Exercices premium — Lois de probabilité à densité
Densité • probabilités comme aires • loi uniforme • loi exponentielle • temps d’attente (niveau Bac 19–20/20).
Méthode — les pièges qui font perdre des points
- Densité ≠ probabilité : une proba s’obtient par une intégrale (aire sous la courbe).
- Support : hors de l’intervalle de définition, une densité vaut souvent 0 (ne pas intégrer au-delà).
- Normalisation : toujours vérifier \(\int f = 1\).
- Valeur exacte : pour une loi à densité, \(\mathbb{P}(X=a)=0\).
- Uniforme : proba = longueur/longueur totale (si densité constante).
- Exponentielle : \(\mathbb{P}(X>t)=e^{-\lambda t}\), \(\mathbb{P}(X\le t)=1-e^{-\lambda t}\).
- Sans mémoire : \(\mathbb{P}(X>s+t\mid X>s)=\mathbb{P}(X>t)\).
- Unités : si \(t\) en minutes, alors \(\lambda\) en \(\text{min}^{-1}\).
Exercice 1 — Densité à paramètre : normaliser puis calculer des probabilités
On définit
\[
f(x)=\begin{cases}
k(2x+1) & \text{si } x\in[0;2],\\
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
\]
1) Déterminer \(k\) pour que \(f\) soit une densité.
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\le 1)\).
3) Déterminer \(\mathbb{P}(0{,}5 \le X \le 1{,}5)\).
4) Donner \(\mathbb{P}(X=1)\) et expliquer.
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\le 1)\).
3) Déterminer \(\mathbb{P}(0{,}5 \le X \le 1{,}5)\).
4) Donner \(\mathbb{P}(X=1)\) et expliquer.
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1)
\[
\int_0^2 k(2x+1)\,dx = 1
\quad\Rightarrow\quad
k\int_0^2 (2x+1)\,dx=1.
\]
Or
\[
\int_0^2 (2x+1)\,dx=[x^2+x]_0^2=6.
\]
Donc \(6k=1\Rightarrow \boxed{k=\frac{1}{6}}\).
2) \[ \mathbb{P}(X\le1)=\int_0^1 \frac{1}{6}(2x+1)\,dx =\frac{1}{6}[x^2+x]_0^1=\boxed{\frac{1}{3}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(0{,}5\le X\le 1{,}5)=\int_{0.5}^{1.5}\frac{1}{6}(2x+1)\,dx =\frac{1}{6}[x^2+x]_{0.5}^{1.5}. \] \[ (1.5^2+1.5)-(0.5^2+0.5)=3.75-0.75=3 \Rightarrow \boxed{\frac{1}{6}\cdot 3=\frac{1}{2}}. \]
4) Pour une loi à densité : \[ \boxed{\mathbb{P}(X=1)=0} \] (aire d’un point = 0).
2) \[ \mathbb{P}(X\le1)=\int_0^1 \frac{1}{6}(2x+1)\,dx =\frac{1}{6}[x^2+x]_0^1=\boxed{\frac{1}{3}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(0{,}5\le X\le 1{,}5)=\int_{0.5}^{1.5}\frac{1}{6}(2x+1)\,dx =\frac{1}{6}[x^2+x]_{0.5}^{1.5}. \] \[ (1.5^2+1.5)-(0.5^2+0.5)=3.75-0.75=3 \Rightarrow \boxed{\frac{1}{6}\cdot 3=\frac{1}{2}}. \]
4) Pour une loi à densité : \[ \boxed{\mathbb{P}(X=1)=0} \] (aire d’un point = 0).
Exercice 2 — Loi uniforme : probas, médiane et quantile « Bac »
On modélise le temps \(T\) (en minutes) d’attente par une loi uniforme sur \([0;18]\).
1) Calculer \(\mathbb{P}(T\le 5)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(7 \le T \le 12)\).
3) Déterminer la médiane \(m\).
