Algebre Initiation
6EME • MATHS — Learna
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Fiche de révision — Algèbre (initiation) (6e)
Nombres inconnus • écrire avec des lettres • schémas de calcul • motifs (figures qui grandissent) • suites simples. Fiche complète : méthodes + exemples + pièges.
1) La lettre représente un nombre
Vocabulaire
  • Inconnu : nombre qu’on cherche (ex : trouver \(x\)).
  • Variable : nombre qui peut changer (ex : pour chaque rang \(n\)).
Écritures à connaître
  • \(2x\) signifie \(2\times x\) (on n’écrit pas “\(\times\)” devant une lettre).
  • \(\dfrac{x}{3}\) signifie \(x \div 3\).
  • \(x+5\) : “\(x\) augmenté de 5”.
  • \(x-7\) : “\(x\) diminué de 7”.
Piège : \(2x\) n’est pas “vingt-deux” ! C’est bien \(2\times x\).
2) Traduire une phrase en expression
Dictionnaire ultra-utile
  • “un nombre” → \(x\)
  • “la somme de … et …” → \(x+7\)
  • “la différence entre … et …” → \(x-7\)
  • “le produit de … par …” → \(4x\)
  • “le quotient de … par …” → \(\dfrac{x}{5}\)
  • “le double” → \(2x\)
  • “le triple” → \(3x\)
  • “la moitié” → \(\dfrac{x}{2}\)
  • “le quart” → \(\dfrac{x}{4}\)
  • “augmenté/diminué de …” → \(x\pm \dots\)
Parenthèses : le point le plus important
“le triple d’un nombre augmenté de 2” peut se comprendre de 2 façons :
  • \(3x+2\) : on multiplie le nombre par 3, puis on ajoute 2.
  • \(3(x+2)\) : on ajoute 2 au nombre, puis on multiplie le résultat par 3.
Réflexe : si la phrase contient “le … de ( … )”, on met souvent des parenthèses.
3) Calculer une expression (remplacer la lettre)
Méthode
  1. Écrire l’expression.
  2. Remplacer la lettre par la valeur donnée (sans se tromper).
  3. Calculer en respectant les priorités (parenthèses, multiplications…).
Exemple 1
Calculer \(2x+3\) pour \(x=7\) : \[ 2\times 7+3=14+3=17 \]
Exemple 2 (parenthèses)
Calculer \(2(x+3)\) pour \(x=7\) : \[ 2(7+3)=2\times 10=20 \]
Piège : \(2x+3\) et \(2(x+3)\) ne donnent pas le même résultat.
4) Schémas : programmes de calcul
Principe
Un programme de calcul décrit des étapes à appliquer à un nombre de départ \(x\). On peut le transformer en une expression (souvent avec des parenthèses).
Exemple A
Étapes :
  1. Choisir un nombre \(x\)
  2. Ajouter 4
  3. Multiplier par 3
\[ 3(x+4) \]
Exemple B (ordre différent)
Étapes :
  1. Choisir un nombre \(x\)
  2. Multiplier par 3
  3. Ajouter 4
\[ 3x+4 \]
Ce n’est pas le même programme que le précédent.
Revenir en arrière (raisonnement inverse)
Si un programme fait “+4 puis ×3”, alors pour retrouver le nombre de départ à partir du résultat, on fait l’inverse : “÷3 puis -4”.
Exemple : résultat 30 → \(30\div 3=10\), puis \(10-4=6\). Donc \(x=6\).
5) Motifs : comprendre “rang” et “règle”
Méthode (très efficace)
  1. Écrire les 3 premiers rangs (1, 2, 3) et le nombre d’éléments à chaque rang.
  2. Repérer ce qui change : on ajoute toujours le même nombre ?
  3. Écrire : départ + (rang - 1) × augmentation.
Exemple-type (bâtons)
Rang 1 : 4 bâtons, Rang 2 : 7 bâtons, Rang 3 : 10 bâtons. On ajoute 3 à chaque rang.
\[ u_n = 4 + 3(n-1) \]
On peut simplifier : \(u_n = 3n+1\).
Piège : le rang 1 correspond au premier terme (on ne met pas \(n=0\) en 6e).
6) Suites simples (rang 1, 2, 3, …)
Suite “on ajoute toujours le même nombre”
Exemple : \(2,\;5,\;8,\;11,\;14,\dots\) (on ajoute 3).
\[ u_n = 2 + 3(n-1) \]
Au rang 1, \(u_1=2\). Pour aller au rang \(n\), on a ajouté 3 exactement \((n-1)\) fois.
Suite “on multiplie toujours par le même nombre” (reconnaître)
Exemple : \(3,\;6,\;12,\;24,\dots\) (on multiplie par 2).
En 6e, on attend surtout : reconnaître la règle “×2” et continuer la suite.
À retenir : le rang indique la position (1er, 2e, 3e…). Le terme \(u_n\) est la valeur au rang \(n\).
Checklist + pièges
Checklist
  • Je sais écrire \(2x\), \(3x\), \(\dfrac{x}{2}\), \(\dfrac{x}{3}\).
  • Je sais traduire une phrase en expression.
  • Je sais quand mettre des parenthèses.
  • Je sais remplacer la lettre par une valeur pour calculer.
  • Je sais écrire une règle de motif : départ + (rang-1)×augmentation.
  • Je sais continuer une suite simple (additive ou multiplicative).
Pièges
  • \(2x\) ≠ 2 + x (c’est une multiplication, pas une addition).
  • \(3x+2\) ≠ \(3(x+2)\).
  • Remplacer \(x\) par une valeur : ne pas oublier les parenthèses si besoin.
  • Motifs : attention à partir du rang 1 (pas du rang 0).
Phrase clé : “Je remplace la lettre par un nombre, puis je calcule avec les priorités.”
Mini-entraînement (révision rapide)
Q1
Écrire : “le double d’un nombre augmenté de 7”.
Voir la réponse
\(\;2(x+7)\;\).
Q2
Calculer \(3x+5\) pour \(x=4\).
Voir la réponse
\(\;3\times 4+5=12+5=17\;\).
Q3
Suite : \(7,\;10,\;13,\;16,\dots\) Donner les deux prochains termes.
Voir la réponse
On ajoute 3 : \(19\) puis \(22\).
Q4
Motif : rang 1 → 5 points ; rang 2 → 8 points ; rang 3 → 11 points. Combien au rang 10 ?
Voir la réponse
On ajoute 3 : \(u_n=5+3(n-1)\). Rang 10 : \(5+3\times 9=5+27=32\).