Exercices corrigés — Nombres Complexes (Algébrique) (Tle expertes)

1. \[z_1+z_2=1-i,\qquad z_1-z_2=3-5i.\]

2. \[A=(1-i)(3-5i)=-2-8i.\] D'autre part \(z_1^2-z_2^2=(z_1-z_2)(z_1+z_2)\), donc on retrouve \(\boxed{A=-2-8i}\).

3. Comme \(z_1\neq z_2\), \[B=\dfrac{(z_1-z_2)(z_1+z_2)}{z_1-z_2}=\boxed{1-i}.\]

4. \[C=\dfrac{(3+2i)(1+2i)}{5}=\dfrac{-1+8i}{5}=\boxed{-\dfrac15+\dfrac85i}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[\boxed{i^{2026}=-1,\qquad i^{2027}=-i,\qquad i^{2028}=1}.\]

2. Quatre puissances consécutives ont pour somme nulle, donc \(\boxed{S=0}\).

3. \(i^{12}=1\), \(i^7=-i\), \(i^3=-i\). Ainsi \[P(i)=1+3i-2i-5=\boxed{-4+i}.\]

4. Si \(n\equiv0,1,2,3\pmod4\), alors respectivement \[\boxed{i^n=1,\ i,\ -1,\ -i}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Un développement avec \(z=a+ib\) et \(w=c+id\) donne le même résultat de part et d'autre : \(\boxed{\overline{zw}=\bar z\,\bar w}\).

2. Pour \(n=0\), les deux membres valent \(1\). Pour \(n\ge1\), la propriété du produit appliquée successivement donne \(\overline{z^n}=\overline z^{\,n}\). Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(\boxed{\overline{z^n}=(\bar z)^n}\).

3. Comme \(w\neq0\), on a \(w\dfrac1w=1\). En conjuguant et en utilisant la propriété du produit,
\[ \bar w\,\overline{\dfrac1w}=1, \] d'où \[ \overline{\dfrac1w}=\dfrac1{\bar w}. \] Ainsi \[ \overline{\dfrac zw} =\overline{z\dfrac1w} =\bar z\,\overline{\dfrac1w} =\boxed{\dfrac{\bar z}{\bar w}}. \]

4. \[\overline{(2-3i)^5}=(2+3i)^5.\] Donc \(\boxed{\overline{(2-3i)^5}=(2+3i)^5}\), sans développement.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2,\] donc \(\boxed{z\bar z=a^2+b^2}\).

2. \[\boxed{\dfrac1z=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}}.\]

3. \[\dfrac1{2-i}=\dfrac{2+i}{5},\qquad \dfrac1{1+2i}=\dfrac{1-2i}{5},\] donc \(\boxed{\dfrac15+\dfrac35i}\).

4. \[z=\dfrac1{2-i}=\boxed{\dfrac25+\dfrac15i}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Par la formule du binôme,
\[ (1+2i)^6 =1+6(2i)+15(2i)^2+20(2i)^3+15(2i)^4+6(2i)^5+(2i)^6. \] Or \[ (2i)^2=-4,\quad (2i)^3=-8i,\quad (2i)^4=16,\quad (2i)^5=32i,\quad (2i)^6=-64. \] Donc \[ A=1+12i-60-160i+240+192i-64 =\boxed{117+44i}. \]

2. Par conjugaison, \(\boxed{(1-2i)^6=117-44i}\).

3. La somme vaut \(\boxed{234}\).

4. La différence vaut \(88i\), donc \[\boxed{\dfrac{88i}{2i}=44}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[z=\dfrac{7+i}{3-2i}.\]

2. \[z=\dfrac{(7+i)(3+2i)}{13}=\dfrac{19+17i}{13}.\]

3. \(\boxed{z=\dfrac{19}{13}+\dfrac{17}{13}i}\).

4. La substitution donne bien \(7+i\), donc la solution est vérifiée.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Écrivons \(z=x+iy\).

