Une variable aléatoire discrète \(X\) associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un nombre réel, et ne peut prendre qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
On note souvent : \[ X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\} \] où chaque valeur \(x_i\) est prise avec une certaine probabilité.
👉 Exemple : le nombre de faces obtenues lors de deux lancers d’une pièce équilibrée.
La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète \(X\) associe à chaque valeur possible \(x_i\) la probabilité \(P(X = x_i)\).
- \(\forall i,\; P(X = x_i) \ge 0\)
- \(\displaystyle \sum_i P(X = x_i) = 1\)
On présente souvent la loi sous forme de tableau.
L’espérance d’une variable aléatoire discrète représente la valeur moyenne théorique de \(X\).
Si \(X\) prend les valeurs \(x_i\) avec les probabilités \(p_i\), alors : \[ \mathbb{E}(X) = \sum_i x_i\,p_i \]
Sur un grand nombre de répétitions de l’expérience, la moyenne des valeurs observées est proche de \(\mathbb{E}(X)\).
- \(\mathbb{E}(aX+b) = a\,\mathbb{E}(X)+b\)
- Si \(X\ge0\), alors \(\mathbb{E}(X)\ge0\)
La variance mesure la dispersion des valeurs de \(X\) autour de son espérance.
L’écart-type est défini par : \[ \sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} \]
- Identifier clairement la variable aléatoire \(X\)
- Construire la loi de probabilité
- Vérifier que la somme des probabilités vaut 1
- Calculer \(\mathbb{E}(X)\)
- Calculer \(\mathrm{Var}(X)\) puis \(\sigma(X)\)
- Interpréter les résultats dans le contexte
- Oublier certaines valeurs possibles
- Confondre espérance et valeur la plus probable
- Oublier le carré dans la variance