Cours — Algèbre (initiation) (6e)
Nombres inconnus • écrire avec des lettres • traduire des phrases en calculs • schémas et motifs • suites simples.
Objectif : apprendre à “raisonner avec une lettre”.
Idée clé : une lettre (comme \(x\), \(n\), \(a\)) peut représenter un nombre
qu’on ne connaît pas encore (inconnu) ou qui peut changer (variable).
1) Nombre inconnu : la lettre représente un nombre
En algèbre, on utilise des lettres pour représenter un nombre :
- Inconnu : un nombre qu’on cherche (ex : “trouver \(x\)”).
- Variable : un nombre qui peut prendre plusieurs valeurs (ex : “pour tout \(n\)”).
Exemples
- \(x+3\) signifie : “un nombre \(x\), puis on ajoute 3”.
- \(2n\) signifie : “le double de \(n\)”.
- \(a-5\) signifie : “\(a\) diminué de 5”.
Très important : \(2n\) veut dire \(2\times n\).
On n’écrit pas le signe \(\times\) devant une lettre : on colle.
2) Traduire des phrases en expressions (méthode)
On apprend à “traduire” une phrase en calcul avec une lettre.
On choisit une lettre (souvent \(x\)) pour le nombre inconnu.
Table de traduction
- “un nombre” → \(x\)
- “le double” → \(2x\)
- “le triple” → \(3x\)
- “la moitié” → \(\dfrac{x}{2}\)
- “le quart” → \(\dfrac{x}{4}\)
- “augmenté de 5” → \(x+5\)
- “diminué de 7” → \(x-7\)
- “multiplié par 4” → \(4x\)
- “divisé par 3” → \(\dfrac{x}{3}\)
- “carré” (rare en 6e) → \(x^2\)
Exemple 1
“Le triple d’un nombre augmenté de 2”.
\[
3x + 2
\]
On peut aussi lire : “3 fois le nombre, puis +2”.
Exemple 2 (attention aux parenthèses)
“Le triple de (un nombre augmenté de 2)”.
\[
3(x+2)
\]
Ici, on multiplie tout \(x+2\) par 3. Ce n’est pas pareil que \(3x+2\).
Réflexe : quand une phrase dit “le … de ( … )”, on met souvent des parenthèses.
3) Calculer une expression (remplacer la lettre)
Pour “calculer” une expression, on remplace la lettre par une valeur, puis on calcule.
C’est comme une recette.
Exemple 1
\(x+7\) pour \(x=12\) :
\[
12+7=19
\]
Exemple 2 (priorités)
\(3x+2\) pour \(x=5\) :
\[
3\times 5+2 = 15+2=17
\]
Priorité : multiplier avant d’additionner.
Exemple 3 (parenthèses)
\(3(x+2)\) pour \(x=5\) :
\[
3(5+2)=3\times 7=21
\]
On voit bien que \(3x+2\) (17) et \(3(x+2)\) (21) sont différents.
4) Schémas (boîtes) : représenter un programme de calcul
On peut représenter une situation avec un “schéma de calcul” :
on part d’un nombre, on applique des étapes (ajouter, multiplier, diviser…).
Programme de calcul
- Choisir un nombre \(x\)
- Ajouter 4
- Multiplier par 3
Expression : \[
3(x+4)
\]
On met des parenthèses car on multiplie le résultat “après avoir ajouté 4”.
Sens inverse (retrouver le nombre)
Si on sait que le résultat est 30 :
\[
3(x+4)=30
\]
On peut raisonner en “défaisant” les étapes :
on divise d’abord par 3, puis on enlève 4.
\(30 \div 3 = 10\), puis \(10-4=6\). Donc \(x=6\).
Astuce : “faire l’inverse” = défaire dans l’ordre inverse :
multiplier ↔ diviser, ajouter ↔ enlever.
5) Motifs : compter et généraliser
Un motif est une figure qui grandit étape par étape (rang 1, rang 2, rang 3…).
On cherche une règle pour compter rapidement.
Exemple type (bâtons / carrés)
On construit une rangée de carrés :
- Rang 1 : 1 carré
- Rang 2 : 2 carrés collés
- Rang 3 : 3 carrés collés
Si on compte les côtés (bâtons) nécessaires :
- Rang 1 : 4 bâtons
- Rang 2 : 7 bâtons
- Rang 3 : 10 bâtons
On observe : on ajoute 3 bâtons à chaque rang.
Donc rang \(n\) : \(4 + 3(n-1)\).
On peut simplifier : \(4 + 3n - 3 = 3n+1\).
Donc au rang \(n\) : \(\boxed{3n+1}\) bâtons.
Deux méthodes :
(1) Chercher “ce qui augmente à chaque rang” (différence).
(2) Construire une formule : “départ + (rang-1) × augmentation”.
6) Suites simples : comprendre un rang
Une suite est une liste de nombres ordonnée :
\(u_1, u_2, u_3, \dots\)
(le rang 1, rang 2, rang 3…).
Suite qui augmente d’un même nombre (additive)
Exemple : \(2,\; 5,\; 8,\; 11,\; 14,\dots\)
On ajoute 3 à chaque fois.
Terme de rang \(n\) : \[
u_n = 2 + 3(n-1)
\]
Pourquoi ? Au rang 1 on a 2, puis on ajoute 3 une fois pour aller au rang 2, deux fois pour aller au rang 3, etc.
Suite “multiplicative” (plus rare en 6e)
Exemple : \(3,\; 6,\; 12,\; 24,\dots\)
On multiplie par 2 à chaque fois.
En 6e, on sait surtout reconnaître la règle : “×2”.
Attention : “rang” \(\neq\) “valeur”.
Le rang \(n\) indique la position (1er, 2e, 3e, …).
7) Problèmes types (à maîtriser)
Type A — Traduire une phrase
“La somme d’un nombre et de 9” → \(x+9\).
“Le double d’un nombre diminué de 5” → \(2x-5\).
“Le double de (un nombre diminué de 5)” → \(2(x-5)\).
Type B — Calculer une expression
Pour \(x=7\) :
\[
2x+3 = 2\times 7+3 = 17
\]
\[
2(x+3)=2(7+3)=20
\]
Type C — Motifs / suites
Si on commence à 4 et qu’on ajoute 3 à chaque rang :
\(u_n = 4 + 3(n-1)\).
Synthèse — Checklist
- Je sais qu’une lettre représente un nombre (inconnu ou variable).
- Je sais traduire une phrase en expression (attention aux parenthèses).
- Je sais calculer une expression en remplaçant la lettre par une valeur.
- Je sais lire un programme de calcul et l’écrire avec des parenthèses si besoin.
- Je sais analyser un motif : départ + (rang-1) × augmentation.
- Je sais décrire une suite simple (on ajoute toujours le même nombre, ou on multiplie toujours par le même nombre).
Phrase clé : “Je remplace la lettre par un nombre, puis je calcule avec les priorités.”