Cours — Les fractions (6e)
Sens quotient • fraction opérateur • comparer des fractions • opérations simples.
Objectif : comprendre et calculer sans confondre les règles.
Une fraction s’écrit \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\).
a s’appelle le numérateur et b le dénominateur.
Idée clé : \(\dfrac{a}{b}\) peut signifier plusieurs choses :
partage, quotient, opérateur (prendre une partie), ou nombre placé sur une droite graduée.
1) Fraction comme “part d’un tout”
\(\dfrac{a}{b}\) signifie : “on a découpé le tout en b parts égales,
et on en prend a”.
Exemple visuel (idée)
Si on partage une tablette en 8 parts égales et qu’on en prend 3 :
\(\dfrac{3}{8}\).
Dénominateur = nombre de parts égales.
Numérateur = nombre de parts prises.
Fractions > 1
Si \(a > b\), alors \(\dfrac{a}{b}\) est plus grand que 1.
Exemple : \(\dfrac{9}{4}\) = 2 entiers et \(\dfrac{1}{4}\).
On dit aussi : \(\dfrac{9}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}\).
2) Sens quotient : \(\dfrac{a}{b}\) = \(a \div b\)
La fraction \(\dfrac{a}{b}\) peut aussi être comprise comme un quotient :
\[
\dfrac{a}{b} = a \div b
\]
Exemples
- \(\dfrac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5\)
- \(\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75\)
- \(\dfrac{5}{2} = 5 \div 2 = 2,5\)
À retenir : une fraction est un nombre. Elle peut être écrite en décimal quand le quotient “tombe juste” (ou en écriture décimale illimitée sinon).
3) Fractions équivalentes : simplifier / amplifier
Deux fractions sont équivalentes si elles représentent le même nombre.
On peut :
- amplifier : multiplier numérateur et dénominateur par le même nombre non nul
- simplifier : diviser numérateur et dénominateur par le même nombre non nul
Exemples
- \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\) (on multiplie par 2)
- \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) (on divise par 2)
- \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\) (on divise par 6)
Méthode : simplifier “au maximum” quand c’est possible, ça rend les comparaisons et calculs plus faciles.
4) Fraction opérateur : “prendre une fraction de …”
\(\dfrac{a}{b}\) peut aussi être un opérateur :
“prendre \(\dfrac{a}{b}\) d’une quantité”.
Règle (très importante)
Pour calculer \(\dfrac{a}{b}\) d’une quantité \(Q\) :
\[
\dfrac{a}{b}\text{ de }Q = \left(Q \div b\right)\times a
\]
On divise d’abord par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
Exemple 1
Calculer \(\dfrac{3}{5}\) de 40.
\(40 \div 5 = 8\) puis \(8 \times 3 = 24\).
\(\dfrac{3}{5}\) de 40 = 24.
Exemple 2
Calculer \(\dfrac{2}{3}\) de 90.
\(90 \div 3 = 30\) puis \(30 \times 2 = 60\).
\(\dfrac{2}{3}\) de 90 = 60.
Piège : on ne fait pas \(\;Q \div a \times b\;\). L’ordre correct est : diviser par \(b\), multiplier par \(a\).
5) Comparer des fractions
Comparer \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\), c’est décider laquelle est la plus grande.
Voici 3 méthodes fiables (à choisir selon la situation).
Méthode A — Même dénominateur
Si les dénominateurs sont égaux, on compare les numérateurs :
\[
\dfrac{a}{b} \text{ et } \dfrac{c}{b} \quad \Rightarrow \quad
a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}
\]
Ex : \(\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}\).
Méthode B — Même numérateur
Si les numérateurs sont égaux, la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande :
\[
\dfrac{a}{b} \text{ et } \dfrac{a}{d},\; b < d
\Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{a}{d}
\]
Ex : \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{7}\).
Méthode C — Mise au même dénominateur (équivalences)
On transforme les fractions pour obtenir un même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Exemple : comparer \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{5}\).
\[
\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}
\quad \text{et} \quad
\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}
\Rightarrow
\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}
\]
Astuce rapide : parfois on peut comparer à \(\dfrac{1}{2}\) :
\(\dfrac{a}{b} > \dfrac{1}{2}\) si \(2a > b\).
(Ex : \(\dfrac{3}{5}\) : \(2\times 3 = 6 > 5\) donc > 1/2.)
6) Placer une fraction sur une droite graduée
Pour placer \(\dfrac{a}{b}\) entre 0 et 1 :
on découpe le segment \([0 ; 1]\) en b parts égales,
puis on prend la a-ième graduation.
Exemple : placer \(\dfrac{3}{4}\)
- Découper \([0 ; 1]\) en 4 parts égales.
- Prendre la 3e graduation : c’est \(\dfrac{3}{4}\).
\(\dfrac{3}{4} = 0,75\) : c’est logique que ce soit “assez proche de 1”.
Fractions > 1 : \(\dfrac{9}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}\) se place entre 2 et 3, au 1er quart après 2.
7) Opérations sur les fractions (6e)
En 6e, on insiste sur :
addition / soustraction avec même dénominateur,
et multiplier une fraction par un entier.
(La multiplication de fractions entre elles arrive souvent plus tard, mais on donne l’idée.)
Addition / soustraction — même dénominateur
Si le dénominateur est le même, on additionne/soustrait les numérateurs :
\[
\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}
\qquad
\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}
\]
Exemple : \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\).
Avec des dénominateurs différents (méthode)
On met au même dénominateur (fractions équivalentes), puis on calcule.
\[
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}
= \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6}
= \dfrac{3}{6}
= \dfrac{1}{2}
\]
Ici, on a choisi 6 comme dénominateur commun (multiple de 3 et 6).
Multiplier une fraction par un entier
Multiplier par un entier \(k\), c’est multiplier le numérateur :
\[
k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k\times a}{b}
\]
Exemple : \(3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5} = 1 + \dfrac{1}{5}\).
Conseil : après une opération, pense à simplifier si possible.
Exemple : \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
8) Problèmes types (à savoir résoudre)
Type 1 — Partage (sens quotient)
On partage 7 litres d’eau dans 4 bouteilles identiques.
Chaque bouteille reçoit \(\dfrac{7}{4}\) litre, soit \(7 \div 4\).
\(\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}\) (un litre + trois quarts de litre).
Type 2 — Fraction opérateur
Une classe compte 30 élèves. Les \(\dfrac{2}{3}\) font sport.
Combien d’élèves font sport ?
\[
\dfrac{2}{3}\text{ de }30 = (30 \div 3)\times 2 = 10 \times 2 = 20
\]
Type 3 — Comparaison
Qui a mangé le plus : \(\dfrac{3}{8}\) de gâteau ou \(\dfrac{2}{5}\) de gâteau ?
\[
\dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{40}
\quad \text{et} \quad
\dfrac{2}{5} = \dfrac{16}{40}
\Rightarrow
\dfrac{2}{5} > \dfrac{3}{8}
\]
Synthèse — Checklist
- Je sais que \(\dfrac{a}{b}\) signifie “\(a\) parts sur \(b\)” et aussi “\(a \div b\)”.
- Je sais simplifier/amplifier une fraction (même nombre en haut et en bas).
- Je sais calculer \(\dfrac{a}{b}\) de \(Q\) : \((Q \div b)\times a\).
- Je sais comparer : même dénominateur / même numérateur / mise au même dénominateur.
- Je sais additionner/soustraire des fractions (après mise au même dénominateur).
Phrase clé : “Même dénominateur → je compare (ou j’additionne) les numérateurs.”