Cours — Volumes de solides usuels
Comprendre ce qu’est un volume et savoir calculer le volume du pavé droit,
du prisme droit et du cylindre.
Volume
Pavé droit
Prisme droit
Cylindre
Unités
Capacité
1) Qu’est-ce qu’un volume ?
\[
\text{Le volume mesure l’espace occupé par un solide.}
\]
Le volume d’un solide s’exprime en unités au cube :
\[
\text{cm}^3,\quad \text{dm}^3,\quad \text{m}^3
\]
Ne pas confondre :
• aire \(\rightarrow\) unités au carré
• volume \(\rightarrow\) unités au cube
• aire \(\rightarrow\) unités au carré
• volume \(\rightarrow\) unités au cube
2) Volume du pavé droit
\[
V=L\times l\times h
\]
On multiplie la longueur \(L\), la largeur \(l\) et la hauteur \(h\).
\[
L=6,\quad l=3,\quad h=2
\]
\[
V=6\times3\times2=36
\]
Le volume est :
\[
36\text{ cm}^3
\]
3) Comprendre la formule du pavé droit
On peut d’abord calculer l’aire de la base :
\[
A_{\text{base}}=L\times l
\]
Puis on multiplie cette aire par la hauteur :
\[
V=A_{\text{base}}\times h
\]
4) Volume du prisme droit
\[
V=A_{\text{base}}\times h
\]
Pour un prisme droit, on calcule d’abord l’aire de la base,
puis on multiplie par la hauteur du solide.
\[
A_{\text{base}}=10\text{ cm}^2,\quad h=8\text{ cm}
\]
\[
V=10\times8=80
\]
Le volume du prisme est :
\[
80\text{ cm}^3
\]
5) Volume du cylindre
\[
V=\pi r^2 h
\]
Pour un cylindre :
• \(r\) est le rayon de la base
• \(h\) est la hauteur
• \(r\) est le rayon de la base
• \(h\) est la hauteur
\[
r=3,\quad h=10
\]
\[
V=\pi\times 3^2\times10
\]
\[
V=90\pi
\]
Le volume du cylindre est :
\[
90\pi\text{ cm}^3
\]
6) Résumé des formules
| Solide | Formule |
|---|---|
| Pavé droit | \(V=L\times l\times h\) |
| Prisme droit | \(V=A_{\text{base}}\times h\) |
| Cylindre | \(V=\pi r^2 h\) |
7) Lien entre volume et capacité
\[
1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}
\]
\[
1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}
\]
Ces relations sont très utiles pour les problèmes de récipients et de contenances.
8) Exemple concret
Une boîte a pour dimensions :
\[
20\text{ cm},\quad 10\text{ cm},\quad 5\text{ cm}
\]
\[
V=20\times10\times5=1000\text{ cm}^3
\]
Or :
\[
1000\text{ cm}^3=1\text{ dm}^3=1\text{ L}
\]
9) Méthode : bien calculer un volume
- Je reconnais le solide.
- Je choisis la bonne formule.
- Je repère les dimensions utiles.
- Je remplace les valeurs dans la formule.
- Je calcule et j’écris l’unité au cube.
10) Erreurs fréquentes
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Confondre aire et volume | Le volume s’exprime en unités au cube |
| Oublier une dimension dans le pavé droit | Il faut longueur, largeur et hauteur |
| Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans le cylindre | La formule utilise \(r\), pas le diamètre |
| Oublier l’unité | On écrit toujours \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\), etc. |
11) À retenir
- Le volume mesure l’espace occupé par un solide.
- Le volume s’exprime en unités au cube.
- \(V_{\text{pavé droit}}=L\times l\times h\)
- \(V_{\text{prisme droit}}=A_{\text{base}}\times h\)
- \(V_{\text{cylindre}}=\pi r^2 h\)
- \(1\text{ dm}^3=1\text{ L}\)
- \(1\text{ cm}^3=1\text{ mL}\)