2. \[z+\bar z=2x,\qquad z-\bar z=2iy.\]

3. \(2x=10\) et \(2y=-6\), donc \(x=5\), \(y=-3\).

4. \(\boxed{z=5-3i}\), qui vérifie bien les deux relations.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Posons \(z=x+iy\), donc \(\bar z=x-iy\).

2. Un développement donne \[\boxed{(2+i)z+(1-i)\bar z=(3x-2y)+iy}.\]

3. \[\begin{cases}3x-2y=7,\\y=5.\end{cases}\] Donc \(x=\dfrac{17}{3}\).

4. \(\boxed{z=\dfrac{17}{3}+5i}\). La substitution redonne \(7+5i\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[Z_x=\dfrac{(x+i)(1-xi)}{1+x^2}=\boxed{\dfrac{2x}{1+x^2}+i\,\dfrac{1-x^2}{1+x^2}}.\]

2. \(Z_x\) est réel si \(1-x^2=0\), soit \(\boxed{x=\pm1}\).

3. \(Z_x\) est imaginaire pur si \(2x=0\), soit \(\boxed{x=0}\).

4. Pour \(x=1\), \(Z_x=1\) ; pour \(x=-1\), \(Z_x=-1\). Donc \(\boxed{Z_x=1\iff x=1}\) et \(\boxed{Z_x=-1\iff x=-1}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[\begin{cases}(1+m)x=1+m,\\(1-m)y=1-m.\end{cases}\]

2. Si \(m\neq\pm1\), \(\boxed{z=1+i}\).

3. Si \(m=1\), \(x=1\) et \(y\) est libre : \(\boxed{z=1+iy,\ y\in\mathbb R}\).

4. Si \(m=-1\), \(y=1\) et \(x\) est libre : \(\boxed{z=x+i,\ x\in\mathbb R}\). Bilan : une solution unique pour \(m\neq\pm1\), une infinité pour \(m=\pm1\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[\begin{cases}x^2-y^2=11,\\2xy=60.\end{cases}\]

2. \[(x^2+y^2)^2=11^2+60^2=3721=61^2,\] donc \(\boxed{x^2+y^2=61}\).

3. On obtient \(x^2=36\), \(y^2=25\), et \(xy>0\).

4. \(\boxed{z=6+5i\quad\text{ou}\quad z=-6-5i}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\Delta=16-52=\boxed{-36}\).

2. Les racines carrées sont \(\boxed{\pm6i}\).

3. \[z=\dfrac{4\pm6i}{2},\] donc \(\boxed{z=2\pm3i}\).

4. \(\boxed{z^2-4z+13=(z-2-3i)(z-2+3i)}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[\Delta=(1+2i)^2-4(1+7i)=\boxed{-7-24i}.\]

2. \((3-4i)^2=9-24i-16=\boxed{-7-24i}\).

3. \[z=\dfrac{1+2i\pm(3-4i)}2,\] donc \(\boxed{z=2-i\quad\text{ou}\quad z=-1+3i}\).

4. La somme vaut \(1+2i\) et le produit vaut \(1+7i\), comme attendu.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(P(3)=27-45+33-15=0\).

2. \(\boxed{P(z)=(z-3)(z^2-2z+5)}\).

3. \(z^2-2z+5=0\) a pour solutions \(\boxed{1\pm2i}\).

4. \(\boxed{z\in\{3,\,1+2i,\,1-2i\}}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Pour un polynôme à coefficients réels, le conjugué d'une racine est une racine. Donc \(\boxed{2-i}\) est racine.

2. \[(z-2-i)(z-2+i)=(z-2)^2+1=\boxed{z^2-4z+5}.\]

3. La somme des racines vaut \(3\). Les deux premières ont pour somme \(4\), donc la troisième vaut \(\boxed{-1}\).

4. \[\boxed{P(z)=(z+1)(z-2-i)(z-2+i)}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(P(2)=8-4+2-6=0\).

2. \[(z-2)(z^2+az+b)=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z-2b.\]

3. \(a-2=-1\) et \(-2b=-6\), donc \(\boxed{a=1,\ b=3}\).

