Exercices — Probabilités (6e) • Niveau dur
Issues / événements • univers \(\Omega\) • échelle 0→1 • conversions • équiprobabilité
• contraire \(1-P\) • 2 étapes (tableau/arbre) • pièges de comptage.
Corrigés détaillés (afficher/masquer).
Rappels express
- \(\Omega\) : univers = toutes les issues possibles.
- Événement \(A\) : ensemble d’issues.
- \(0 \le P(A) \le 1\).
- Si équiprobable : \(P(A)=\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}\).
- Contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
- Deux étapes : faire un tableau ou un arbre pour ne rien oublier.
Exercice 1 — Vocabulaire : issues, événement, univers
On lance un dé équilibré.
1) Écrire l’univers \(\Omega\). 2) Écrire l’événement \(A\) : “obtenir un nombre supérieur ou égal à 4”. 3) Combien d’issues contient \(A\) ?
1) Écrire l’univers \(\Omega\). 2) Écrire l’événement \(A\) : “obtenir un nombre supérieur ou égal à 4”. 3) Combien d’issues contient \(A\) ?
Correction détaillée
1) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
2) \(A=\{4,5,6\}\).
3) \(A\) contient 3 issues.
2) \(A=\{4,5,6\}\).
3) \(A\) contient 3 issues.
Exercice 2 — Échelle 0→1 et conversions
1) Convertir en pourcentage : \(0{,}08\), \(0{,}6\), \(1\).
2) Convertir en probabilité : 35%, 2%, 120%.
2) Convertir en probabilité : 35%, 2%, 120%.
Correction
1) Probabilité → %
\(0{,}08 = 8\%\).
\(0{,}6 = 60\%\).
\(1 = 100\%\).
\(0{,}6 = 60\%\).
\(1 = 100\%\).
2) % → probabilité
35% → \(0{,}35\).
2% → \(0{,}02\).
120% → \(1{,}2\) : impossible (car \(P\le 1\)).
2% → \(0{,}02\).
120% → \(1{,}2\) : impossible (car \(P\le 1\)).
Exercice 3 — Dé : calculs (dur)
Dé équilibré.
1) \(P(\text{obtenir un multiple de 3})\).
2) \(P(\text{obtenir un nombre impair})\).
3) \(P(\text{obtenir }1\text{ ou }2)\).
1) \(P(\text{obtenir un multiple de 3})\).
2) \(P(\text{obtenir un nombre impair})\).
3) \(P(\text{obtenir }1\text{ ou }2)\).
Correction détaillée
Total \(N=6\).
1) Multiples de 3 : \(\{3,6\}\) → \(n=2\).
\[
P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
2) Impairs : \(\{1,3,5\}\) → \(n=3\).
\[
P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\]
3) \(\{1,2\}\) → \(n=2\).
\[
P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
Exercice 4 — Utiliser l’événement contraire
On lance un dé équilibré.
1) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir 6})\) en utilisant le contraire.
2) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir un nombre pair})\) en utilisant le contraire.
1) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir 6})\) en utilisant le contraire.
2) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir un nombre pair})\) en utilisant le contraire.
Correction
1) \(P(6)=\frac{1}{6}\) donc
\[
P(\overline{6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
\]
2) \(P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) donc
\[
P(\text{non pair})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\]
(non pair = impair)
Exercice 5 — Urne (dur)
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes.
On tire une boule au hasard.
1) Écrire \(N\), le nombre total de boules. 2) Calculer \(P(\text{bleue})\). 3) Calculer \(P(\text{rouge ou verte})\). 4) Calculer \(P(\text{non rouge})\) de deux façons.
1) Écrire \(N\), le nombre total de boules. 2) Calculer \(P(\text{bleue})\). 3) Calculer \(P(\text{rouge ou verte})\). 4) Calculer \(P(\text{non rouge})\) de deux façons.
Correction détaillée
1) \(N=5+3+2=10\).
2) \(P(\text{bleue})=\frac{3}{10}=0{,}3\).
3) Rouge ou verte : \(5+2=7\) favorables :
\[
P=\frac{7}{10}=0{,}7
\]
4) Non rouge :
- Direct : bleue ou verte = \(3+2=5\) → \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).
- Contraire : \(1-P(\text{rouge})=1-\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).
Exercice 6 — Deux étapes : pièce puis dé (tableau)
On lance une pièce équilibrée (Pile/Face) puis un dé équilibré (1 à 6).
1) Combien d’issues au total ? 2) Calculer \(P(\text{Pile et }6)\). 3) Calculer \(P(\text{Face et un nombre pair})\). 4) Calculer \(P(\text{obtenir Pile ou 6})\) (attention au piège “ou”).
1) Combien d’issues au total ? 2) Calculer \(P(\text{Pile et }6)\). 3) Calculer \(P(\text{Face et un nombre pair})\). 4) Calculer \(P(\text{obtenir Pile ou 6})\) (attention au piège “ou”).
Correction détaillée
1) Total : \(2\times 6 = 12\) issues.
2) (Pile,6) : 1 issue favorable :
\[
P=\frac{1}{12}
\]
3) Face et pair : pairs \(\{2,4,6\}\) → 3 issues :
\[
P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}
\]
4) “Pile ou 6” :
- Pile : 6 issues → \(\frac{6}{12}\).
- 6 : 2 issues (Pile,6) et (Face,6) → \(\frac{2}{12}\).
- Piège : (Pile,6) est compté deux fois si on additionne sans réfléchir.
Exercice 7 — “ou” et “et” : pièges (dur)
On lance un dé.
1) Écrire les issues de l’événement \(A\) : “obtenir 1 ou 2”.
2) Écrire les issues de l’événement \(B\) : “obtenir 1 et 2”.
3) En déduire \(P(B)\).
1) Écrire les issues de l’événement \(A\) : “obtenir 1 ou 2”.
2) Écrire les issues de l’événement \(B\) : “obtenir 1 et 2”.
3) En déduire \(P(B)\).
Correction
1) \(A=\{1,2\}\).
2) “1 et 2 en même temps” sur un seul lancer : impossible → \(B=\varnothing\).
3) \(P(B)=0\).
Défi bonus (très dur) — Construire un événement à partir d’une probabilité
On lance un dé équilibré.
1) Donner un événement \(A\) tel que \(P(A)=\frac{2}{6}\). 2) Donner un événement \(B\) tel que \(P(B)=\frac{4}{6}\). 3) Donner un événement \(C\) tel que \(P(C)=0\). 4) Donner un événement \(D\) tel que \(P(D)=1\).
(Il y a plusieurs réponses possibles.)
1) Donner un événement \(A\) tel que \(P(A)=\frac{2}{6}\). 2) Donner un événement \(B\) tel que \(P(B)=\frac{4}{6}\). 3) Donner un événement \(C\) tel que \(P(C)=0\). 4) Donner un événement \(D\) tel que \(P(D)=1\).
(Il y a plusieurs réponses possibles.)
Correction (exemples de réponses)
1) \(A=\{1,2\}\) ou \(A=\{3,6\}\) (2 issues sur 6).
2) \(B=\{1,2,3,4\}\) (4 issues sur 6).
3) \(C=\varnothing\) (événement impossible) ou “obtenir 7”.
4) \(D=\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) (événement certain).
2) \(B=\{1,2,3,4\}\) (4 issues sur 6).
3) \(C=\varnothing\) (événement impossible) ou “obtenir 7”.
4) \(D=\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) (événement certain).