Exercices corrigés — Volumes De Solides Usuels (5e)

Identifier cube, pavé droit, prisme droit et cylindre de révolution.

1. A. Un solide possède 6 faces rectangulaires. Quel solide usuel peut-il être ?
2. B. Un solide possède 6 faces carrées toutes identiques. Quel est ce solide ?
3. C. Un solide possède deux bases circulaires parallèles et superposables. Quel est ce solide ?
4. D. Un prisme droit possède deux bases de même forme. Que peut-on dire de ces deux bases ?
5. E. Citer un objet de la vie courante ayant approximativement la forme d’un pavé droit.
6. F. Citer un objet ayant approximativement la forme d’un cylindre.

Appliquer directement la formule \(V=L\times l\times h\).

1. A. Calculer le volume d’un pavé de dimensions \(8\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\).
2. B. Calculer le volume d’un pavé de dimensions \(12\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\).
3. C. Calculer le volume d’un cube d’arête \(4\,\text{cm}\).
4. D. Calculer le volume d’un cube d’arête \(7\,\text{mm}\).
5. E. Quelle unité doit accompagner un volume calculé à partir de longueurs en centimètres ?
6. F. Un pavé a un volume de \(120\,\text{cm}^3\). Est-ce une aire ou un volume ?

Utiliser les équivalences usuelles entre volumes et capacités.

1. A. Compléter : \(1\,\text{dm}^3=\ldots\,\text{L}\).
2. B. Compléter : \(1\,\text{cm}^3=\ldots\,\text{mL}\).
3. C. Convertir \(3\,\text{L}\) en \(\text{dm}^3\).
4. D. Convertir \(250\,\text{mL}\) en \(\text{cm}^3\).
5. E. Convertir \(2,5\,\text{dm}^3\) en litres.
6. F. Un récipient contient \(750\,\text{cm}^3\). Exprimer sa capacité en mL.

Calculer le volume avec \(V=\mathcal{A}_{base}\times h\).

1. A. Un prisme a une base d’aire \(15\,\text{cm}^2\) et une hauteur de \(8\,\text{cm}\). Calculer son volume.
2. B. Une base a une aire de \(24\,\text{cm}^2\) et la hauteur du prisme vaut \(5\,\text{cm}\). Calculer \(V\).
3. C. Quelle grandeur faut-il connaître pour la base avant d’utiliser la formule du volume ?
4. D. Dans la formule \(V=\mathcal{A}_{base}\times h\), que représente \(h\) ?
5. E. Un prisme a deux bases triangulaires. La formule du volume change-t-elle ?
6. F. Un prisme a une base d’aire \(30\,\text{cm}^2\) et une hauteur de \(10\,\text{cm}\). Donner son volume.

Utiliser \(V=\pi r^2h\) avec le rayon de la base.

1. A. Un cylindre a \(r=3\,\text{cm}\) et \(h=5\,\text{cm}\). Donner son volume sous forme exacte.
2. B. Pour le même cylindre, donner une valeur approchée avec \(\pi\approx3,14\).
3. C. Un cylindre a un diamètre de \(8\,\text{cm}\). Quel est son rayon ?
4. D. Calculer l’aire d’un disque de rayon \(4\,\text{cm}\) sous forme exacte.
5. E. Un cylindre a \(r=2\,\text{cm}\), \(h=10\,\text{cm}\). Donner \(V\) sous forme exacte.
6. F. Pourquoi faut-il utiliser le rayon et non le diamètre directement dans \(\pi r^2h\) ?

Utiliser la formule du volume à l’envers.

1. A. Un pavé a \(V=240\,\text{cm}^3\), \(L=10\,\text{cm}\), \(l=6\,\text{cm}\). Calculer \(h\).
2. B. Un pavé a \(V=360\,\text{cm}^3\), \(l=6\,\text{cm}\), \(h=5\,\text{cm}\). Calculer \(L\).
3. C. Un cube a un volume de \(125\,\text{cm}^3\). Quelle est son arête ?
4. D. Vérifier la réponse précédente par un calcul de volume.
5. E. Un pavé de base \(8\times5\) a un volume de \(200\,\text{cm}^3\). Calculer sa hauteur.
6. F. Quelle opération permet en général de retrouver une dimension manquante ?

