Exercices corrigés — Probabilités (6e)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 6ème sur Probabilités. Tu vas t’entraîner sur événements, arbres de probabilités, fréquences, calculs de chances avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Exercices — Probabilités (6e) • Niveau dur
Issues / événements • univers \(\Omega\) • échelle 0→1 • conversions • équiprobabilité
• contraire \(1-P\) • 2 étapes (tableau/arbre) • pièges de comptage.
Corrigés détaillés (afficher/masquer).
Rappels express
- \(\Omega\) : univers = toutes les issues possibles.
- Événement \(A\) : ensemble d’issues.
- \(0 \le P(A) \le 1\).
- Si équiprobable : \(P(A)=\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}\).
- Contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
- Deux étapes : faire un tableau ou un arbre pour ne rien oublier.
Exercice 1 — Vocabulaire : issues, événement, univers
On lance un dé équilibré.
1) Écrire l’univers \(\Omega\). 2) Écrire l’événement \(A\) : “obtenir un nombre supérieur ou égal à 4”. 3) Combien d’issues contient \(A\) ?
1) Écrire l’univers \(\Omega\). 2) Écrire l’événement \(A\) : “obtenir un nombre supérieur ou égal à 4”. 3) Combien d’issues contient \(A\) ?
Correction détaillée
1) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
2) \(A=\{4,5,6\}\).
3) \(A\) contient 3 issues.
2) \(A=\{4,5,6\}\).
3) \(A\) contient 3 issues.
Exercice 2 — Échelle 0→1 et conversions
1) Convertir en pourcentage : \(0{,}08\), \(0{,}6\), \(1\).
2) Convertir en probabilité : 35%, 2%, 120%.
2) Convertir en probabilité : 35%, 2%, 120%.
Correction
1) Probabilité → %
\(0{,}08 = 8\%\).
\(0{,}6 = 60\%\).
\(1 = 100\%\).
\(0{,}6 = 60\%\).
\(1 = 100\%\).
2) % → probabilité
35% → \(0{,}35\).
2% → \(0{,}02\).
120% → \(1{,}2\) : impossible (car \(P\le 1\)).
2% → \(0{,}02\).
120% → \(1{,}2\) : impossible (car \(P\le 1\)).
Exercice 3 — Dé : calculs (dur)
Dé équilibré.
1) \(P(\text{obtenir un multiple de 3})\).
2) \(P(\text{obtenir un nombre impair})\).
3) \(P(\text{obtenir }1\text{ ou }2)\).
1) \(P(\text{obtenir un multiple de 3})\).
2) \(P(\text{obtenir un nombre impair})\).
3) \(P(\text{obtenir }1\text{ ou }2)\).
Correction détaillée
Total \(N=6\).
1) Multiples de 3 : \(\{3,6\}\) → \(n=2\).
\[
P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
2) Impairs : \(\{1,3,5\}\) → \(n=3\).
\[
P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\]
3) \(\{1,2\}\) → \(n=2\).
\[
P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
Exercice 4 — Utiliser l’événement contraire
On lance un dé équilibré.
1) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir 6})\) en utilisant le contraire.
2) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir un nombre pair})\) en utilisant le contraire.
1) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir 6})\) en utilisant le contraire.
2) Calculer \(P(\text{ne pas obtenir un nombre pair})\) en utilisant le contraire.
Correction
1) \(P(6)=\frac{1}{6}\) donc
\[
P(\overline{6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
\]
2) \(P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) donc
\[
P(\text{non pair})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\]
(non pair = impair)
Exercice 5 — Urne (dur)
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes.
On tire une boule au hasard.
1) Écrire \(N\), le nombre total de boules. 2) Calculer \(P(\text{bleue})\). 3) Calculer \(P(\text{rouge ou verte})\). 4) Calculer \(P(\text{non rouge})\) de deux façons.
