Cours — Les aires (6e)
Aire d’un carré et d’un rectangle • unités d’aire • conversions • problèmes.
Objectif : calculer une surface “à l’intérieur” et convertir correctement.
À retenir : l’aire mesure une surface (ce qu’il y a “à l’intérieur”).
Le périmètre mesure une longueur (le contour).
1) Aire : définition et unité
L’aire d’une figure est la mesure de la surface qu’elle occupe.
On l’exprime avec des unités d’aire : \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\), etc.
Pourquoi “carré” ?
\(\text{cm}^2\) signifie “un carré de côté 1 cm”.
Unité \(\text{cm}^2\) = surface d’un carré \(1\ \text{cm} \times 1\ \text{cm}\).
Piège : on n’écrit pas une aire en cm ou en m (ce sont des longueurs),
mais en \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\), etc.
2) Aire du rectangle
Un rectangle est défini par sa longueur \(L\) et sa largeur \(l\).
Formule
\[
A = L \times l
\]
On multiplie une longueur par une largeur. Les deux doivent être dans la même unité.
Exemple 1
\(L=8\ \text{cm}\), \(l=5\ \text{cm}\)
\[
A = 8\times 5 = 40\ \text{cm}^2
\]
Exemple 2 (conversion nécessaire)
\(L=2,4\ \text{m}\), \(l=60\ \text{cm}\). Calculer en \(\text{cm}^2\).
Convertir : \(2,4\ \text{m}=240\ \text{cm}\).
\[
A = 240\times 60 = 14\,400\ \text{cm}^2
\]
Réflexe : avant le calcul, mettre \(L\) et \(l\) dans la même unité.
3) Aire du carré
Un carré a 4 côtés égaux. Si le côté mesure \(c\), alors sa longueur = sa largeur = \(c\).
Formule
\[
A = c \times c = c^2
\]
On multiplie le côté par lui-même.
Exemple 1
Carré de côté \(c=7\ \text{cm}\).
\[
A = 7\times 7 = 49\ \text{cm}^2
\]
Exemple 2
Carré de côté \(c=1,2\ \text{m}\).
\[
A = 1,2\times 1,2 = 1,44\ \text{m}^2
\]
Piège : \(c^2\) ne veut pas dire “\(c\times 2\)” mais “\(c\times c\)”.
4) Unités d’aire et conversions
Échelle des unités d’aire
\[
\text{km}^2 \rightarrow \text{hm}^2 \rightarrow \text{dam}^2 \rightarrow \text{m}^2 \rightarrow \text{dm}^2 \rightarrow \text{cm}^2 \rightarrow \text{mm}^2
\]
Pour les aires, chaque “pas” change par \(\times 100\) (et pas \(\times 10\)).
Pourquoi \(\times 100\) ?
\(1\ \text{m} = 10\ \text{dm}\).
Donc \(1\ \text{m}^2 = (10\ \text{dm})\times(10\ \text{dm}) = 100\ \text{dm}^2\).
Conversions indispensables
- \(1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2\)
- \(1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2\)
- \(1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\)
Exemples
- \(2\ \text{m}^2 = 20\,000\ \text{cm}^2\) (×10 000)
- \(3\,600\ \text{cm}^2 = 0,36\ \text{m}^2\) (÷10 000)
- \(450\ \text{dm}^2 = 4,5\ \text{m}^2\) (÷100)
Astuce : conversions d’aire : on pense “\(\times 100\)” à chaque saut d’unité.
5) Problèmes d’aires : méthode en 4 étapes
- Identifier la figure : carré ou rectangle ?
- Mettre les longueurs dans la même unité.
- Appliquer la formule : \(A=L\times l\) ou \(A=c^2\).
- Répondre avec l’unité d’aire (\(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\)…), puis convertir si demandé.
Problème A (conversion)
Une affiche rectangulaire mesure \(70\ \text{cm}\) sur \(50\ \text{cm}\).
Quelle est son aire en \(\text{cm}^2\) puis en \(\text{m}^2\) ?
\[
A = 70\times 50 = 3\,500\ \text{cm}^2
\]
Convertir en \(\text{m}^2\) : \(\;1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\).
\[
3\,500\ \text{cm}^2 = 0,35\ \text{m}^2
\]
Réponse : \(3\,500\ \text{cm}^2\) et \(0,35\ \text{m}^2\)
Problème B (carré)
Un carrelage carré a un côté de \(30\ \text{cm}\).
Quelle est l’aire d’un carreau en \(\text{cm}^2\) ?
\[
A = 30^2 = 30\times 30 = 900\ \text{cm}^2
\]
Réponse : \(900\ \text{cm}^2\)
Synthèse — Checklist
- Aire = surface intérieure ; périmètre = contour.
- Rectangle : \(A=L\times l\). Carré : \(A=c^2\).
- Je convertis les longueurs dans la même unité avant de calculer une aire.
- Unités d’aire : \(\text{m}^2\), \(\text{cm}^2\)… (avec un “2”).
- Conversions d’aire : chaque saut = \(\times 100\) (ou \(\div 100\)).
- \(1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\).