4. \[P(z)=(z-2)(z^2+z+3).\] Le discriminant du trinôme vaut \(-11\). Ainsi \[\boxed{z=2\quad\text{ou}\quad z=\dfrac{-1\pm i\sqrt{11}}2}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z^6-64=(z^3-8)(z^3+8)}\).

2. \[z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4),\] donc \(\boxed{z=2,\ -1\pm i\sqrt3}\).

3. \[z^3+8=(z+2)(z^2-2z+4),\] donc \(\boxed{z=-2,\ 1\pm i\sqrt3}\).

4. \[\boxed{\{-2,\,2,\,1+i\sqrt3,\,1-i\sqrt3,\,-1+i\sqrt3,\,-1-i\sqrt3\}}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Si \(az+b=0\) avec \(a\neq0\), l'unique racine est \(-b/a\).

2. On raisonne par récurrence sur le degré. Si \(P\) n'a aucune racine, le résultat est immédiat. Sinon, soit \(a\) une racine. La factorisation par une racine donne \[ P(z)=(z-a)Q(z), \] où \(Q\) est de degré \(n-1\). Par hypothèse de récurrence, \(Q\) possède au plus \(n-1\) racines. En ajoutant éventuellement \(a\), \(P\) possède donc au plus \(n\) racines.

3. Les trois racines sont distinctes et \(\deg Q\le2\), donc \(\boxed{Q\equiv0}\).

4. Le polynôme \(az^2+bz+c\) est identiquement nul, donc \(\boxed{a=b=c=0}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z_1+z_2=8,\quad z_1z_2=20}\).

2. \(64-40=\boxed{24}\).

3. \(8^3-3\times20\times8=\boxed{32}\).

4. \[\boxed{\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}=\dfrac25},\qquad \boxed{\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac65}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{z_1+z_2=6,\quad z_1z_2=13}\).

2. \(w_1+w_2=36-26=\boxed{10}\).

3. \(w_1w_2=13^2=\boxed{169}\).

4. L'équation cherchée est \(\boxed{X^2-10X+169=0}\). Or \(z_{1,2}=3\pm2i\), donc \(w_{1,2}=5\pm12i\), ce qui vérifie l'équation.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[z^4+4=z^4+4z^2+4-4z^2=(z^2+2)^2-(2z)^2.\]

2. \(\boxed{z^4+4=(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)}\).

3. Les racines sont \(\boxed{1\pm i,\ -1\pm i}\).

4. \[\boxed{z^4+4=(z-1-i)(z-1+i)(z+1-i)(z+1+i)}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Le terme constant vaut \(1\), donc \(0\) n'est pas racine. Après division par \(z^2\) : \[z^2+\dfrac1{z^2}-3\left(z+\dfrac1z\right)+4=0.\]

2. Avec \(X=z+1/z\), on obtient \(X^2-2-3X+4=0\), soit \(\boxed{X^2-3X+2=0}\).

3. Si \(X=1\), \(z^2-z+1=0\), donc \(z=\dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}\). Si \(X=2\), \(z^2-2z+1=0\), donc \(z=1\).

4. \(\boxed{z=1}\) est double, et \(\boxed{z=\dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}}\) sont simples.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \[\begin{cases}x=x^2-y^2,\\-y=2xy.\end{cases}\]

2. Si \(y=0\), \(x=x^2\), donc \(\boxed{z=0\ \text{ou}\ z=1}\).

3. Si \(y\neq0\), \(-1=2x\), donc \(x=-1/2\). Puis \(y^2=3/4\).

4. \[\boxed{z\in\left\{0,\,1,\,-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i,\,-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\right\}}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. L'équation devient \[x-1+iy=2i(x-iy+1).\]

2. On obtient \[\begin{cases}x-1=2y,\\y=2x+2.\end{cases}\]

3. La résolution donne \(\boxed{x=-\dfrac53,\ y=-\dfrac43}\).

4. \(\boxed{z=-\dfrac53-\dfrac43i}\). Alors \(\bar z+1=-\dfrac23+\dfrac43i\neq0\), donc la solution est admissible.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. Faux : \(z=i\) donne \(z+\bar z=i-i=0\), mais \(z\neq0\).

