=\sqrt{13}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
13
Résoudre \(z^2= -16\) (attention aux solutions)
#équation
#puissance
#a+ib
Résoudre dans \(\mathbb C\) : \(z^2=-16\).
Correction détaillée Afficher / Masquer
On veut \(z=ai\) avec \(a\in\mathbb R\).
Alors \(z^2=-a^2=-16\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=\pm 4\).
\[\boxed{z=4i\;\text{ou}\;z=-4i}.\]
Alors \(z^2=-a^2=-16\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=\pm 4\).
\[\boxed{z=4i\;\text{ou}\;z=-4i}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
14
Équation quadratique : \(z^2-(2-2i)z+2i=0\)
#trinôme
#discriminant
#algébrique
Résoudre : \(z^2-(2-2i)z+2i=0\).
Correction détaillée Afficher / Masquer
Discriminant : \(\Delta=(2-2i)^2-8i\).
\[(2-2i)^2=4-8i+4i^2=4-8i-4=-8i.\]
Donc \(\Delta=-8i-8i=-16i\).
Chercher \(\sqrt\Delta\) : on veut \((a+ib)^2=-16i\).
\[(a+ib)^2=(a^2-b^2)+i(2ab)\Rightarrow\begin{cases}a^2-b^2=0\\2ab=-16\end{cases}\]
Donc \(a=\pm b\) et \(ab=-8\).
Si \(a=b\), alors \(a^2=-8\) impossible réel.
Si \(a=-b\), alors \(-a^2=-8\Rightarrow a^2=8\Rightarrow a=\pm 2\sqrt2\) et \(b=\mp 2\sqrt2\).
Ainsi \(\sqrt\Delta=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)\).
Solutions :
\[z=\frac{(2-2i)\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)}{2}=(1-i)\pm(\sqrt2-\sqrt2\,i).\]
\[\boxed{z_1=(1+\sqrt2)-(1+\sqrt2)i\quad\text{et}\quad z_2=(1-\sqrt2)-(1-\sqrt2)i}.\]
\[(2-2i)^2=4-8i+4i^2=4-8i-4=-8i.\]
Donc \(\Delta=-8i-8i=-16i\).
Chercher \(\sqrt\Delta\) : on veut \((a+ib)^2=-16i\).
\[(a+ib)^2=(a^2-b^2)+i(2ab)\Rightarrow\begin{cases}a^2-b^2=0\\2ab=-16\end{cases}\]
Donc \(a=\pm b\) et \(ab=-8\).
Si \(a=b\), alors \(a^2=-8\) impossible réel.
Si \(a=-b\), alors \(-a^2=-8\Rightarrow a^2=8\Rightarrow a=\pm 2\sqrt2\) et \(b=\mp 2\sqrt2\).
Ainsi \(\sqrt\Delta=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)\).
Solutions :
\[z=\frac{(2-2i)\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)}{2}=(1-i)\pm(\sqrt2-\sqrt2\,i).\]
\[\boxed{z_1=(1+\sqrt2)-(1+\sqrt2)i\quad\text{et}\quad z_2=(1-\sqrt2)-(1-\sqrt2)i}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
15
Condition : \(z\overline z+z+\overline z=0\)
#module
#Re/Im
#équation
Résoudre dans \(\mathbb C\) :
\[z\overline z+z+\overline z=0.\]
(Écrire \(z=a+ib\).)
\[z\overline z+z+\overline z=0.\]
(Écrire \(z=a+ib\).)
Correction détaillée Afficher / Masquer
\(z\overline z=|z|^2=a^2+b^2\) et \(z+\overline z=2a\).
Donc
\[a^2+b^2+2a=0\iff (a+1)^2+b^2=1.\]
\[\boxed{(a+1)^2+b^2=1}.\] (cercle de centre \((-1;0)\) et rayon 1)
Donc
\[a^2+b^2+2a=0\iff (a+1)^2+b^2=1.\]
\[\boxed{(a+1)^2+b^2=1}.\] (cercle de centre \((-1;0)\) et rayon 1)
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
16
Trouver \(z\) sachant \(|z|=5\) et \(\Re(z)=3\)
#module
#Re
#système
Déterminer tous les \(z=a+ib\) tels que \(|z|=5\) et \(\Re(z)=3\).
Correction détaillée Afficher / Masquer
\(a=3\). Et \(|z|^2=a^2+b^2=25\Rightarrow 9+b^2=25\Rightarrow b^2=16\Rightarrow b=\pm 4\).
\[\boxed{z=3+4i\;\text{ou}\;z=3-4i}.\]
\[\boxed{z=3+4i\;\text{ou}\;z=3-4i}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
17
Piège : \(|z|=|\overline z|\) et \(z=\overline z\) ?
#piège
#conjugué
#réel
Vrai ou faux ? Justifier.
1) Pour tout \(z\), \(|z|=|\overline z|\).
2) Si \(|z|=|\overline z|\) alors \(z=\overline z\).
1) Pour tout \(z\), \(|z|=|\overline z|\).
2) Si \(|z|=|\overline z|\) alors \(z=\overline z\).
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1) Vrai : \(|\overline z|^2=\overline z\,z=z\overline z=|z|^2\Rightarrow |\overline z|=|z|\).
2) Faux : l’égalité des modules est toujours vraie, même si \(z\) n’est pas réel.
Contre-exemple : \(z=1+i\). Alors \(|z|=\sqrt2\) et \(|\overline z|=\sqrt2\) mais \(z\neq\overline z\).
2) Faux : l’égalité des modules est toujours vraie, même si \(z\) n’est pas réel.
