Fiche — Lois de probabilité à densité
L’essentiel à connaître : densité, aire, uniforme \([a ; b]\), exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), temps d’attente.
0) À savoir en 10 secondes
- Probabilité = aire : \(\mathbb{P}(a \le X \le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
- Continu : \(\mathbb{P}(X=a)=0\) donc \(\mathbb{P}(a \le X \le b)=\mathbb{P}(a
- Répartition : \(F(x)=\mathbb{P}(X\le x)\) et \(\mathbb{P}(a \le X \le b)=F(b)-F(a)\).
- Uniforme : longueur / longueur totale.
- Exponentielle : \(\mathbb{P}(X\ge t)=e^{-\lambda t}\) et \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) pour \(x\ge 0\).
1) Densité — formules essentielles
Définition
\(f\) est une densité sur \(I\) si \(f(x)\ge 0\) et \(\displaystyle\int_I f(x)\,dx=1\).
Lire une probabilité
\[
\mathbb{P}(a \le X \le b)=\int_a^b f(x)\,dx
\quad\text{(aire sous }y=f(x)\text{ entre }a\text{ et }b).
\]
Fonction de répartition
\[
F(x)=\mathbb{P}(X\le x), \qquad
\mathbb{P}(a \le X \le b)=F(b)-F(a).
\]
Si \(f\) est continue : \(F'(x)=f(x)\).
2) Loi uniforme \(\mathcal{U}([a ; b])\)
Densité
\[
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a} & \text{si } x\in [a ; b],\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Probabilités (méthode la + rapide)
Pour \(a \le u \le v \le b\) :
\[
\mathbb{P}(u \le X \le v)=\frac{v-u}{b-a}.
\]
\[
\mathbb{P}(X\ge c)=\frac{b-c}{b-a},\quad
\mathbb{P}(X\le c)=\frac{c-a}{b-a}\quad (c\in[a ; b]).
\]
Moments
\[
\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2},
\qquad
\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.
\]
Écart-type :
\[
\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\frac{b-a}{\sqrt{12}}.
\]
Pièges Bac (uniforme)
- Ne pas oublier : c’est linéaire en longueur (pas besoin d’intégrer si c’est uniforme).
- Si \(c
- Une probabilité doit être dans \([0 ; 1]\) : vérifier à la fin.
3) Loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) (\(\lambda>0\))
Modèle classique de temps d’attente. Domaine : \(x\ge 0\).
Densité
\[
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad (x\ge 0),\qquad f(x)=0\ (x<0).
\]
Répartition
\[
F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\quad (x\ge 0).
\]
Formules “réflexes”
- \(\mathbb{P}(X\ge t)=e^{-\lambda t}\) pour \(t\ge 0\).
- \(\mathbb{P}(a\le X\le b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}\) pour \(0\le a\le b\).
- \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{\lambda}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\), \(\sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}\).
Sans mémoire (propriété clé)
Pour \(s\ge 0\), \(t\ge 0\) :
\[
\mathbb{P}(X\ge s+t \mid X\ge s)=\mathbb{P}(X\ge t)=e^{-\lambda t}.
\]
Lecture Bac : “si on a déjà attendu \(s\), l’attente restante ne dépend pas de \(s\)”.
Pièges Bac (exponentielle)
- Bien respecter le domaine : si \(t<0\), \(\mathbb{P}(X\ge t)=1\) (car \(X\ge 0\)).
- Attention : \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) ⇒ donc \(\mathbb{P}(X\ge x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}\).
- Unités : si \(x\) est en minutes, \(\lambda\) est en min\(^{-1}\).
4) Recettes type Bac (méthodes prêtes)
Uniforme — calcul en 1 ligne
\[
X\sim\mathcal{U}([a ; b])\Rightarrow \mathbb{P}(u\le X\le v)=\frac{v-u}{b-a}.
\]
Réflexe : “longueur / longueur totale”.
Exponentielle — calcul en 1 ligne
\[
X\sim\mathcal{E}(\lambda)\Rightarrow \mathbb{P}(X\ge t)=e^{-\lambda t}.
\]
Réflexe : “temps d’attente ⇒ exponentielle”.
Lecture d’une densité quelconque
Toujours : \(\mathbb{P}(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
Vérifier à la fin : résultat dans \([0 ; 1]\).
5) Auto-check (2 questions flash)
Flash 1 (uniforme)
\(X\sim\mathcal{U}([10 ; 20])\). \(\mathbb{P}(12\le X\le 15)=\ ?\)
\[
\frac{15-12}{20-10}=\frac{3}{10}.
\]
Flash 2 (exponentielle)
\(X\sim\mathcal{E}(0{,}2)\). \(\mathbb{P}(X\ge 8)=\ ?\)
\[
e^{-0{,}2\times 8}=e^{-1{,}6}.
\]
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