1) Écrire \(N\), le nombre total de boules. 2) Calculer \(P(\text{bleue})\). 3) Calculer \(P(\text{rouge ou verte})\). 4) Calculer \(P(\text{non rouge})\) de deux façons.
Correction détaillée
1) \(N=5+3+2=10\).
2) \(P(\text{bleue})=\frac{3}{10}=0{,}3\).
3) Rouge ou verte : \(5+2=7\) favorables :
\[
P=\frac{7}{10}=0{,}7
\]
4) Non rouge :
- Direct : bleue ou verte = \(3+2=5\) → \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).
- Contraire : \(1-P(\text{rouge})=1-\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).
Exercice 6 — Deux étapes : pièce puis dé (tableau)
On lance une pièce équilibrée (Pile/Face) puis un dé équilibré (1 à 6).
1) Combien d’issues au total ? 2) Calculer \(P(\text{Pile et }6)\). 3) Calculer \(P(\text{Face et un nombre pair})\). 4) Calculer \(P(\text{obtenir Pile ou 6})\) (attention au piège “ou”).
1) Combien d’issues au total ? 2) Calculer \(P(\text{Pile et }6)\). 3) Calculer \(P(\text{Face et un nombre pair})\). 4) Calculer \(P(\text{obtenir Pile ou 6})\) (attention au piège “ou”).
Correction détaillée
1) Total : \(2\times 6 = 12\) issues.
2) (Pile,6) : 1 issue favorable :
\[
P=\frac{1}{12}
\]
3) Face et pair : pairs \(\{2,4,6\}\) → 3 issues :
\[
P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}
\]
4) “Pile ou 6” :
- Pile : 6 issues → \(\frac{6}{12}\).
- 6 : 2 issues (Pile,6) et (Face,6) → \(\frac{2}{12}\).
- Piège : (Pile,6) est compté deux fois si on additionne sans réfléchir.
Exercice 7 — “ou” et “et” : pièges (dur)
On lance un dé.
1) Écrire les issues de l’événement \(A\) : “obtenir 1 ou 2”.
2) Écrire les issues de l’événement \(B\) : “obtenir 1 et 2”.
3) En déduire \(P(B)\).
1) Écrire les issues de l’événement \(A\) : “obtenir 1 ou 2”.
2) Écrire les issues de l’événement \(B\) : “obtenir 1 et 2”.
3) En déduire \(P(B)\).
Correction
1) \(A=\{1,2\}\).
2) “1 et 2 en même temps” sur un seul lancer : impossible → \(B=\varnothing\).
3) \(P(B)=0\).
Défi bonus (très dur) — Construire un événement à partir d’une probabilité
On lance un dé équilibré.
1) Donner un événement \(A\) tel que \(P(A)=\frac{2}{6}\). 2) Donner un événement \(B\) tel que \(P(B)=\frac{4}{6}\). 3) Donner un événement \(C\) tel que \(P(C)=0\). 4) Donner un événement \(D\) tel que \(P(D)=1\).
(Il y a plusieurs réponses possibles.)
1) Donner un événement \(A\) tel que \(P(A)=\frac{2}{6}\). 2) Donner un événement \(B\) tel que \(P(B)=\frac{4}{6}\). 3) Donner un événement \(C\) tel que \(P(C)=0\). 4) Donner un événement \(D\) tel que \(P(D)=1\).
(Il y a plusieurs réponses possibles.)
Correction (exemples de réponses)
1) \(A=\{1,2\}\) ou \(A=\{3,6\}\) (2 issues sur 6).
2) \(B=\{1,2,3,4\}\) (4 issues sur 6).
3) \(C=\varnothing\) (événement impossible) ou “obtenir 7”.
4) \(D=\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) (événement certain).
2) \(B=\{1,2,3,4\}\) (4 issues sur 6).
3) \(C=\varnothing\) (événement impossible) ou “obtenir 7”.
4) \(D=\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) (événement certain).
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