4) Trouver \(a\) tel que \(\mathbb{P}(T\le a)=0{,}9\), puis interpréter.
1) Calculer \(\mathbb{P}(T\le 5)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(7 \le T \le 12)\).
3) Déterminer la médiane \(m\).
4) Trouver \(a\) tel que \(\mathbb{P}(T\le a)=0{,}9\), puis interpréter.
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Pour \(T\sim \mathcal{U}([0;18])\), densité constante :
\[
f(t)=\frac{1}{18}\quad \text{sur }[0;18].
\]
1)
\[
\mathbb{P}(T\le 5)=\frac{5}{18}.
\]
\(\boxed{\frac{5}{18}}\)
2) \[ \mathbb{P}(7\le T\le 12)=\frac{12-7}{18}=\frac{5}{18}. \] \(\boxed{\frac{5}{18}}\)
3) Médiane \(m\) : \(\mathbb{P}(T\le m)=\frac{1}{2}\). \[ \frac{m}{18}=\frac{1}{2}\Rightarrow \boxed{m=9}. \]
4) \[ \frac{a}{18}=0{,}9\Rightarrow \boxed{a=16{,}2}. \] 90% des attentes durent au plus 16,2 minutes.
2) \[ \mathbb{P}(7\le T\le 12)=\frac{12-7}{18}=\frac{5}{18}. \] \(\boxed{\frac{5}{18}}\)
3) Médiane \(m\) : \(\mathbb{P}(T\le m)=\frac{1}{2}\). \[ \frac{m}{18}=\frac{1}{2}\Rightarrow \boxed{m=9}. \]
4) \[ \frac{a}{18}=0{,}9\Rightarrow \boxed{a=16{,}2}. \] 90% des attentes durent au plus 16,2 minutes.
Exercice 3 — Loi exponentielle : queue, intervalle et propriété sans mémoire
Le temps \(X\) (en heures) avant panne suit \(X\sim\mathcal{E}(0{,}25)\).
1) Calculer \(\mathbb{P}(X>4)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(2
3) Calculer \(\mathbb{P}(X>5\mid X>3)\).
4) Interpréter.
1) Calculer \(\mathbb{P}(X>4)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(2
4) Interpréter.
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Pour \(t\ge 0\),
\[
\mathbb{P}(X>t)=e^{-0.25t}.
\]
1)
\[
\mathbb{P}(X>4)=e^{-1}.
\]
\(\boxed{e^{-1}}\)
2) \[ \mathbb{P}(22)-\mathbb{P}(X>6)=e^{-0.5}-e^{-1.5}.
\]
\(\boxed{e^{-0.5}-e^{-1.5}}\)
3) \[ \mathbb{P}(X>5\mid X>3)=\frac{\mathbb{P}(X>5)}{\mathbb{P}(X>3)} =\frac{e^{-1.25}}{e^{-0.75}}=e^{-0.5}. \] \(\boxed{e^{-0.5}}\)
4) « Sans mémoire » : la probabilité de tenir 2 h de plus ne dépend pas des 3 h déjà passées.
2) \[ \mathbb{P}(2
3) \[ \mathbb{P}(X>5\mid X>3)=\frac{\mathbb{P}(X>5)}{\mathbb{P}(X>3)} =\frac{e^{-1.25}}{e^{-0.75}}=e^{-0.5}. \] \(\boxed{e^{-0.5}}\)
4) « Sans mémoire » : la probabilité de tenir 2 h de plus ne dépend pas des 3 h déjà passées.
Exercice 4 — Déterminer \(\lambda\) à partir d’une probabilité (piège d’unités)
\(Y\) (en minutes) suit une exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\). On sait :
\[
\mathbb{P}(Y>10)=0{,}2.
\]
1) Déterminer \(\lambda\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(Y\le 3)\).
3) Donner \(\mathbb{E}(Y)\) et interpréter.
2) Calculer \(\mathbb{P}(Y\le 3)\).
