Cours — Probabilités (6e) • Niveau dur
Comprendre ce qu’est une probabilité, distinguer issue / événement,
utiliser l’échelle de 0 à 1, travailler en situation d’équiprobabilité,
et résoudre des problèmes avec un raisonnement propre (liste, tableau, arbre simple).
Idée-clé : une probabilité n’est pas une “prédiction sûre”, c’est une mesure du hasard.
Deux outils : (1) compter correctement, (2) vérifier que le total vaut 1.
1) Vocabulaire indispensable
Expérience aléatoire
Action dont le résultat dépend du hasard (lancer un dé, tirer une carte, tourner une roue).
Issue
Résultat possible de l’expérience (ex : “obtenir 4” sur un dé).
L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers.
Univers (souvent noté \(\Omega\))
Ensemble de toutes les issues possibles.
Exemple : pour un dé : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
Événement
Ensemble d’issues (ex : “obtenir un nombre pair” = \(\{2,4,6\}\)).
Piège n°1 : “événement” = souvent plusieurs issues, pas une seule.
2) Échelle des probabilités (de 0 à 1)
Définition
La probabilité d’un événement \(A\) est un nombre \(P(A)\) compris entre 0 et 1 :
\[
0 \le P(A) \le 1
\]
Événement impossible
\[
P(A)=0
\]
Ex : obtenir 7 avec un dé classique.
Événement certain
\[
P(A)=1
\]
Ex : obtenir un nombre entre 1 et 6 avec un dé.
Événement “plus ou moins probable”
Plus \(P(A)\) est proche de 1, plus l’événement est probable.
Plus \(P(A)\) est proche de 0, moins il est probable.
Écriture en % : \(P(A)=0{,}25\) correspond à 25%.
Conversion : \(p\% = P(A)\times 100\).
3) Équiprobabilité (cas “toutes les issues ont la même chance”)
Définition
On est en situation d’équiprobabilité si toutes les issues de \(\Omega\) sont “aussi probables”.
Exemple : dé équilibré, pièce équilibrée, roue bien répartie, tirage au hasard dans une urne “mélangée”.
Formule
Si \(\Omega\) a \(N\) issues équiprobables et si l’événement \(A\) contient \(n\) issues favorables :
\[
P(A)=\frac{n}{N}
\]
À retenir : “favorable / total”.
Piège n°2 (très fréquent) : oublier de vérifier l’équiprobabilité !
Si les issues ne sont pas équitables, \(\frac{n}{N}\) peut être faux.
4) Événement contraire (très utile)
Définition
L’événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est : “\(A\) ne se produit pas”.
Formule
\[
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
\]
Très pratique quand “ne pas” est plus facile à compter.
Ex : “ne pas obtenir 6” sur un dé : \(P(\overline{6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).
5) Méthode (niveau dur) : comment ne pas se tromper
Étapes
- Décrire l’expérience et écrire l’univers \(\Omega\).
- Vérifier si on est en équiprobabilité (oui/non).
- Définir clairement l’événement \(A\) (liste des issues favorables).
- Compter \(n\) (favorables) et \(N\) (total) si équiprobabilité.
- Calculer \(P(A)=\frac{n}{N}\), simplifier si possible.
- Faire un contrôle : \(0\le P(A)\le 1\) et cohérence (plus/moins probable).
Piège n°3 : compter deux fois la même issue, ou oublier une issue (univers incomplet).
6) Lister les issues : tableau et arbre (dur)
Quand on fait deux choix successifs
Exemple : “tirer une couleur (R ou B) puis un nombre (1,2,3)”.
Pour compter sans oublier :
- Faire un tableau à double entrée (couleurs × nombres).
- Ou faire un arbre (branches) et compter les chemins.
Dans un tableau “\(a\) choix” × “\(b\) choix” → total \(a\times b\) issues (si chaque combinaison est possible).
7) Exemples guidés (niveau dur)
Exemple A — Dé équilibré
Événement \(A\) : “obtenir un nombre pair”.
\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
Solution
Favorables : \(\{2,4,6\}\) donc \(n=3\), total \(N=6\).
\[
P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\]
Exemple B — Contraire (plus rapide)
Événement \(B\) : “ne pas obtenir 6” au dé.
Solution
\(P(6)=\frac{1}{6}\) donc
\[
P(\overline{6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
\]
Exemple C — Urne (équiprobable)
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues.
On tire une boule au hasard. Probabilité d’obtenir rouge ?
Solution
Total \(N=5\), favorables \(n=3\).
\[
P(\text{rouge})=\frac{3}{5}=0{,}6
\]
Exemple D — Deux choix (tableau)
On lance une pièce (Pile/Face) puis un dé (1 à 6).
Probabilité d’obtenir “Pile et un nombre ≥ 5” ?
Solution
Total issues : \(2\times 6=12\).
Favorables : Pile avec 5 ou 6 → 2 issues.
\[
P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}
\]
Synthèse — Checklist probabilités (6e)
- Je sais définir : issue, univers \(\Omega\), événement.
- Je sais que \(0\le P(A)\le 1\) (impossible : 0, certain : 1).
- En équiprobabilité : \(P(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{total}}\).
- Je sais utiliser le contraire : \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
- Je sais lister les issues (liste, tableau, arbre simple) sans en oublier.
- Je fais un contrôle de cohérence (valeur entre 0 et 1, somme possible).