Fractions
6EME • MATHS — Learna
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Exercices — Les fractions (6e) • Niveau difficile
Série complète : sens quotient • fraction opérateur • comparaisons pièges • opérations. Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
  • Sens quotient : \(\dfrac{a}{b} = a \div b\).
  • Fraction opérateur : \(\dfrac{a}{b}\) de \(Q\) = \((Q \div b)\times a\).
  • Comparer : même dénominateur / même numérateur / mise au même dénominateur.
  • Opérations : on met au même dénominateur avant d’additionner/soustraire. On simplifie à la fin.
Exercice 1 — Sens quotient (vrai/faux + justification)
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifier par une phrase ou un calcul.
  1. \(\dfrac{7}{4}\) signifie “7 partagé en 4 parts égales”.
  2. \(\dfrac{7}{4}\) est plus petit que 1.
  3. \(\dfrac{12}{3}\) est un entier.
  4. \(\dfrac{1}{8}\) est plus grand que \(\dfrac{1}{6}\).
Correction détaillée
  • 1) Vrai. \(\dfrac{7}{4} = 7 \div 4\) correspond bien à un partage / quotient.
  • 2) Faux. \(\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4} > 1\).
  • 3) Vrai. \(\dfrac{12}{3} = 12 \div 3 = 4\), c’est un entier.
  • 4) Faux. Même numérateur : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. Or \(8 > 6\), donc \(\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{6}\).
Exercice 2 — Fractions équivalentes (difficile)
Compléter pour obtenir une fraction équivalente, puis simplifier au maximum quand c’est possible.
  1. \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\,\dots\,}{20}\)
  2. \(\dfrac{7}{12} = \dfrac{35}{\,\dots\,}\)
  3. \(\dfrac{18}{24}\) simplifier au maximum
  4. \(\dfrac{45}{60}\) simplifier au maximum
  5. \(\dfrac{8}{6}\) simplifier et écrire sous la forme “entier + fraction”
Correction détaillée
  • 1) Pour passer de 5 à 20, on multiplie par 4 : \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{20}\).
  • 2) Pour passer de 7 à 35, on multiplie par 5 : dénominateur \(12\times 5=60\), donc \(\dfrac{7}{12}=\dfrac{35}{60}\).
  • 3) \(\dfrac{18}{24}\) : on divise par 6 → \(\dfrac{3}{4}\).
  • 4) \(\dfrac{45}{60}\) : on divise par 15 → \(\dfrac{3}{4}\).
  • 5) \(\dfrac{8}{6}\) : diviser par 2 → \(\dfrac{4}{3}\) puis \(\dfrac{4}{3}=1+\dfrac{1}{3}\).
Exercice 3 — Fraction opérateur (quantités)
Calculer. On attend une méthode claire : \((Q \div b)\times a\).
  1. \(\dfrac{3}{8}\) de 64
  2. \(\dfrac{5}{6}\) de 72
  3. \(\dfrac{7}{10}\) de 250
  4. \(\dfrac{4}{9}\) de 99
  5. \(\dfrac{11}{12}\) de 96
Correction détaillée
  • 1) \(64 \div 8 = 8\), puis \(8\times 3 = 24\) → 24
  • 2) \(72 \div 6 = 12\), puis \(12\times 5 = 60\) → 60
  • 3) \(250 \div 10 = 25\), puis \(25\times 7 = 175\) → 175
  • 4) \(99 \div 9 = 11\), puis \(11\times 4 = 44\) → 44
  • 5) \(96 \div 12 = 8\), puis \(8\times 11 = 88\) → 88
Réflexe : si \(Q\) n’est pas divisible par \(b\), on ne peut pas appliquer la méthode “6e” directement (on choisira alors une autre écriture).
Exercice 4 — Comparer des fractions (pièges)
Comparer (mettre <, > ou =) en justifiant par une méthode adaptée.
  1. \(\dfrac{7}{9}\) … \(\dfrac{7}{10}\)
  2. \(\dfrac{5}{8}\) … \(\dfrac{3}{5}\)
  3. \(\dfrac{11}{12}\) … \(\dfrac{9}{10}\)
  4. \(\dfrac{4}{6}\) … \(\dfrac{2}{3}\)
  5. \(\dfrac{13}{20}\) … \(\dfrac{2}{3}\)
  6. \(\dfrac{5}{12}\) … \(\dfrac{7}{18}\)
Correction détaillée
1) Même numérateur
Même numérateur 7 : plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande. Or \(9 < 10\) donc \(\dfrac{7}{9} > \dfrac{7}{10}\).
2) Mise au même dénominateur
\(\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{40}\) et \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{24}{40}\) donc \(\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{5}\).
3) Astuce “proche de 1”
\(\dfrac{11}{12}=1-\dfrac{1}{12}\) et \(\dfrac{9}{10}=1-\dfrac{1}{10}\). Or \(\dfrac{1}{12} < \dfrac{1}{10}\), donc on enlève moins à 1 → \(\dfrac{11}{12} > \dfrac{9}{10}\).
4) Égalité par simplification
\(\dfrac{4}{6}\) se simplifie par 2 : \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\). Donc : \(=\).
