Cours premium — Lois de probabilité à densité
Densité • probabilité comme aire • loi uniforme \([a ; b]\) • loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) • temps d’attente • sans mémoire.
1) Objectifs du chapitre
Ici, on passe des lois “à valeurs isolées” (discrètes) aux lois continues :
on ne calcule plus une somme, mais une aire sous une courbe.
À la fin, tu dois savoir :
- reconnaître/valider une densité et calculer \(P(u\le X\le v)\) par intégrale ;
- utiliser vite la loi uniforme sur \([a ; b]\) (proportion de longueur) ;
- utiliser vite la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) (temps d’attente) ;
- appliquer la propriété sans mémoire (conditionnelle).
2) Densité : définition & lecture “probabilité = aire”
Définition (à connaître)
Une variable aléatoire continue \(X\) admet une densité \(f\) si :
\[
f(x)\ge 0\quad \text{pour tout }x
\qquad\text{et}\qquad
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1.
\]
Alors, pour tous réels \(u\le v\) :
\[
\mathbb{P}(u\le X\le v)=\int_u^v f(x)\,dx.
\]
Interprétation
Cette intégrale est l’aire sous la courbe \(y=f(x)\) entre \(x=u\) et \(x=v\).
Réflexes Bac
- Point : \(\mathbb{P}(X=a)=0\). Donc \(P(X\le a)=P(X
- Contrôle : toujours vérifier \(0\le P\le 1\).
- Support : repérer où \(f\neq 0\) (souvent un intervalle) avant d’intégrer.
- Par morceaux : on intègre morceau par morceau.
Mini-exemple : normaliser une densité
On suppose
\[
f(x)=\begin{cases}
kx & \text{si } x\in[0 ; 2],\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Une densité vérifie \(\int_0^2 kx\,dx=1\), donc :
\[
k\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=1
\Rightarrow k\cdot 2=1
\Rightarrow k=\frac12.
\]
Piège fréquent : “densité” \(\neq\) “probabilité”.
La densité \(f(x)\) peut être > 1, mais une probabilité (aire) est toujours dans \([0 ; 1]\).
3) Fonction de répartition \(F\)
Définition
\[
F(x)=\mathbb{P}(X\le x).
\]
Propriétés essentielles : \(F\) est croissante, \(0\le F(x)\le 1\),
\(\lim_{x\to -\infty}F(x)=0\) et \(\lim_{x\to +\infty}F(x)=1\).
Lien densité ↔ répartition
Si \(X\) admet une densité \(f\), alors :
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
\]
Et surtout, pour \(a\le b\) :
\[
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a).
\]
Méthode express pour construire \(F\) (si \(f\) est par morceaux)
1) Déterminer le support (là où \(f\neq 0\)).
2) Pour \(x\) avant le support : \(F(x)=0\).
3) Sur le support : intégrer jusqu’à \(x\).
4) Après le support : \(F(x)=1\).
5) Vérifier la continuité de \(F\) aux points de raccord.
2) Pour \(x\) avant le support : \(F(x)=0\).
3) Sur le support : intégrer jusqu’à \(x\).
4) Après le support : \(F(x)=1\).
5) Vérifier la continuité de \(F\) aux points de raccord.
4) Loi uniforme \(\mathcal{U}([a ; b])\)
Idée
Sur \([a ; b]\), aucune valeur n’est privilégiée : la densité est constante.
Une probabilité devient une proportion de longueur.
Densité
\[
X\sim\mathcal{U}([a ; b])\ (a
Formules à savoir (réflexe Bac)
Pour \(a\le u\le v\le b\) :
\[
\mathbb{P}(u\le X\le v)=\frac{v-u}{b-a}.
\]
Espérance :
\[
\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}.
\]
(Si demandé : \(\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\).)
Piège : probabilité conditionnelle = restriction d’intervalle
Exemple : \(X\sim\mathcal{U}([0 ; 12])\). Conditionner par \(X\ge 6\) signifie :
on travaille désormais sur \([6 ; 12]\).
\[
\mathbb{P}(X\ge 9\mid X\ge 6)=\frac{12-9}{12-6}=\frac12.
\]
5) Loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) : temps d’attente
Quand l’utiliser ?
La loi exponentielle modélise un temps jusqu’à un événement :
panne, arrivée d’un client, délai entre deux appels…
Lecture : plus \(\lambda\) est grand, plus l’attente moyenne est courte.
Densité
\[
X\sim\mathcal{E}(\lambda),\ \lambda>0
\Longleftrightarrow
f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & \text{si } x\in[0 ; +\infty[,\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Fonction de répartition et “queue”
Pour \(t\ge 0\) :
\[
F(t)=\mathbb{P}(X\le t)=1-e^{-\lambda t}.
\]
Et donc :
\[
\mathbb{P}(X\ge t)=e^{-\lambda t}.
\]
Formules indispensables
Pour \(0\le a\le b\) :
\[
\mathbb{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a)=\big(1-e^{-\lambda b}\big)-\big(1-e^{-\lambda a}\big)
=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.
\]
Espérance (temps moyen d’attente) :
\[
\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}.
\]
(Si demandé : \(\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}\).)
Exemple express (sans calculatrice)
Si \(\lambda=0{,}3\) et \(t=4\), alors :
\[
\mathbb{P}(X\ge 4)=e^{-0{,}3\times 4}=e^{-1{,}2}.
\]
Et \(\mathbb{P}(X\le 4)=1-e^{-1{,}2}\).
Piège : bien vérifier l’unité du temps (minutes / heures) :
\(\lambda\) est dans l’unité inverse (min\(^{-1}\), h\(^{-1}\)).
6) Propriété sans mémoire (exponentielle)
Énoncé (à connaître)
Si \(X\sim\mathcal{E}(\lambda)\), alors pour \(s\ge 0\) et \(t\ge 0\) :
\[
\mathbb{P}(X\ge s+t\mid X\ge s)=\mathbb{P}(X\ge t)=e^{-\lambda t}.
\]
Interprétation : le temps déjà attendu n’influence pas l’attente restante.
Exemple type Bac
Un client a déjà attendu 3 minutes. Probabilité d’attendre au moins 5 minutes :
\[
\mathbb{P}(X\ge 5\mid X\ge 3)=\mathbb{P}(X\ge 2)=e^{-2\lambda}.
\]
(On peut aussi écrire \(\frac{e^{-5\lambda}}{e^{-3\lambda}}=e^{-2\lambda}\), mais la formule sans mémoire est la justification directe.)
Checklist express (avant de rendre une copie)
1
Ai-je identifié le support (uniforme : \([a ; b]\) ; exponentielle : \([0 ; +\infty[)\) ?
2
Ai-je utilisé la bonne formule :
uniforme → (longueur)/(b-a)
; expo → P(X≥t)=e^{-λt} ?
3
Ai-je vérifié \(0\le P\le 1\) et le sens (ex : \(P(X\ge 1)>P(X\ge 2)\)) ?
4
En conditionnelle uniforme : ai-je bien restreint l’intervalle ?
5
En sans mémoire : ai-je transformé “\(s+t\) sachant \(s\)” en “reste \(t\)” ?