Fiche de révision — Probabilités (6e) • Niveau dur
Événements, univers \(\Omega\), échelle 0→1, équiprobabilité, calcul “favorables / total”,
contraire \(1-P\), tableaux/arbre simple pour ne rien oublier. Pièges inclus.
1) Vocabulaire indispensable
Expérience aléatoire
Action dont le résultat dépend du hasard (dé, pièce, roue, tirage).
Issue
Un résultat possible (ex : “obtenir 4” au dé).
Univers \(\Omega\)
Ensemble de toutes les issues possibles.
Événement
Ensemble d’issues (ex : “pair” = \(\{2,4,6\}\)).
Événement favorable
Issue qui fait “réussir” l’événement demandé.
Piège n°1 : une “issue” = un résultat précis ; un “événement” regroupe souvent plusieurs issues.
2) Échelle des probabilités (0 à 1)
Règle générale
\[
0 \le P(A) \le 1
\]
Une probabilité n’est jamais négative et ne dépasse jamais 1.
Impossible
\[
P(A)=0
\]
Ex : obtenir 7 au dé (dé classique).
Certain
\[
P(A)=1
\]
Ex : obtenir un nombre entre 1 et 6 au dé.
Conversion en %
\[
p\% = P(A)\times 100
\]
Ex : \(P=0{,}3\) ↔ 30%.
Piège n°2 : 50% = 0,5 (et pas 0,50 “élèves” : c’est une proportion).
3) Équiprobabilité (très important)
Quand peut-on l’utiliser ?
- Dé équilibré, pièce équilibrée, roue bien répartie, tirage “au hasard” dans une urne mélangée.
- Toutes les issues ont la même chance.
Formule
\[
P(A)=\frac{n}{N}
\]
\(N\) = nombre total d’issues ; \(n\) = nombre d’issues favorables.
Piège n°3 : utiliser \(\frac{n}{N}\) alors que ce n’est pas équiprobable (roue mal répartie, tirage non équilibré…).
4) Événement contraire (outil dur à maîtriser)
Définition
Le contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), signifie “\(A\) ne se produit pas”.
Formule
\[
P(\overline{A})=1-P(A)
\]
Très utile quand “ne pas” est plus facile à compter.
Ex : “ne pas obtenir 6” au dé :
\(P(\overline{6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).
5) Méthode type (niveau dur)
- Écrire l’univers \(\Omega\) (liste complète des issues).
- Dire si on est en équiprobabilité (oui/non).
- Définir l’événement \(A\) et lister les issues favorables.
- Compter \(n\) (favorables) et \(N\) (total).
- Calculer \(P(A)=\frac{n}{N}\) (simplifier si possible).
- Contrôler : \(0\le P(A)\le 1\) et cohérence (“plus/moins probable”).
Piège n°4 : oublier des issues (univers incomplet) ou compter deux fois la même issue.
6) Deux étapes : tableau / arbre (niveau dur)
Quand on enchaîne deux choix
Exemple : “pièce puis dé”.
On doit compter toutes les combinaisons possibles pour éviter les oublis.
- Tableau : lignes = choix 1 ; colonnes = choix 2.
- Arbre : branches = choix successifs ; chaque chemin = une issue.
Si tout est possible et équiprobable : total = (nombre de choix 1) × (nombre de choix 2).
7) Mini-exemples flash (dur)
Exemple 1 — Dé
\(A\) : “obtenir un multiple de 3”.
\[
A=\{3,6\}\Rightarrow P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
Exemple 2 — Contraire
“Ne pas obtenir 1” au dé.
\[
P(\overline{1})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
\]
Exemple 3 — Urne
Urne : 4 rouges, 1 bleue. \(P(\text{bleue})\) ?
\[
P=\frac{1}{5}=0{,}2=20\%
\]
Exemple 4 — Pièce + dé
\(A\) : “Pile et nombre pair”.
\[
N=2\times 6=12,\ n=3 \Rightarrow P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}
\]
8) Pièges classiques (à éviter)
- Confondre issue et événement.
- Oublier de vérifier l’équiprobabilité.
- Univers \(\Omega\) incomplet (il manque des issues).
- Probabilité > 1 ou négative (impossible).
- Sur deux étapes : oublier des combinaisons (ne pas faire tableau/arbre).
- Oublier le contrôle final (ordre de grandeur, cohérence).
Checklist finale (avant contrôle)
- Je sais écrire \(\Omega\) et définir un événement \(A\).
- Je sais que \(0 \le P(A)\le 1\) (0 impossible, 1 certain).
- En équiprobabilité : \(P(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{total}}\).
- Je sais utiliser \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
- Je sais compter sans oublier grâce à un tableau ou un arbre simple.
- Je vérifie la cohérence de mon résultat.