3) Donner \(\mathbb{E}(Y)\) et interpréter.
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1)
\[
e^{-10\lambda}=0{,}2 \Rightarrow -10\lambda=\ln(0{,}2)
\Rightarrow \boxed{\lambda=-\frac{\ln(0{,}2)}{10}}.
\]
2) \[ \mathbb{P}(Y\le3)=1-e^{-3\lambda} =1-\exp\!\left(\frac{3\ln(0{,}2)}{10}\right) =\boxed{1-(0{,}2)^{3/10}}. \]
3) \[ \mathbb{E}(Y)=\frac{1}{\lambda}=\boxed{\frac{10}{-\ln(0{,}2)}}\ \text{minutes}. \] Interprétation : attente moyenne.
2) \[ \mathbb{P}(Y\le3)=1-e^{-3\lambda} =1-\exp\!\left(\frac{3\ln(0{,}2)}{10}\right) =\boxed{1-(0{,}2)^{3/10}}. \]
3) \[ \mathbb{E}(Y)=\frac{1}{\lambda}=\boxed{\frac{10}{-\ln(0{,}2)}}\ \text{minutes}. \] Interprétation : attente moyenne.
Exercice 5 — Choisir un modèle : uniforme ou exponentielle ? (esprit critique Bac)
(A) Un ascenseur arrive « au hasard » entre 0 et 30 s.
(B) Arrivées de taxis : modèle « sans mémoire ».
1) Associer (A) et (B) à une loi.
2) Dans (A), calculer \(\mathbb{P}(U\le 8)\).
3) Dans (B), \(T\sim \mathcal{E}(0{,}12)\) (minutes) : calculer \(\mathbb{P}(T\le 5)\).
4) Dans (B), calculer \(\mathbb{P}(T>7\mid T>2)\).
(B) Arrivées de taxis : modèle « sans mémoire ».
1) Associer (A) et (B) à une loi.
2) Dans (A), calculer \(\mathbb{P}(U\le 8)\).
3) Dans (B), \(T\sim \mathcal{E}(0{,}12)\) (minutes) : calculer \(\mathbb{P}(T\le 5)\).
4) Dans (B), calculer \(\mathbb{P}(T>7\mid T>2)\).
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1)
3) \[ \mathbb{P}(T\le 5)=1-e^{-0.12\cdot 5}=\boxed{1-e^{-0.6}}. \]
4) \[ \mathbb{P}(T>7\mid T>2)=\mathbb{P}(T>5)=e^{-0.12\cdot 5}=\boxed{e^{-0.6}}. \]
- (A) : uniforme sur \([0;30]\) (borné, aucune durée privilégiée).
- (B) : exponentielle (sans mémoire).
3) \[ \mathbb{P}(T\le 5)=1-e^{-0.12\cdot 5}=\boxed{1-e^{-0.6}}. \]
4) \[ \mathbb{P}(T>7\mid T>2)=\mathbb{P}(T>5)=e^{-0.12\cdot 5}=\boxed{e^{-0.6}}. \]
Exercice 6 — Aire & comparaison de probabilités (piège graphique)
On considère
\[
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x}{4} & \text{si } x\in[0;4] \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
\]
1) Vérifier que \(f\) est une densité.
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\le 2)\).
3) Comparer \(\mathbb{P}(X\le 1)\) et \(\mathbb{P}(X\ge 3)\).
4) Interpréter.
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\le 2)\).
3) Comparer \(\mathbb{P}(X\le 1)\) et \(\mathbb{P}(X\ge 3)\).
4) Interpréter.
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1)
\[
\int_0^4 \frac{x}{4}\,dx=\frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4
=\frac{1}{4}\cdot 8=1.
\]
OK densité.
2) \[ \mathbb{P}(X\le2)=\int_0^2 \frac{x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(X\le1)=\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx=\frac{1}{8}. \] \[ \mathbb{P}(X\ge3)=\int_3^4 \frac{x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_3^4=\frac{7}{8}. \] Donc \(\boxed{\mathbb{P}(X\ge3)>\mathbb{P}(X\le1)}\).
