Lois de probabilité discrètes

Variable aléatoire discrète • loi • espérance • variance • interprétation.

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Exercices premium — Lois de probabilité discrètes
8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : loi • espérance • variance • interprétation • modélisation.
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Exercice 1 — Construire une loi et vérifier
On lance deux fois une pièce équilibrée. On note \(X\) le nombre de faces obtenues.
  1. Donner l’ensemble des valeurs possibles de \(X\).
  2. Établir la loi de probabilité de \(X\) sous forme de tableau.
  3. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
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\(X\) compte les faces sur 2 lancers, donc : \[ X(\Omega)=\{0,1,2\}. \]

Les issues équiprobables sont : FF, FP, PF, PP (F = face, P = pile).

\[ \begin{array}{c|ccc} x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_i) & \tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac14 \end{array} \]

Vérification : \[ \tfrac14+\tfrac12+\tfrac14 = 1. \]

Exercice 2 — Espérance et interprétation
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(1,2,5\) avec : \[ P(X=1)=0{,}4,\quad P(X=2)=0{,}5,\quad P(X=5)=0{,}1. \]
  1. Calculer \(\mathbb{E}(X)\).
  2. Quelle valeur est la plus probable ? Est-ce forcément l’espérance ?
  3. Interpréter \(\mathbb{E}(X)\) dans un contexte d’expériences répétées.
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\[ \mathbb{E}(X)=1\times0{,}4+2\times0{,}5+5\times0{,}1 =0{,}4+1+0{,}5=1{,}9. \]

La valeur la plus probable est \(2\) (probabilité \(0{,}5\)). Piège : l’espérance n’est pas « la valeur la plus probable », c’est une moyenne théorique ; ici \(\mathbb{E}(X)=1{,}9\) n’est même pas une valeur prise par \(X\).

Interprétation : sur un grand nombre de répétitions, la moyenne des valeurs observées est prochei proche de \(1{,}9\).

Exercice 3 — Variance et écart-type (méthode rapide)
On reprend la variable aléatoire de l’exercice 2.
  1. Calculer \(\mathbb{E}(X^2)\).
  2. En déduire \(\mathrm{Var}(X)\).
  3. Calculer \(\sigma(X)\) et interpréter.
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\[ \mathbb{E}(X^2)=1^2\cdot0{,}4+2^2\cdot0{,}5+5^2\cdot0{,}1 =0{,}4+2+2{,}5=4{,}9. \]

\[ \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2 =4{,}9-(1{,}9)^2. \] Or \((1{,}9)^2=3{,}61\), donc : \[ \mathrm{Var}(X)=4{,}9-3{,}61=1{,}29. \]

\[ \sigma(X)=\sqrt{1{,}29}\approx 1{,}136. \] Interprétation : dispersion « typique » d’environ \(1{,}14\) autour de la moyenne \(1{,}9\).

Exercice 4 — Transformation \(Y=aX+b\)
Une variable aléatoire \(X\) a pour espérance \(\mathbb{E}(X)=3\) et variance \(\mathrm{Var}(X)=5\). On définit \(Y = -2X + 7\).
  1. Calculer \(\mathbb{E}(Y)\).
  2. Calculer \(\mathrm{Var}(Y)\) puis \(\sigma(Y)\).
  3. Expliquer pourquoi le signe de \(a\) ne change pas la variance.
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\[ \mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(-2X+7)=-2\mathbb{E}(X)+7=-2\cdot3+7=1. \]

\[ \mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(-2X+7)=(-2)^2\mathrm{Var}(X)=4\cdot5=20. \] Donc : \[ \sigma(Y)=\sqrt{20}=2\sqrt5. \]

La variance dépend de \(a^2\) (dispersion), donc le signe de \(a\) disparaît.

