Algebre Initiation
6EME • MATHS — Learna
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Exercices — Algèbre (initiation) (6e) • Niveau difficile
Lettres = nombres • traductions • priorités et parenthèses • programmes de calcul • motifs (rang \(n\)) • suites simples. Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Méthodes à appliquer
  • Remplacer : pour calculer une expression, on remplace la lettre par la valeur donnée.
  • Priorités : parenthèses → multiplications/divisions → additions/soustractions.
  • Parenthèses : “le … de ( … )” → souvent des parenthèses.
  • Programme : “+ … puis × …” → \(\dots(\,x+\dots\,)\). “× … puis + …” → \(\dots x+\dots\).
  • Motifs / suites : départ + \((n-1)\) × augmentation.
Exercice 1 — Traduire en expressions (difficile)
On note \(x\) “le nombre”. Écrire l’expression correspondante. Attention aux parenthèses.
  1. Le double d’un nombre augmenté de 7.
  2. Le double d’un nombre, puis on enlève 7.
  3. Le triple de la somme d’un nombre et de 5.
  4. La moitié d’un nombre diminué de 8.
  5. La somme du triple d’un nombre et de 4.
  6. Le quart de la différence entre un nombre et 12.
  7. On prend un nombre, on ajoute 6, puis on divise par 3.
  8. On prend un nombre, on divise par 3, puis on ajoute 6.
Correction détaillée
  • 1) \(2(x+7)\)
  • 2) \(2x-7\)
  • 3) \(3(x+5)\)
  • 4) \(\dfrac{x-8}{2}\)
  • 5) \(3x+4\)
  • 6) \(\dfrac{x-12}{4}\)
  • 7) \(\dfrac{x+6}{3}\)
  • 8) \(\dfrac{x}{3}+6\)
Point clé : \(\dfrac{x+6}{3}\) et \(\dfrac{x}{3}+6\) sont différents.
Exercice 2 — Calculer des expressions (priorités)
Calculer l’expression pour chaque valeur de \(x\). Justifier en montrant les étapes.
A) \(E(x)=3x+2\)
  • \(x=0\)
  • \(x=4\)
  • \(x=10\)
B) \(F(x)=3(x+2)\)
  • \(x=0\)
  • \(x=4\)
  • \(x=10\)
C) \(G(x)=\dfrac{x-5}{2}\)
  • \(x=5\)
  • \(x=9\)
  • \(x=1\)
Correction détaillée
A) \(E(x)=3x+2\)
  • \(E(0)=3\times 0+2=2\)
  • \(E(4)=3\times 4+2=12+2=14\)
  • \(E(10)=3\times 10+2=30+2=32\)
B) \(F(x)=3(x+2)\)
  • \(F(0)=3(0+2)=3\times 2=6\)
  • \(F(4)=3(4+2)=3\times 6=18\)
  • \(F(10)=3(10+2)=3\times 12=36\)
On voit bien la différence entre \(3x+2\) et \(3(x+2)\).
C) \(G(x)=\dfrac{x-5}{2}\)
  • \(G(5)=\dfrac{5-5}{2}=0\)
  • \(G(9)=\dfrac{9-5}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)
  • \(G(1)=\dfrac{1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\)
Exercice 3 — Programmes de calcul (écrire l’expression)
Pour chaque programme : 1) écrire l’expression en fonction de \(x\) ; 2) calculer le résultat pour \(x=5\).
  1. Choisir \(x\). Ajouter 9. Multiplier par 2.
  2. Choisir \(x\). Multiplier par 2. Ajouter 9.
  3. Choisir \(x\). Soustraire 4. Diviser par 3.
  4. Choisir \(x\). Diviser par 3. Soustraire 4.
Correction détaillée
1)
Expression : \(2(x+9)\). Pour \(x=5\) : \(2(5+9)=2\times 14=28\).
2)
Expression : \(2x+9\). Pour \(x=5\) : \(2\times 5+9=10+9=19\).
3)
Expression : \(\dfrac{x-4}{3}\). Pour \(x=5\) : \(\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}\).
4)
Expression : \(\dfrac{x}{3}-4\). Pour \(x=5\) : \(\dfrac{5}{3}-4=\dfrac{5}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{7}{3}\).
Conclusion : l’ordre des étapes change l’expression et le résultat.