4) Densité croissante : les grandes valeurs sont plus probables.
2) \[ \mathbb{P}(X\le2)=\int_0^2 \frac{x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(X\le1)=\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx=\frac{1}{8}. \] \[ \mathbb{P}(X\ge3)=\int_3^4 \frac{x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_3^4=\frac{7}{8}. \] Donc \(\boxed{\mathbb{P}(X\ge3)>\mathbb{P}(X\le1)}\).
4) Densité croissante : les grandes valeurs sont plus probables.
Exercice 7 — Identifier une exponentielle (énoncé piégé)
Pour tout \(t\ge0\),
\[
\mathbb{P}(X>t)=e^{-0{,}4t}.
\]
1) Identifier la loi de \(X\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\le 3)\).
3) Calculer \(\mathbb{P}(2
4) Donner \(\mathbb{E}(X)\).
2) Calculer \(\mathbb{P}(X\le 3)\).
3) Calculer \(\mathbb{P}(2
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1) C’est une exponentielle : \(X\sim\mathcal{E}(0{,}4)\).
2) \[ \mathbb{P}(X\le3)=1-e^{-0.4\cdot3}=\boxed{1-e^{-1.2}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(22)-\mathbb{P}(X>5)
=e^{-0.8}-e^{-2}.
\]
4) \[ \mathbb{E}(X)=\frac{1}{0.4}=\boxed{2{,}5}. \]
2) \[ \mathbb{P}(X\le3)=1-e^{-0.4\cdot3}=\boxed{1-e^{-1.2}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(2
4) \[ \mathbb{E}(X)=\frac{1}{0.4}=\boxed{2{,}5}. \]
Exercice 8 — Choisir le bon modèle (raisonnement Bac)
Deux files d’attente sont étudiées :
A. Temps d’attente borné entre 0 et 12 minutes, sans information supplémentaire. B. Temps d’attente pour un appel téléphonique, « sans mémoire ».
1) Associer à chaque situation une loi adaptée. 2) Dans le cas A, calculer \(\mathbb{P}(T\le 4)\). 3) Dans le cas B, avec \(\lambda=0{,}2\), calculer \(\mathbb{P}(T>10\mid T>3)\).
A. Temps d’attente borné entre 0 et 12 minutes, sans information supplémentaire. B. Temps d’attente pour un appel téléphonique, « sans mémoire ».
1) Associer à chaque situation une loi adaptée. 2) Dans le cas A, calculer \(\mathbb{P}(T\le 4)\). 3) Dans le cas B, avec \(\lambda=0{,}2\), calculer \(\mathbb{P}(T>10\mid T>3)\).
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1)
3) \[ \mathbb{P}(T>10\mid T>3)=\mathbb{P}(T>7)=e^{-0.2\cdot7}. \] \[ \boxed{e^{-1.4}} \]
- A : loi uniforme sur \([0;12]\)
- B : loi exponentielle (propriété sans mémoire)
3) \[ \mathbb{P}(T>10\mid T>3)=\mathbb{P}(T>7)=e^{-0.2\cdot7}. \] \[ \boxed{e^{-1.4}} \]
Exercice 9 — Temps d’attente (type Bac) : unités, quantile et probabilité conditionnelle
Le temps \(T\) (en minutes) d’attente avant la prise en charge d’un appel suit une loi exponentielle
de paramètre \(\lambda\).
On sait que \(\mathbb{P}(T>4)=0{,}30\).
1) Déterminer \(\lambda\) (valeur exacte puis approximation).
2) Calculer \(\mathbb{P}(T\le 2)\).
3) Déterminer la durée \(t_{95}\) telle que \(\mathbb{P}(T\le t_{95})=0{,}95\).
4) Un usager attend déjà depuis 3 minutes. Calculer \(\mathbb{P}(T>6\mid T>3)\).