Exercice 5 — Retrouver une probabilité manquante
\(X\) prend les valeurs \(-1,0,2,4\) avec : \[ P(X=-1)=0{,}15,\quad P(X=0)=p,\quad P(X=2)=0{,}50,\quad P(X=4)=0{,}20. \]
  1. Déterminer \(p\).
  2. Calculer \(\mathbb{E}(X)\).
  3. Donner une interprétation simple du signe de \(\mathbb{E}(X)\).
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Somme = 1 : \[ 0{,}15 + p + 0{,}50 + 0{,}20 = 1 \Rightarrow p = 0{,}15. \]

\[ \mathbb{E}(X)=(-1)\cdot0{,}15 + 0\cdot0{,}15 + 2\cdot0{,}50 + 4\cdot0{,}20 = -0{,}15 + 1 + 0{,}8 = 1{,}65. \]

\(\mathbb{E}(X)>0\) : en moyenne, les valeurs tirées sont plutôt positives (effet moyen positif).

Exercice 6 — Jeu de hasard : gain moyen
On propose un jeu : on tire une boule d’une urne contenant 5 boules : 1 rouge, 2 bleues, 2 vertes.
  • Rouge : gain \(+6\) €
  • Bleue : gain \(+2\) €
  • Verte : gain \(-3\) €
On note \(G\) le gain (en euros).
  1. Établir la loi de \(G\).
  2. Calculer \(\mathbb{E}(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
  3. Calculer \(\mathrm{Var}(G)\) (facultatif mais conseillé).
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Probabilités : \[ P(G=6)=\tfrac15,\quad P(G=2)=\tfrac25,\quad P(G=-3)=\tfrac25. \]

Espérance : \[ \mathbb{E}(G)=6\cdot\tfrac15 + 2\cdot\tfrac25 + (-3)\cdot\tfrac25 =\tfrac65 + \tfrac45 - \tfrac65 = \tfrac45 = 0{,}8. \]

Le gain moyen est \(0{,}8\) € : le jeu est favorable au joueur (à long terme).

(Option) Variance : \[ \mathbb{E}(G^2)=36\cdot\tfrac15 + 4\cdot\tfrac25 + 9\cdot\tfrac25 =\tfrac{36}{5}+\tfrac{8}{5}+\tfrac{18}{5}=\tfrac{62}{5}=12{,}4. \] \[ \mathrm{Var}(G)=12{,}4-(0{,}8)^2=12{,}4-0{,}64=11{,}76. \]

Exercice 7 — Probabilités “au moins / au plus”
\(X\) est une variable aléatoire discrète de loi : \[ \begin{array}{c| നാല} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}10 & 0{,}25 & 0{,}45 & 0{,}20 \end{array} \]
  1. Calculer \(P(X\ge 2)\).
  2. Calculer \(P(X\le 1)\).
  3. Calculer \(P(X\neq 2)\) de deux façons.
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\[ P(X\ge2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}45+0{,}20=0{,}65. \] \[ P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}10+0{,}25=0{,}35. \]

\[ P(X\neq2)=1-P(X=2)=1-0{,}45=0{,}55. \] Ou bien : \[ P(X\neq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)=0{,}10+0{,}25+0{,}20=0{,}55. \]

Exercice 8 — Retrouver des paramètres (niveau 20/20)
Une variable aléatoire \(X\) ne prend que deux valeurs \(a\) et \(b\) (\(a
  • Exprimer \(\mathbb{E}(X)\) en fonction de \(a,b,p\).
  • Montrer que \(\mathrm{Var}(X)=p(1-p)(b-a)^2\).
  • Application : on sait que \(\mathbb{E}(X)=3\), \(\mathrm{Var}(X)=1\), et que \(b-a=2\). Déterminer \(p\).
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    1) Espérance : \[ \mathbb{E}(X)=ap+b(1-p)=b - p(b-a). \]

    2) On calcule : \[ \mathbb{E}(X^2)=a^2p+b^2(1-p). \] Puis \[ \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2 =p(1-p)(b-a)^2. \] (Classique à connaître.)

    3) Ici \((b-a)^2=4\). Donc : \[ 1=\mathrm{Var}(X)=p(1-p)\cdot 4 \Rightarrow p(1-p)=\tfrac14. \] \[ p - p^2 = \tfrac14 \Rightarrow p^2 - p + \tfrac14=0 \Rightarrow \left(p-\tfrac12\right)^2=0 \Rightarrow p=\tfrac12. \]