Fiche — Lois de probabilité discrètes
Variable aléatoire discrète • loi • espérance • variance • interprétation
1. Variable aléatoire discrète
Définition.
Une variable aléatoire discrète \(X\) prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs réelles.
Une variable aléatoire discrète \(X\) prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs réelles.
👉 On note :
\[
X(\Omega)=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}
\]
2. Loi de probabilité
Définition.
La loi de \(X\) associe à chaque valeur \(x_i\) la probabilité : \[ P(X=x_i)=p_i \]
La loi de \(X\) associe à chaque valeur \(x_i\) la probabilité : \[ P(X=x_i)=p_i \]
Propriétés essentielles :
- \(\forall i,\; p_i \ge 0\)
- \(\displaystyle \sum_i p_i = 1\)
3. Espérance mathématique
Formule.
\[
\mathbb{E}(X)=\sum_i x_i\,p_i
\]
Interprétation.
Valeur moyenne théorique de \(X\) sur un grand nombre de répétitions.
Valeur moyenne théorique de \(X\) sur un grand nombre de répétitions.
Propriété clé.
\[
\mathbb{E}(aX+b)=a\mathbb{E}(X)+b
\]
4. Variance et écart-type
Variance.
\[
\mathrm{Var}(X)=\sum_i (x_i-\mathbb{E}(X))^2 p_i
\]
Formule pratique.
\[
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2
\]
Écart-type.
\[
\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}
\]
5. Méthode type Bac
- Définir clairement la variable aléatoire
- Établir la loi de probabilité
- Vérifier que la somme vaut 1
- Calculer \(\mathbb{E}(X)\)
- Calculer \(\mathrm{Var}(X)\) puis \(\sigma(X)\)
- Interpréter le résultat
6. Pièges classiques
- Confondre espérance et valeur la plus probable
- Oublier des valeurs possibles de \(X\)
- Oublier le carré dans la variance
- Ne pas interpréter le résultat dans le contexte