Contre-exemple : \(z=1+i\). Alors \(|z|=\sqrt2\) et \(|\overline z|=\sqrt2\) mais \(z\neq\overline z\).
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
18
Équation avec conjugaison : \(z=\lambda\overline z\)
#conjugué
#paramètre
#droites
Soit \(\lambda\in\mathbb R\). Résoudre : \(z=\lambda\overline z\) avec \(z=a+ib\).
Discuter selon \(\lambda\).
Discuter selon \(\lambda\).
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Poser \(z=a+ib\), \(\overline z=a-ib\).
\[a+ib=\lambda(a-ib)\Rightarrow\begin{cases}a=\lambda a\\ b=-\lambda b\end{cases}\]
Donc \((1-\lambda)a=0\) et \((1+\lambda)b=0\).
- Si \(\lambda=1\) : alors \(b=0\) et \(a\) libre \(\Rightarrow z\in\mathbb R\).
- Si \(\lambda=-1\) : alors \(a=0\) et \(b\) libre \(\Rightarrow z\in i\mathbb R\).
- Si \(\lambda\neq\pm 1\) : alors \(a=0\) et \(b=0\Rightarrow z=0\).
\[\boxed{\lambda=1\Rightarrow z\in\mathbb R;\;\lambda=-1\Rightarrow z\in i\mathbb R;\;\lambda\neq\pm1\Rightarrow z=0}.\]
\[a+ib=\lambda(a-ib)\Rightarrow\begin{cases}a=\lambda a\\ b=-\lambda b\end{cases}\]
Donc \((1-\lambda)a=0\) et \((1+\lambda)b=0\).
- Si \(\lambda=1\) : alors \(b=0\) et \(a\) libre \(\Rightarrow z\in\mathbb R\).
- Si \(\lambda=-1\) : alors \(a=0\) et \(b\) libre \(\Rightarrow z\in i\mathbb R\).
- Si \(\lambda\neq\pm 1\) : alors \(a=0\) et \(b=0\Rightarrow z=0\).
\[\boxed{\lambda=1\Rightarrow z\in\mathbb R;\;\lambda=-1\Rightarrow z\in i\mathbb R;\;\lambda\neq\pm1\Rightarrow z=0}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
19
Résoudre \(|z-2|=|z+i|\) (médiatrice)
#module
#égalité
#|.|^2
Résoudre dans \((a;b)\) : \(|z-2|=|z+i|\) avec \(z=a+ib\).
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Passer au carré :
\[(a-2)^2+b^2=a^2+(b+1)^2.\]
Développer : \(a^2-4a+4+b^2=a^2+b^2+2b+1\Rightarrow -4a+4=2b+1\).
\[\boxed{2b+4a-3=0}\quad\text{ou}\quad\boxed{b=-2a+\frac{3}{2}}.\]
\[(a-2)^2+b^2=a^2+(b+1)^2.\]
Développer : \(a^2-4a+4+b^2=a^2+b^2+2b+1\Rightarrow -4a+4=2b+1\).
\[\boxed{2b+4a-3=0}\quad\text{ou}\quad\boxed{b=-2a+\frac{3}{2}}.\]
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
20
Équation mixte : \(|z|^2=\Re((3-4i)z)\)
#Re
#|z|^2
#niveau 20/20
Déterminer l’ensemble des \(z=a+ib\) tels que :
\[|z|^2=\Re\big((3-4i)z\big).\]
Donner l’équation en \((a ; b)\) et interpréter.
\[|z|^2=\Re\big((3-4i)z\big).\]
Donner l’équation en \((a ; b)\) et interpréter.
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On a \(|z|^2=a^2+b^2\).
Calculer \((3-4i)z=(3-4i)(a+ib)=(3a+4b)+i(3b-4a)\).
Donc \(\Re((3-4i)z)=3a+4b\).
Équation :
\[a^2+b^2=3a+4b\iff a^2-3a+b^2-4b=0.\]
Compléter le carré :
\[(a-\tfrac{3}{2})^2+(b-2)^2=\tfrac{9}{4}+4=\tfrac{25}{4}.\]
\[\boxed{(a-\tfrac{3}{2})^2+(b-2)^2=\left(\tfrac{5}{2}\right)^2}.\]
Interprétation : cercle de centre \(\left(\tfrac{3}{2};2\right)\) et rayon \(\tfrac{5}{2}\).
Calculer \((3-4i)z=(3-4i)(a+ib)=(3a+4b)+i(3b-4a)\).
Donc \(\Re((3-4i)z)=3a+4b\).
Équation :
\[a^2+b^2=3a+4b\iff a^2-3a+b^2-4b=0.\]
Compléter le carré :
\[(a-\tfrac{3}{2})^2+(b-2)^2=\tfrac{9}{4}+4=\tfrac{25}{4}.\]
\[\boxed{(a-\tfrac{3}{2})^2+(b-2)^2=\left(\tfrac{5}{2}\right)^2}.\]
Interprétation : cercle de centre \(\left(\tfrac{3}{2};2\right)\) et rayon \(\tfrac{5}{2}\).
Réflexe 20/20 :
si tu vois un quotient, pense “conjugué”.
si tu vois un module, pense “carré du module”.
si tu vois \(z\) et \(\overline z\), pose \(z=a+ib\) et identifie \(\Re\) / \(\Im\).
Mini-check (avant de passer au quiz)
- Sais-tu rationaliser sans erreur de signe (conjugué) ?
- Quand il y a un module, passes-tu automatiquement à \(|z|^2\) ?
- Quand il y a \(z\) et \(\overline z\), poses-tu \(z=a+ib\) puis identifies-tu \(\Re\) et \(\Im\) ?