5) Interpréter la réponse de la question 4 (phrase Bac).
On sait que \(\mathbb{P}(T>4)=0{,}30\).
1) Déterminer \(\lambda\) (valeur exacte puis approximation).
2) Calculer \(\mathbb{P}(T\le 2)\).
3) Déterminer la durée \(t_{95}\) telle que \(\mathbb{P}(T\le t_{95})=0{,}95\).
4) Un usager attend déjà depuis 3 minutes. Calculer \(\mathbb{P}(T>6\mid T>3)\).
5) Interpréter la réponse de la question 4 (phrase Bac).
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Rappel : si \(T\sim\mathcal{E}(\lambda)\), alors pour \(t\ge 0\),
\[
\mathbb{P}(T>t)=e^{-\lambda t}
\quad\text{et}\quad
\mathbb{P}(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.
\]
1) On utilise \(\mathbb{P}(T>4)=0{,}30\) : \[ e^{-4\lambda}=0{,}30 \Rightarrow -4\lambda=\ln(0{,}30) \Rightarrow \boxed{\lambda=-\frac{\ln(0{,}30)}{4}}. \] Approximation : \[ \ln(0{,}30)\approx -1{,}204 \Rightarrow \lambda\approx \frac{1{,}204}{4}\approx \boxed{0{,}301}. \] Unité : \(\lambda\) est en \(\text{min}^{-1}\).
2) \[ \mathbb{P}(T\le2)=1-e^{-2\lambda} =1-\exp\!\left(\frac{\ln(0{,}30)}{2}\right) =\boxed{1-(0{,}30)^{1/2}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(T\le t_{95})=0{,}95 \iff e^{-\lambda t_{95}}=0{,}05 \Rightarrow \boxed{t_{95}=-\frac{\ln(0{,}05)}{\lambda}}. \] Avec \(\lambda=-\frac{\ln(0{,}30)}{4}\) : \[ t_{95}=4\cdot\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}30)}\approx \boxed{9{,}95}. \]
4) Propriété sans mémoire : \[ \mathbb{P}(T>6\mid T>3)=\mathbb{P}(T>3)=e^{-3\lambda}. \] Or \(e^{-4\lambda}=0{,}30\), donc \[ e^{-3\lambda}=(0{,}30)^{3/4} \Rightarrow \boxed{\mathbb{P}(T>6\mid T>3)=(0{,}30)^{3/4}}. \]
5) Interprétation Bac :
« Sachant que l’attente a déjà duré 3 minutes, la probabilité d’attendre encore plus de 3 minutes est la même que la probabilité initiale d’attendre plus de 3 minutes : la loi exponentielle est sans mémoire. »
1) On utilise \(\mathbb{P}(T>4)=0{,}30\) : \[ e^{-4\lambda}=0{,}30 \Rightarrow -4\lambda=\ln(0{,}30) \Rightarrow \boxed{\lambda=-\frac{\ln(0{,}30)}{4}}. \] Approximation : \[ \ln(0{,}30)\approx -1{,}204 \Rightarrow \lambda\approx \frac{1{,}204}{4}\approx \boxed{0{,}301}. \] Unité : \(\lambda\) est en \(\text{min}^{-1}\).