5) Mise au même dénominateur
Dénominateur commun 60 : \(\dfrac{13}{20}=\dfrac{39}{60}\) et \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{40}{60}\). Donc \(\dfrac{13}{20} < \dfrac{2}{3}\).
6) Mise au même dénominateur
Dénominateur commun 36 : \(\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{36}\) et \(\dfrac{7}{18}=\dfrac{14}{36}\). Donc \(\dfrac{5}{12} > \dfrac{7}{18}\).
Exercice 5 — Ranger des fractions (dur)
Ranger dans l’ordre croissant et justifier (mise au même dénominateur conseillée).
\(\dfrac{3}{4}\) ; \(\dfrac{5}{6}\) ; \(\dfrac{7}{8}\) ; \(\dfrac{11}{12}\)
Correction détaillée
On compare en regardant la “distance à 1” :
  • \(\dfrac{3}{4}=1-\dfrac{1}{4}\)
  • \(\dfrac{5}{6}=1-\dfrac{1}{6}\)
  • \(\dfrac{7}{8}=1-\dfrac{1}{8}\)
  • \(\dfrac{11}{12}=1-\dfrac{1}{12}\)
Plus on enlève une petite fraction, plus on est grand. Or \(\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{12}\) donc :
\[ \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{7}{8} < \dfrac{11}{12} \]
Exercice 6 — Opérations sur les fractions (dur)
Calculer et donner le résultat simplifié.
  1. \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{12}\)
  2. \(\dfrac{5}{9} - \dfrac{2}{9}\)
  3. \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\)
  4. \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{4}\)
  5. \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{4}\)
  6. \(\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{18}\)
Correction détaillée
1)
\(\dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\).
2)
\(\dfrac{5}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).
3)
\(\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}\), donc \(\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
4)
Dénominateur commun 20 : \(\dfrac{7}{10}=\dfrac{14}{20}\), \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{20}\). \(\dfrac{14}{20}-\dfrac{5}{20}=\dfrac{9}{20}\) (déjà simplifié).
5)
\(\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}\), donc \(\dfrac{5}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{11}{8}=1+\dfrac{3}{8}\).
6)
Dénominateur commun 36 : \(\dfrac{11}{12}=\dfrac{33}{36}\), \(\dfrac{5}{18}=\dfrac{10}{36}\). \(\dfrac{33}{36}-\dfrac{10}{36}=\dfrac{23}{36}\) (simplifié).
Exercice 7 — Multiplier une fraction par un entier (dur)
Calculer et écrire sous la forme “entier + fraction” quand c’est possible.
  1. \(5 \times \dfrac{3}{4}\)
  2. \(7 \times \dfrac{2}{5}\)
  3. \(6 \times \dfrac{5}{6}\)
  4. \(4 \times \dfrac{7}{3}\)
Correction détaillée
  • 1) \(5\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{4}=3+\dfrac{3}{4}\).
  • 2) \(7\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{5}=2+\dfrac{4}{5}\).
  • 3) \(6\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{30}{6}=5\).
  • 4) \(4\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{28}{3}=9+\dfrac{1}{3}\).
Exercice 8 — Problèmes complets (dur)
Problème A — Sens quotient
On partage 13 litres de jus dans 5 bouteilles identiques. 1) Exprimer la quantité dans une bouteille sous forme de fraction. 2) Écrire sous la forme “entier + fraction”.
Problème B — Fraction opérateur
Une bibliothèque possède 360 livres. \(\dfrac{5}{12}\) sont des romans. 1) Combien de romans ? 2) Il reste des livres non-romans : quelle fraction de la bibliothèque cela représente-t-il ?
Problème C — Comparer des parts
Lina mange \(\dfrac{7}{12}\) d’un gâteau. Sami mange \(\dfrac{3}{5}\) d’un gâteau identique. Qui a mangé le plus ? Justifier avec un dénominateur commun.
Correction détaillée
A)
1) Chaque bouteille : \(\dfrac{13}{5}\) litre (car \(13 \div 5\)). 2) \(\dfrac{13}{5}=2+\dfrac{3}{5}\).
B)
1) \(\dfrac{5}{12}\) de 360 : \((360 \div 12)\times 5 = 30\times 5 = 150\) romans. 2) Fraction restante : \(1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}\).
C)
Dénominateur commun 60 : \(\dfrac{7}{12}=\dfrac{35}{60}\) et \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{36}{60}\). Donc \(\dfrac{3}{5} > \dfrac{7}{12}\) : Sami a mangé le plus.
Défi (bonus) — Conditions impossibles ?
Existe-t-il une fraction \(\dfrac{a}{b}\) telle que :
  • \(\dfrac{a}{b}\) est comprise entre \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{4}\)
  • et \(\dfrac{a}{b}\) a pour dénominateur \(b = 12\) ?
Correction / explication
On cherche une fraction de la forme \(\dfrac{a}{12}\) avec : \[ \dfrac{2}{3} < \dfrac{a}{12} < \dfrac{3}{4} \]
Mettons \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{4}\) au dénominateur 12 : \[ \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12} \quad\text{et}\quad \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12} \]
Il faut donc : \[ \dfrac{8}{12} < \dfrac{a}{12} < \dfrac{9}{12} \Rightarrow 8 < a < 9 \]
Il n’existe aucun entier \(a\) strictement entre 8 et 9. Conclusion : c’est impossible.