Exercice 4 — Retrouver le nombre de départ (dur)
On applique un programme à un nombre \(x\). On connaît le résultat final. Retrouver \(x\) en “défaisant” les étapes.
  1. On ajoute 6 puis on multiplie par 4. Résultat : 52.
  2. On multiplie par 3 puis on enlève 5. Résultat : 22.
  3. On enlève 8 puis on divise par 2. Résultat : 7.
  4. On divise par 5 puis on ajoute 9. Résultat : 13.
Correction détaillée
1) “+6 puis ×4” → inverse : “÷4 puis -6”
\(52 \div 4 = 13\), puis \(13-6=7\). Donc \(x=7\).
2) “×3 puis -5” → inverse : “+5 puis ÷3”
\(22+5=27\), puis \(27 \div 3=9\). Donc \(x=9\).
3) “-8 puis ÷2” → inverse : “×2 puis +8”
\(7\times 2=14\), puis \(14+8=22\). Donc \(x=22\).
4) “÷5 puis +9” → inverse : “-9 puis ×5”
\(13-9=4\), puis \(4\times 5=20\). Donc \(x=20\).
Règle : on défait dans l’ordre inverse : + ↔ -, × ↔ ÷.
Exercice 5 — Motifs : formule au rang \(n\) (dur)
On donne les valeurs aux rangs 1, 2, 3. Trouver une formule du type : départ + \((n-1)\)×augmentation, puis calculer au rang demandé.
  1. Rang 1 : 6 points ; Rang 2 : 10 points ; Rang 3 : 14 points. Trouver \(u_n\) puis \(u_{12}\).
  2. Rang 1 : 5 bâtons ; Rang 2 : 8 bâtons ; Rang 3 : 11 bâtons. Trouver \(u_n\) puis \(u_{20}\).
  3. Rang 1 : 9 carrés ; Rang 2 : 13 carrés ; Rang 3 : 17 carrés. Trouver \(u_n\) puis \(u_{15}\).
Correction détaillée
1)
On ajoute 4 à chaque rang. \(u_n = 6 + 4(n-1)\). \(u_{12}=6+4\times 11=6+44=50\).
2)
On ajoute 3 à chaque rang. \(u_n = 5 + 3(n-1)\). \(u_{20}=5+3\times 19=5+57=62\).
3)
On ajoute 4 à chaque rang. \(u_n = 9 + 4(n-1)\). \(u_{15}=9+4\times 14=9+56=65\).
Exercice 6 — Suites simples (dur)
1) Continuer la suite ; 2) donner la règle ; 3) écrire une expression de \(u_n\) sous la forme départ + \((n-1)\)×augmentation (quand c’est possible).
  1. \(4,\; 9,\; 14,\; 19,\dots\) (donner \(u_6\))
  2. \(15,\; 12,\; 9,\; 6,\dots\) (donner \(u_8\))
  3. \(2,\; 6,\; 10,\; 14,\dots\) (donner \(u_{10}\))
Correction détaillée
1)
On ajoute 5. Suite : \(4,9,14,19,24,29,\dots\). \(u_n = 4 + 5(n-1)\). \(u_6 = 4 + 5\times 5 = 29\).
2)
On enlève 3. Suite : \(15,12,9,6,3,0,-3,-6,\dots\). \(u_n = 15 - 3(n-1)\). \(u_8 = 15 - 3\times 7 = 15-21=-6\).
3)
On ajoute 4. Suite : \(2,6,10,14,18,\dots\). \(u_n = 2 + 4(n-1)\). \(u_{10} = 2 + 4\times 9 = 38\).
Défi (bonus) — Comparer deux expressions
On considère : \[ A(x)=2(x+6)\qquad\text{et}\qquad B(x)=2x+6 \] 1) Calculer \(A(4)\) et \(B(4)\). 2) Dire si \(A(x)\) est toujours plus grand, toujours plus petit, ou parfois égal à \(B(x)\).
Correction / explication
1)
\(A(4)=2(4+6)=2\times 10=20\). \(B(4)=2\times 4+6=8+6=14\).
2)
\(A(x)=2(x+6)=2x+12\). Or \(2x+12\) est toujours 6 de plus que \(2x+6\).
Donc \(A(x)\) est toujours plus grand que \(B(x)\) (jamais égal).