Cours — Les volumes (6e)
Volume en \(\text{cm}^3\) • unité “cube” • comparer des volumes • compter dans des assemblages de cubes.
Objectif : mesurer “l’espace occupé” et savoir le calculer par comptage.
À retenir : le volume mesure une capacité d’espace (combien ça “remplit”).
Une unité de volume classique : \(\text{cm}^3\) (centimètre cube).
1) Volume : définition et unité
Le volume d’un solide est la mesure de l’espace occupé par ce solide.
On l’exprime en unités “au cube” : \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\), etc.
Pourquoi “au cube” ?
\(\text{cm}^3\) signifie : “un cube de côté 1 cm”.
Unité \(\text{cm}^3\) = volume d’un cube \(1\ \text{cm} \times 1\ \text{cm} \times 1\ \text{cm}\).
Piège : volume ≠ aire ≠ longueur.
Longueur : cm • Aire : \(\text{cm}^2\) • Volume : \(\text{cm}^3\).
2) Comparer des volumes
Pour comparer des volumes, il faut qu’ils soient exprimés dans la même unité
(par exemple tout en \(\text{cm}^3\)).
Comparer par comptage (6e)
En 6e, on compare souvent des volumes en comptant des cubes identiques.
Le volume est alors :
\[
V = \text{nombre de cubes} \times 1\ \text{cm}^3
\]
Donc le volume “en \(\text{cm}^3\)” est exactement le nombre de cubes.
Exemple
Solide A : 18 cubes. Solide B : 21 cubes.
\(V_A=18\ \text{cm}^3\), \(V_B=21\ \text{cm}^3\) donc \(V_B>V_A\).
Erreur fréquente
Ne pas confondre “plus haut” avec “plus grand volume”.
Un solide peut être plus haut mais moins “large”, donc avoir un volume plus petit.
3) Assemblages de cubes : compter efficacement
Un assemblage est souvent un “empilement” de cubes. Le but est de compter tous les cubes,
y compris ceux qu’on ne voit pas (cubes cachés derrière ou en dessous).
Méthode 1 — Compter par couches
- On imagine le solide posé sur une table.
- On compte la couche du bas (tous les cubes au sol).
- On compte la couche au-dessus, etc.
- On additionne.
\[
V = (\text{couche 1}) + (\text{couche 2}) + \cdots
\]
Méthode 2 — Compter par “colonnes”
On repère chaque “pile” (colonne) de cubes et on additionne les hauteurs :
\[
V = h_1 + h_2 + h_3 + \cdots
\]
Très utile quand le solide ressemble à une ville avec des tours de hauteurs différentes.
Piège : si on voit un “toit” de cubes, il peut y avoir des cubes cachés dessous.
Toujours vérifier le nombre de cubes au sol.
4) “Boîte” de cubes : compter par produit
Si un solide est un bloc complet (comme une boîte) construit avec des cubes identiques,
on peut compter plus vite :
Bloc complet (longueur × largeur × hauteur)
On compte :
- le nombre de cubes sur la longueur : \(L\)
- le nombre de cubes sur la largeur : \(l\)
- le nombre de cubes en hauteur : \(h\)
\[
V = L\times l \times h \ \ (\text{en nombre de cubes})
\]
Et si les cubes font \(1\ \text{cm}^3\), alors \(V\) est directement en \(\text{cm}^3\).
Exemple
Bloc de \(4\) cubes de long, \(3\) cubes de large et \(2\) cubes de haut.
\[
V = 4\times 3\times 2 = 24\ \text{cm}^3
\]
Quand ça marche ?
Cette méthode marche seulement si le solide est un bloc complet
(sans trou et sans cubes manquants).
5) Unités de volume (conversion simple)
Échelle des unités de volume
\[
\text{m}^3 \rightarrow \text{dm}^3 \rightarrow \text{cm}^3 \rightarrow \text{mm}^3
\]
Pour les volumes, chaque saut fait \(\times 1\,000\) (ou \(\div 1\,000\)).
Pourquoi \(\times 1\,000\) ?
\(1\ \text{dm}=10\ \text{cm}\). Donc :
\[
1\ \text{dm}^3 = (10\ \text{cm})^3 = 1\,000\ \text{cm}^3
\]
Conversions utiles
- \(1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3\)
- \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3\)
- Donc \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3\)
Exemple
\(2,5\ \text{dm}^3 = 2,5\times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3\).
Important : dans ce chapitre, on reste souvent en \(\text{cm}^3\) et on compare par comptage de cubes.
6) Problèmes : méthode en 4 étapes
- Identifier si on doit compter des cubes ou utiliser \(L\times l\times h\).
- Choisir la méthode : couches / colonnes / bloc complet.
- Calculer le nombre total de cubes.
- Conclure : volume en \(\text{cm}^3\) si chaque cube vaut \(1\ \text{cm}^3\).
Problème A (bloc complet)
Un assemblage forme un bloc complet de \(5\) cubes de long, \(2\) cubes de large, \(3\) cubes de haut.
Quel volume ?
\[
V=5\times 2\times 3=30\ \text{cm}^3
\]
Problème B (par couches)
Couche du bas : 12 cubes. Couche du haut : 7 cubes.
Quel volume ?
\[
V=12+7=19\ \text{cm}^3
\]
Contrôle : si tu enlèves 1 cube, le volume diminue de \(1\ \text{cm}^3\) (si cubes unité).
Synthèse — Checklist
- Volume = espace occupé. Unité : \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\), \(\text{m}^3\).
- \(1\ \text{cm}^3\) = cube de côté \(1\ \text{cm}\).
- Comparer des volumes : même unité, souvent comptage de cubes.
- Assemblage : compter par couches ou par colonnes (attention aux cubes cachés).
- Bloc complet : \(V=L\times l\times h\) (en nombre de cubes).
- Conversions volume : chaque saut d’unité fait \(\times 1\,000\) (ou \(\div 1\,000\)).
- \(1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3\).