Volumes
6EME • MATHS — Learna
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Exercices — Les volumes (6e) • Niveau dur
Volume en \(\text{cm}^3\) • comparaison • comptage (couches/colonnes) • blocs complets • conversions (\(\times 1\,000\)). Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
  • Si cube unité : volume (en \(\text{cm}^3\)) = nombre de cubes.
  • Compter un assemblage : par couches (le plus sûr) ou par colonnes.
  • Bloc complet : \(V=L\times l\times h\) (en nombre de cubes).
  • Conversions de volume : chaque saut d’unité fait \(\times 1\,000\) (ou \(\div 1\,000\)).
  • Attention aux cubes cachés (dessous/derrière).
Exercice 1 — Volume = nombre de cubes (échauffement dur)
On construit des solides avec des cubes de \(1\ \text{cm}^3\). Donner le volume en \(\text{cm}^3\).
  1. Solide A : 14 cubes.
  2. Solide B : 3 couches de 9 cubes.
  3. Solide C : 5 colonnes de hauteur 2 et 4 colonnes de hauteur 3.
  4. Solide D : 2 couches : couche du bas 16 cubes, couche du haut 9 cubes.
Correction détaillée
  • 1) \(V_A=14\ \text{cm}^3\).
  • 2) \(V_B=3\times 9=27\ \text{cm}^3\).
  • 3) \(V_C=5\times 2 + 4\times 3 = 10 + 12 = 22\ \text{cm}^3\).
  • 4) \(V_D=16+9=25\ \text{cm}^3\).
Exercice 2 — Blocs complets (compter vite)
Chaque bloc est complet (aucun trou). Les cubes valent \(1\ \text{cm}^3\). Calculer le volume.
  1. Bloc A : \(L=6\), \(l=2\), \(h=3\).
  2. Bloc B : \(L=4\), \(l=4\), \(h=2\).
  3. Bloc C : \(L=5\), \(l=3\), \(h=1\).
  4. Bloc D : \(L=7\), \(l=3\), \(h=4\).
Correction détaillée
  • 1) \(V_A=6\times 2\times 3=36\ \text{cm}^3\).
  • 2) \(V_B=4\times 4\times 2=32\ \text{cm}^3\).
  • 3) \(V_C=5\times 3\times 1=15\ \text{cm}^3\).
  • 4) \(V_D=7\times 3\times 4=84\ \text{cm}^3\).
Contrôle : si \(h=1\), le volume = nombre de cubes sur la base.
Exercice 3 — Assemblages avec cubes manquants (dur)
On décrit des assemblages. Chaque cube vaut \(1\ \text{cm}^3\). Calculer le volume sans utiliser \(L\times l\times h\) si le solide n’est pas complet.
Assemblage A
Base : un rectangle \(4\times 3\) (donc 12 cubes au sol). Deuxième couche : un rectangle \(4\times 2\) (donc 8 cubes) posé au fond. Troisième couche : une rangée de 4 cubes posée sur la deuxième couche (tout au fond).
Assemblage B
Base : carré \(4\times 4\) (16 cubes). Deuxième couche : 12 cubes (il manque 4 cubes aux coins). Troisième couche : 4 cubes (au centre, en carré \(2\times 2\)).
Correction détaillée
A) Par couches
Couche 1 : 12 cubes Couche 2 : 8 cubes Couche 3 : 4 cubes \[ V=12+8+4=24\ \text{cm}^3 \]
B) Par couches
Couche 1 : 16 cubes Couche 2 : 12 cubes Couche 3 : 4 cubes \[ V=16+12+4=32\ \text{cm}^3 \]
Piège : ici, \(4\times 4\times 3\) serait faux car le solide n’est pas complet.
Exercice 4 — Comparer des volumes (raisonnement dur)
Pour chaque situation, dire quel solide a le plus grand volume (ou s’ils sont égaux). Justifier avec un calcul.
  1. Solide A : bloc \(5\times 2\times 3\). Solide B : 2 couches de 14 cubes.
  2. Solide C : 30 cubes au total. Solide D : bloc \(4\times 3\times 2\).
  3. Solide E : 6 colonnes de hauteur 3 et 6 colonnes de hauteur 2. Solide F : 4 couches de 15 cubes.
Correction détaillée
1)
\(V_A=5\times 2\times 3=30\ \text{cm}^3\). \(V_B=2\times 14=28\ \text{cm}^3\). Donc \(V_A>V_B\).
2)
\(V_C=30\ \text{cm}^3\). \(V_D=4\times 3\times 2=24\ \text{cm}^3\). Donc \(V_C>V_D\).
3)
\(V_E=6\times 3 + 6\times 2=18+12=30\ \text{cm}^3\). \(V_F=4\times 15=60\ \text{cm}^3\). Donc \(V_F>V_E\).
Exercice 5 — Conversions de volume (dur)
Convertir. Rappel : volume → \(\times 1\,000\) par saut.
  1. \(2,5\ \text{dm}^3\) en \(\text{cm}^3\).
  2. \(9\,000\ \text{cm}^3\) en \(\text{dm}^3\).
  3. \(0,6\ \text{m}^3\) en \(\text{dm}^3\).
  4. \(1\,200\,000\ \text{cm}^3\) en \(\text{m}^3\).
Correction détaillée
  • 1) \(2,5\ \text{dm}^3 = 2,5\times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3\).
  • 2) \(9\,000\ \text{cm}^3 = 9\ \text{dm}^3\) (÷1 000).
  • 3) \(0,6\ \text{m}^3 = 0,6\times 1\,000 = 600\ \text{dm}^3\).
  • 4) \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3\) donc \(1\,200\,000\ \text{cm}^3 = 1,2\ \text{m}^3\).
Piège : \(\times 100\) c’est pour les aires, pas pour les volumes.
Exercice 6 — Problèmes (très dur)
Problème A — Compléter un bloc
On veut construire un bloc complet \(5\times 4\times 2\) avec des cubes unité. On a déjà placé 31 cubes. Combien de cubes manque-t-il ?
Problème B — “Ville” de cubes
Un assemblage est posé sur une base \(3\times 4\) (donc 12 emplacements au sol). Les hauteurs des 12 colonnes (en cubes) sont : \[ 3,\ 3,\ 2,\ 1,\quad 2,\ 2,\ 2,\ 1,\quad 1,\ 1,\ 1,\ 0 \] Calculer le volume.
Correction détaillée
A)
Volume du bloc complet : \[ V=5\times 4\times 2=40\ \text{cm}^3 \] Cubes manquants : \[ 40-31=9 \]
Réponse : 9 cubes
B)
On additionne les hauteurs : \[ V = (3+3+2+1) + (2+2+2+1) + (1+1+1+0) \] Calcul : \[ (9) + (7) + (3) = 19 \]
Réponse : \(19\ \text{cm}^3\)
Défi (bonus) — Cubes cachés
Un assemblage a une base \(4\times 3\) (donc 12 cubes au sol). La hauteur est de 2 cubes partout sauf sur 4 emplacements où la hauteur est 3 cubes. 1) Calculer le volume. 2) Justifier sans dessiner.
Correction
Si tout était de hauteur 2 : \(12\times 2 = 24\). Sur 4 emplacements, on ajoute 1 cube (car 3 au lieu de 2) : \(+4\). \[ V=24+4=28\ \text{cm}^3 \]
Réponse : \(28\ \text{cm}^3\)