Exercices corrigés — Les Volumes (6e)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 6ème sur Les Volumes. Tu vas t’entraîner sur formules de volumes, unités, pyramides et cônes, problèmes de mesure avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Cours Fiches Exercices Quiz 6e Chapitres
Exercices — Les volumes (6e) • Niveau dur
Volume en \(\text{cm}^3\) • comparaison • comptage (couches/colonnes) • blocs complets • conversions (\(\times 1\,000\)). Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
  • Si cube unité : volume (en \(\text{cm}^3\)) = nombre de cubes.
  • Compter un assemblage : par couches (le plus sûr) ou par colonnes.
  • Bloc complet : \(V=L\times l\times h\) (en nombre de cubes).
  • Conversions de volume : chaque saut d’unité fait \(\times 1\,000\) (ou \(\div 1\,000\)).
  • Attention aux cubes cachés (dessous/derrière).
Exercice 1 — Volume = nombre de cubes (échauffement dur)
On construit des solides avec des cubes de \(1\ \text{cm}^3\). Donner le volume en \(\text{cm}^3\).
  1. Solide A : 14 cubes.
  2. Solide B : 3 couches de 9 cubes.
  3. Solide C : 5 colonnes de hauteur 2 et 4 colonnes de hauteur 3.
  4. Solide D : 2 couches : couche du bas 16 cubes, couche du haut 9 cubes.
Correction détaillée
  • 1) \(V_A=14\ \text{cm}^3\).
  • 2) \(V_B=3\times 9=27\ \text{cm}^3\).
  • 3) \(V_C=5\times 2 + 4\times 3 = 10 + 12 = 22\ \text{cm}^3\).
  • 4) \(V_D=16+9=25\ \text{cm}^3\).
Exercice 2 — Blocs complets (compter vite)
Chaque bloc est complet (aucun trou). Les cubes valent \(1\ \text{cm}^3\). Calculer le volume.
  1. Bloc A : \(L=6\), \(l=2\), \(h=3\).
  2. Bloc B : \(L=4\), \(l=4\), \(h=2\).
  3. Bloc C : \(L=5\), \(l=3\), \(h=1\).
  4. Bloc D : \(L=7\), \(l=3\), \(h=4\).
Correction détaillée
  • 1) \(V_A=6\times 2\times 3=36\ \text{cm}^3\).
  • 2) \(V_B=4\times 4\times 2=32\ \text{cm}^3\).
  • 3) \(V_C=5\times 3\times 1=15\ \text{cm}^3\).
  • 4) \(V_D=7\times 3\times 4=84\ \text{cm}^3\).
Contrôle : si \(h=1\), le volume = nombre de cubes sur la base.
Exercice 3 — Assemblages avec cubes manquants (dur)
On décrit des assemblages. Chaque cube vaut \(1\ \text{cm}^3\). Calculer le volume sans utiliser \(L\times l\times h\) si le solide n’est pas complet.
Assemblage A
Base : un rectangle \(4\times 3\) (donc 12 cubes au sol). Deuxième couche : un rectangle \(4\times 2\) (donc 8 cubes) posé au fond. Troisième couche : une rangée de 4 cubes posée sur la deuxième couche (tout au fond).
Assemblage B
Base : carré \(4\times 4\) (16 cubes). Deuxième couche : 12 cubes (il manque 4 cubes aux coins). Troisième couche : 4 cubes (au centre, en carré \(2\times 2\)).
Correction détaillée
A) Par couches
Couche 1 : 12 cubes Couche 2 : 8 cubes Couche 3 : 4 cubes \[ V=12+8+4=24\ \text{cm}^3 \]
B) Par couches
Couche 1 : 16 cubes Couche 2 : 12 cubes Couche 3 : 4 cubes \[ V=16+12+4=32\ \text{cm}^3 \]
Piège : ici, \(4\times 4\times 3\) serait faux car le solide n’est pas complet.
Exercice 4 — Comparer des volumes (raisonnement dur)
Pour chaque situation, dire quel solide a le plus grand volume (ou s’ils sont égaux). Justifier avec un calcul.
  1. Solide A : bloc \(5\times 2\times 3\). Solide B : 2 couches de 14 cubes.
  2. Solide C : 30 cubes au total. Solide D : bloc \(4\times 3\times 2\).
  3. Solide E : 6 colonnes de hauteur 3 et 6 colonnes de hauteur 2. Solide F : 4 couches de 15 cubes.
Correction détaillée
1)
\(V_A=5\times 2\times 3=30\ \text{cm}^3\). \(V_B=2\times 14=28\ \text{cm}^3\). Donc \(V_A>V_B\).
2)
\(V_C=30\ \text{cm}^3\). \(V_D=4\times 3\times 2=24\ \text{cm}^3\). Donc \(V_C>V_D\).
3)
\(V_E=6\times 3 + 6\times 2=18+12=30\ \text{cm}^3\). \(V_F=4\times 15=60\ \text{cm}^3\). Donc \(V_F>V_E\).
Exercice 5 — Conversions de volume (dur)
Convertir. Rappel : volume → \(\times 1\,000\) par saut.
  1. \(2,5\ \text{dm}^3\) en \(\text{cm}^3\).
  2. \(9\,000\ \text{cm}^3\) en \(\text{dm}^3\).
  3. \(0,6\ \text{m}^3\) en \(\text{dm}^3\).
  4. \(1\,200\,000\ \text{cm}^3\) en \(\text{m}^3\).
Correction détaillée
  • 1) \(2,5\ \text{dm}^3 = 2,5\times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3\).
  • 2) \(9\,000\ \text{cm}^3 = 9\ \text{dm}^3\) (÷1 000).
  • 3) \(0,6\ \text{m}^3 = 0,6\times 1\,000 = 600\ \text{dm}^3\).
  • 4) \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3\) donc \(1\,200\,000\ \text{cm}^3 = 1,2\ \text{m}^3\).
Piège : \(\times 100\) c’est pour les aires, pas pour les volumes.
Exercice 6 — Problèmes (très dur)
Problème A — Compléter un bloc
On veut construire un bloc complet \(5\times 4\times 2\) avec des cubes unité. On a déjà placé 31 cubes. Combien de cubes manque-t-il ?
Problème B — “Ville” de cubes
Un assemblage est posé sur une base \(3\times 4\) (donc 12 emplacements au sol). Les hauteurs des 12 colonnes (en cubes) sont : \[ 3,\ 3,\ 2,\ 1,\quad 2,\ 2,\ 2,\ 1,\quad 1,\ 1,\ 1,\ 0 \] Calculer le volume.
Correction détaillée
A)
Volume du bloc complet : \[ V=5\times 4\times 2=40\ \text{cm}^3 \] Cubes manquants : \[ 40-31=9 \]
Réponse : 9 cubes
B)
On additionne les hauteurs : \[ V = (3+3+2+1) + (2+2+2+1) + (1+1+1+0) \] Calcul : \[ (9) + (7) + (3) = 19 \]
Réponse : \(19\ \text{cm}^3\)
Défi (bonus) — Cubes cachés
Un assemblage a une base \(4\times 3\) (donc 12 cubes au sol). La hauteur est de 2 cubes partout sauf sur 4 emplacements où la hauteur est 3 cubes. 1) Calculer le volume. 2) Justifier sans dessiner.
Correction
Si tout était de hauteur 2 : \(12\times 2 = 24\). Sur 4 emplacements, on ajoute 1 cube (car 3 au lieu de 2) : \(+4\). \[ V=24+4=28\ \text{cm}^3 \]
Réponse : \(28\ \text{cm}^3\)
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