Cours — Proportionnalité (6e) • Niveau dur
Reconnaître une situation de proportionnalité, utiliser un tableau, maîtriser le
retour à l’unité, résoudre des problèmes (prix, recettes, distances),
et comprendre les échelles (plans, cartes) sans se tromper.
Idée-clé : en proportionnalité, on multiplie (ou on divise) toujours par le même nombre.
Deux réflexes : (1) chercher le coefficient ; (2) vérifier avec un test simple.
Deux réflexes : (1) chercher le coefficient ; (2) vérifier avec un test simple.
1) Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant par un
coefficient constant \(k\).
\[
\text{Grandeur 2} = k \times \text{Grandeur 1}
\]
\(k\) s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemples (proportionnel)
- Prix = (prix au kg) × masse.
- Distance = vitesse × temps (si vitesse constante).
- Recette : quantité d’ingrédients proportionnelle au nombre de personnes.
- Échelle d’une carte : longueur sur la carte proportionnelle à la longueur réelle.
Contre-exemples (pas proportionnel)
- Taxi : prix = forfait + (prix par km) × distance.
- Température ressentie : pas une simple multiplication.
- Âge et taille : pas proportionnel.
Piège n°1 : dès qu’il y a un “forfait” (ajout), ce n’est généralement plus proportionnel.
2) Tableau de proportionnalité
Principe
On place les deux grandeurs sur deux lignes (ou deux colonnes).
Si c’est proportionnel, on peut passer d’une ligne à l’autre en multipliant par un même nombre \(k\).
Test rapide (niveau dur)
- Si \(\dfrac{\text{valeur 2}}{\text{valeur 1}}\) est le même pour plusieurs colonnes, alors c’est proportionnel.
- Si ce “rapport” change, ce n’est pas proportionnel.
Exemple : si \( \frac{12}{3}=4 \) et \( \frac{20}{5}=4 \) → même rapport 4 → proportionnel.
Piège n°2 : comparer des différences (“+2”, “+5”) ne suffit pas.
En proportionnalité, on regarde surtout les multiplications et les rapports.
3) Coefficient de proportionnalité \(k\)
Trouver \(k\)
Si \(\text{Grandeur 2} = k\times \text{Grandeur 1}\), alors :
\[
k=\frac{\text{Grandeur 2}}{\text{Grandeur 1}}
\]
Ex : 3 kg coûtent 12 € → \(k=\frac{12}{3}=4\) €/kg.
Utiliser \(k\)
Une fois \(k\) trouvé :
\[
\text{Grandeur 2}=k\times \text{Grandeur 1}
\]
et
\[
\text{Grandeur 1}=\frac{\text{Grandeur 2}}{k}
\]
Astuce : \(k\) porte une unité (€/kg, km/h, etc.).
4) Retour à l’unité (méthode sûre)
Pourquoi c’est puissant ?
Quand les nombres ne sont pas “jolis”, on calcule d’abord pour 1 unité, puis on multiplie.
Ça évite les erreurs.
Méthode en 2 étapes
- Étape 1 : trouver la valeur pour 1 (prix pour 1 kg, distance pour 1 h, recette pour 1 personne…).
- Étape 2 : multiplier par la quantité demandée.
Ex : 7 cahiers coûtent 17,50 € → 1 cahier coûte \(17{,}50 \div 7 = 2{,}50\) € → 3 cahiers coûtent \(3\times 2{,}50=7{,}50\) €.
Piège n°3 : oublier que “retour à l’unité” = une division, puis une multiplication.
5) Problèmes types (niveau dur) : réflexes
A) Prix (€/unité)
- Identifier l’unité : €/kg, €/L, €/article.
- Retour à l’unité si besoin.
- Vérifier : plus on achète, plus le prix augmente (si \(k>0\)).
B) Recettes
- On multiplie toutes les quantités par le même facteur.
- Facteur = \(\frac{\text{personnes demandées}}{\text{personnes de départ}}\).
- Attention aux unités (g ↔ kg ; mL ↔ L).
C) Distance – vitesse – temps (dur)
- Si vitesse constante : \(d=v\times t\).
- Mettre les unités au même format (h et min).
- Ne pas confondre : “par heure” = division/multiplication.
6) Échelles (cartes, plans) — niveau dur
Définition
Une échelle \(1 : n\) signifie :
\[
1\ \text{unité sur le plan} = n\ \text{unités en réel}
\]
Exemple : \(1:50\) → 1 cm sur le plan = 50 cm en vrai.
Aller du plan au réel
Multiplier par \(n\).
Ex : 4 cm au plan à l’échelle \(1:200\) : \[ 4\times 200 = 800\ \text{cm} = 8\ \text{m} \]
Ex : 4 cm au plan à l’échelle \(1:200\) : \[ 4\times 200 = 800\ \text{cm} = 8\ \text{m} \]
Aller du réel au plan
Diviser par \(n\).
Ex : 12 m réels à l’échelle \(1:200\) : \[ 12\ \text{m}=1200\ \text{cm},\quad 1200\div 200 = 6\ \text{cm} \]
Ex : 12 m réels à l’échelle \(1:200\) : \[ 12\ \text{m}=1200\ \text{cm},\quad 1200\div 200 = 6\ \text{cm} \]
Piège n°4 : oublier de convertir les unités (m en cm, km en cm…).
Toujours écrire la conversion avant de calculer.
7) Exemples guidés (niveau dur)
Exemple 1 — Tableau + coefficient
5 stylos coûtent 8 €. Combien coûtent 12 stylos ?
Solution
Retour à l’unité : 1 stylo coûte \(8\div 5 = 1{,}6\) €.
Donc 12 stylos coûtent \(12\times 1{,}6 = 19{,}2\) €.
Exemple 2 — Recette
Une recette pour 4 personnes utilise 300 g de farine.
Pour 6 personnes ?
Solution
Facteur \(=\frac{6}{4}=1{,}5\).
Farine \(=300\times 1{,}5 = 450\) g.
Exemple 3 — Échelle
Sur un plan à l’échelle \(1:250\), une longueur mesure 3,2 cm.
Quelle longueur réelle ?
Solution
Réel \(=3{,}2\times 250=800\) cm \(=8\) m.
Exemple 4 — Test de proportionnalité
Tableau : (2 → 7), (6 → 21), (10 → 33).
Est-ce proportionnel ?
Solution
Rapports :
\[
\frac{7}{2}=3{,}5,\quad \frac{21}{6}=3{,}5,\quad \frac{33}{10}=3{,}3
\]
Le rapport change → pas proportionnel.
Synthèse — Checklist proportionnalité
- Je sais reconnaître une situation proportionnelle (coefficient constant, pas de forfait).
- Je sais utiliser un tableau de proportionnalité.
- Je sais trouver le coefficient \(k=\frac{\text{ligne 2}}{\text{ligne 1}}\) (avec unité).
- Je maîtrise le retour à l’unité (division puis multiplication).
- Je sais résoudre des problèmes (prix, recette, distance) avec des unités cohérentes.
- Échelle \(1:n\) : plan → réel (×\(n\)), réel → plan (÷\(n\)), conversions d’unités obligatoires.