2. Vrai : \(z^2+1=0\), donc \(\boxed{z=\pm i}\).

3. Vrai : \(z\bar z=1\) implique \(z\neq0\), puis \(\boxed{\bar z=1/z}\).

4. Vrai : si \(z=x+iy\), alors \(\operatorname{Im}(z^2)=2xy=0\). Donc \(x=0\) ou \(y=0\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \((1+i)^2=2i\) et \((1+i)^3=-2+2i\).

2. \[P(1+i)=b+i(2+2a+b).\] Donc \(\begin{cases}b=0\\2+2a+b=0\end{cases}\).

3. \(\boxed{a=-1,\ b=0}\).

4. \(P(z)=z^3-z^2+2=(z+1)(z^2-2z+2)\). Ainsi \(\boxed{z=-1,\ 1+i,\ 1-i}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\Delta=36-100=-64\).

2. \[Z=\dfrac{6\pm8i}{2}=\boxed{3\pm4i}.\]

3. \((2+i)^2=3+4i\) et \((2-i)^2=3-4i\).

4. \[\boxed{z\in\{2+i,\,-2-i,\,2-i,\,-2+i\}}.\]

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. \(\boxed{w^2-2w+5=0}\).

2. \(\boxed{w=1+2i\quad\text{ou}\quad w=1-2i}\).

3. Pour \(w=1+2i\), \(z=1/(1-i)=\boxed{\dfrac{1+i}{2}}\). Pour \(w=1-2i\), \[z=\dfrac{1-4i}{1-i}=\boxed{\dfrac52-\dfrac32i}.\]

4. Les deux nombres sont distincts et vérifient l'équation initiale.

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.

1. On a \[ (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v). \] Avec \(x=u+v\) et \(uv=5\), \[ x^3-15x-4=u^3+v^3-4. \] Il suffit donc d'imposer \(\boxed{u^3+v^3=4}\).

2. Posons \(U=u^3\) et \(V=v^3\). Alors \[ U+V=4,\qquad UV=(uv)^3=125. \] Ainsi \(U\) et \(V\) sont les racines de \[ \boxed{T^2-4T+125=0}. \]

3. Le discriminant vaut \[ \Delta=16-500=-484=(22i)^2. \] Donc \[ U=2+11i,\qquad V=2-11i. \] Or \[ (2+i)^3=2+11i,\qquad (2-i)^3=2-11i. \] On peut prendre \(u=2+i\) et \(v=2-i\), d'où \[ \boxed{x=u+v=4}. \]

4. Comme \(4\) est une racine, \[ x^3-15x-4=(x-4)(x^2+4x+1). \] Le trinôme a pour discriminant \(12\), donc ses racines sont \[ -2-\sqrt3\quad\text{et}\quad -2+\sqrt3. \] Ainsi \[ \boxed{x\in\{4,\,-2-\sqrt3,\,-2+\sqrt3\}}. \]

Conclusion : cet exercice illustre la résolution par radicaux d'une équation de degré 3, proposée comme prolongement possible dans le programme.

1. \((2-i)^n=\overline{(2+i)^n}\). La somme d'un complexe et de son conjugué est réelle, donc \(\boxed{u_n\in\mathbb R}\).

2. Pour \(\alpha=2\pm i\), \(\alpha^2-4\alpha+5=0\).

3. En multipliant par \(\alpha^n\) puis en sommant pour les deux racines : \[\boxed{u_{n+2}=4u_{n+1}-5u_n},\qquad \boxed{u_0=2,\ u_1=4}.\]

4. La récurrence donne \(u_2=6,u_3=4,u_4=-14,u_5=-76,u_6=-234,u_7=-556,u_8=-1054,u_9=-1436\), puis \(\boxed{u_{10}=-474}\).

Conclusion : les quatre questions sont traitées avec justification.