2) \[ \mathbb{P}(T\le2)=1-e^{-2\lambda} =1-\exp\!\left(\frac{\ln(0{,}30)}{2}\right) =\boxed{1-(0{,}30)^{1/2}}. \]
3) \[ \mathbb{P}(T\le t_{95})=0{,}95 \iff e^{-\lambda t_{95}}=0{,}05 \Rightarrow \boxed{t_{95}=-\frac{\ln(0{,}05)}{\lambda}}. \] Avec \(\lambda=-\frac{\ln(0{,}30)}{4}\) : \[ t_{95}=4\cdot\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}30)}\approx \boxed{9{,}95}. \]
4) Propriété sans mémoire : \[ \mathbb{P}(T>6\mid T>3)=\mathbb{P}(T>3)=e^{-3\lambda}. \] Or \(e^{-4\lambda}=0{,}30\), donc \[ e^{-3\lambda}=(0{,}30)^{3/4} \Rightarrow \boxed{\mathbb{P}(T>6\mid T>3)=(0{,}30)^{3/4}}. \]
5) Interprétation Bac :
« Sachant que l’attente a déjà duré 3 minutes, la probabilité d’attendre encore plus de 3 minutes est la même que la probabilité initiale d’attendre plus de 3 minutes : la loi exponentielle est sans mémoire. »
Exercice 10 — Uniforme vs exponentielle : même moyenne, pas le même risque (piège Bac)
Deux modèles sont proposés pour un temps d’attente \(X\) (en minutes) :
Modèle U : \(X\sim\mathcal{U}([0;10])\).
Modèle E : \(X\sim\mathcal{E}(\lambda)\) avec \(\mathbb{E}(X)=5\).
1) Dans le modèle E, déterminer \(\lambda\).
2) Calculer, dans chaque modèle, la probabilité d’attendre plus de 8 minutes : \(\mathbb{P}(X>8)\).
3) Quel modèle donne le plus grand risque de « très longue attente » ? Justifier.
4) On observe une attente de 12 minutes : quel modèle devient impossible ? expliquer.
Modèle U : \(X\sim\mathcal{U}([0;10])\).
Modèle E : \(X\sim\mathcal{E}(\lambda)\) avec \(\mathbb{E}(X)=5\).
1) Dans le modèle E, déterminer \(\lambda\).
2) Calculer, dans chaque modèle, la probabilité d’attendre plus de 8 minutes : \(\mathbb{P}(X>8)\).
3) Quel modèle donne le plus grand risque de « très longue attente » ? Justifier.
4) On observe une attente de 12 minutes : quel modèle devient impossible ? expliquer.
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1) Pour une exponentielle, \(\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}\).
Or \(\mathbb{E}(X)=5\), donc
\[
\frac{1}{\lambda}=5 \Rightarrow \boxed{\lambda=\frac{1}{5}=0{,}2}.
\]
2)
3) Même si les valeurs sont proches pour \(t=8\), les modèles diffèrent :
le modèle exponentiel autorise des attentes arbitrairement grandes (support \([0;+\infty[\)), tandis que le modèle uniforme est borné par 10.
\[ \boxed{\text{Le modèle E est plus risqué pour les attentes très longues, car il n’est pas borné.}} \]
4) Une attente de 12 minutes est impossible avec \(X\sim\mathcal{U}([0;10])\). \[ \boxed{\text{Le modèle U devient impossible car } \mathbb{P}(X>10)=0.} \]
2)
- Modèle U : \(X\in[0;10]\) uniformément. \[ \mathbb{P}(X>8)=\frac{\text{longueur }[8;10]}{\text{longueur }[0;10]} =\frac{2}{10}=\boxed{\frac{1}{5}}. \]
- Modèle E : \(\mathbb{P}(X>t)=e^{-\lambda t}\). Avec \(\lambda=0{,}2\) : \[ \mathbb{P}(X>8)=e^{-0.2\cdot8}=e^{-1.6}. \] \(\boxed{e^{-1.6}}\) (≈ 0,202).
3) Même si les valeurs sont proches pour \(t=8\), les modèles diffèrent :
le modèle exponentiel autorise des attentes arbitrairement grandes (support \([0;+\infty[\)), tandis que le modèle uniforme est borné par 10.
\[ \boxed{\text{Le modèle E est plus risqué pour les attentes très longues, car il n’est pas borné.}} \]
4) Une attente de 12 minutes est impossible avec \(X\sim\mathcal{U}([0;10])\). \[ \boxed{\text{Le modèle U devient impossible car } \mathbb{P}(X>10)=0.} \]