Fiche de révision — Les fractions (6e)
Sens quotient • fraction opérateur • comparer des fractions • opérations.
Fiche complète : règles + méthodes + exemples + pièges.
1) Définition et vocabulaire
Une fraction s’écrit \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\).
- Numérateur : \(a\) (en haut)
- Dénominateur : \(b\) (en bas)
Idée clé : une fraction est un nombre. Elle se place sur une droite graduée
et peut parfois s’écrire en décimal.
2) Les 2 sens incontournables
Sens “part d’un tout”
\(\dfrac{a}{b}\) : on coupe le tout en b parts égales et on prend a parts.
Dénominateur = nombre de parts égales.
Numérateur = nombre de parts prises.
Exemple : \(\dfrac{3}{8}\) = 3 parts quand on a découpé en 8.
Sens quotient
\[
\dfrac{a}{b} = a \div b
\]
La fraction est le résultat d’une division.
Ex : \(\dfrac{1}{2} = 0,5\) ; \(\dfrac{3}{4} = 0,75\) ; \(\dfrac{5}{2} = 2,5\).
Fractions > 1 : si \(a > b\), alors \(\dfrac{a}{b} > 1\).
Exemple : \(\dfrac{9}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}\).
3) Fractions équivalentes (même valeur)
Règle
Multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul
ne change pas la fraction.
\[
\dfrac{a}{b} = \dfrac{a\times k}{b\times k} \quad (k \neq 0)
\]
Amplifier (×)
- \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\) (×2)
- \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}\) (×4)
Simplifier (÷)
- \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) (÷2)
- \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\) (÷6)
Conseil : simplifier rend les comparaisons et les calculs plus simples.
4) Fraction opérateur : “\(\dfrac{a}{b}\) de …”
Méthode officielle
Pour calculer \(\dfrac{a}{b}\) d’une quantité \(Q\) :
\[
\dfrac{a}{b}\text{ de }Q = (Q \div b)\times a
\]
On divise d’abord par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
Exemple 1
\(\dfrac{3}{5}\) de 40
\(40 \div 5 = 8\) puis \(8 \times 3 = 24\)
\(\dfrac{3}{5}\) de 40 = 24
Exemple 2
\(\dfrac{2}{3}\) de 90
\(90 \div 3 = 30\) puis \(30 \times 2 = 60\)
\(\dfrac{2}{3}\) de 90 = 60
Piège : on ne divise pas par le numérateur. L’ordre est : \(\div b\) puis \(\times a\).
5) Comparer des fractions (méthodes rapides)
Méthode A — Même dénominateur
On compare les numérateurs :
\[
\dfrac{a}{b} \;\text{et}\; \dfrac{c}{b}
\Rightarrow a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}
\]
Ex : \(\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}\).
Méthode B — Même numérateur
Le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction :
\[
b < d \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{a}{d}
\]
Ex : \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{7}\).
Méthode C — Même dénominateur (équivalences)
On transforme pour obtenir le même dénominateur, puis on compare.
\[
\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15},\quad
\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}
\Rightarrow \dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}
\]
Astuce “demi” : \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{1}{2}\) si \(2a > b\).
Ex : \(\dfrac{3}{5}\) : \(2\times3=6 > 5\) donc \(3/5 > 1/2\).
6) Opérations sur les fractions (6e)
Addition / soustraction (même dénominateur)
\[
\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}
\qquad
\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}
\]
Exemple : \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\).
Dénominateurs différents : méthode
1) Mettre au même dénominateur
2) Calculer
3) Simplifier si possible
\[
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}
= \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6}
= \dfrac{3}{6}
= \dfrac{1}{2}
\]
Multiplier une fraction par un entier
\[
k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k\times a}{b}
\]
Exemple : \(3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5} = 1 + \dfrac{1}{5}\).
Piège : on n’additionne jamais les dénominateurs !
Exemple faux : \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\).
7) Checklist + pièges (à relire avant contrôle)
Checklist
- Je sais que \(\dfrac{a}{b} = a \div b\).
- Je sais simplifier / amplifier.
- Je sais calculer \(\dfrac{a}{b}\) de \(Q\).
- Je sais comparer avec un même dénominateur.
- Je sais additionner/soustraire après mise au même dénominateur.
Pièges
- \(\dfrac{a}{b}\) n’est pas “\(a \div b\)” puis “on oublie” : c’est un nombre.
- “Même numérateur” : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.
- Ne jamais faire : \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\) (c’est faux).
- Fraction opérateur : \(\div b\) puis \(\times a\) (ordre important).
Phrase clé : “Je mets au même dénominateur, puis je calcule, puis je simplifie.”
Mini-quiz express (révision rapide)
Q1
Calculer \(\dfrac{3}{5}\) de 40.
Voir la réponse
\(40 \div 5 = 8\) puis \(8 \times 3 = 24\). Donc \(3/5\) de 40 = 24.
Q2
Comparer \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{5}\).
Voir la réponse
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}\), \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{15}\) donc \(\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}\).
Q3
Calculer \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}\).
Voir la réponse
\(\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}\).
Q4
Donner une fraction équivalente à \(\dfrac{3}{4}\) avec dénominateur 12.
Voir la réponse
\(\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}\) (×3 en haut et en bas).