Calculer d’abord l’aire du triangle de base.

1. A. La base est un triangle de base \(6\,\text{cm}\) et de hauteur \(4\,\text{cm}\). Calculer son aire.
2. B. La hauteur du prisme vaut \(10\,\text{cm}\). En déduire le volume.
3. C. Même question avec un triangle de base \(8\,\text{cm}\), hauteur \(5\,\text{cm}\), prisme de hauteur \(7\,\text{cm}\).
4. D. Quelle formule utilise-t-on pour l’aire d’un triangle ?
5. E. Pourquoi ne faut-il pas multiplier directement \(6\times4\times10\) dans la première situation ?
6. F. Exprimer le volume d’un prisme dont la base triangulaire a une aire \(A\) et la hauteur vaut \(H\).

Passer correctement du diamètre au rayon.

1. A. Un cylindre a un diamètre de \(10\,\text{cm}\). Calculer son rayon.
2. B. Sa hauteur vaut \(7\,\text{cm}\). Donner son volume sous forme exacte.
3. C. Donner une valeur approchée à l’unité avec \(\pi\approx3,14\).
4. D. Un autre cylindre a diamètre \(6\,\text{cm}\) et hauteur \(12\,\text{cm}\). Donner son volume exact.
5. E. Comparer les rayons \(5\,\text{cm}\) et \(3\,\text{cm}\). Le premier est-il deux fois plus grand ?
6. F. Le volume dépend-il linéairement du rayon ? Justifier à partir de la formule.

Convertir entre \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\), litres et millilitres.

1. A. Convertir \(2\,500\,\text{cm}^3\) en litres.
2. B. Convertir \(4,2\,\text{L}\) en \(\text{cm}^3\).
3. C. Convertir \(0,75\,\text{L}\) en mL.
4. D. Convertir \(3,5\,\text{dm}^3\) en \(\text{cm}^3\).
5. E. Convertir \(12\,000\,\text{cm}^3\) en \(\text{dm}^3\).
6. F. Expliquer pourquoi \(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\).

Calculer puis comparer des solides exprimés dans la même unité.

1. A. Pavé A : \(8\times5\times4\) cm. Calculer son volume.
2. B. Pavé B : \(10\times4\times4\) cm. Calculer son volume.
3. C. Comparer les volumes de A et B.
4. D. Un cylindre a \(r=2\,\text{cm}\), \(h=10\,\text{cm}\). Donner son volume approché avec \(\pi\approx3,14\).
5. E. Comparer ce cylindre au pavé A.
6. F. Pour comparer deux volumes, pourquoi faut-il utiliser la même unité ?

Relier dimensions, volume et capacité.

1. A. Un aquarium mesure \(60\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\times40\,\text{cm}\). Calculer son volume en \(\text{cm}^3\).
2. B. Convertir ce volume en litres.
3. C. On ne le remplit qu’à \(35\,\text{cm}\) de hauteur. Calculer alors le volume d’eau.
4. D. Convertir ce volume d’eau en litres.
5. E. Combien de bouteilles de \(1,5\,\text{L}\) faudrait-il pour fournir cette quantité d’eau ?
6. F. Pourquoi la capacité utile est-elle inférieure au volume total de l’aquarium ?

Calculer un volume puis raisonner sur un remplissage.

1. A. Une boîte a pour dimensions intérieures \(25\,\text{cm}\times16\,\text{cm}\times12\,\text{cm}\). Calculer son volume.
2. B. Exprimer ce volume en litres.
3. C. Elle contient des cubes de \(2\,\text{cm}\) d’arête. Quel est le volume d’un cube ?
4. D. Combien de cubes peuvent tenir sur la longueur ?
5. E. Combien sur la largeur et sur la hauteur ?
6. F. En déduire le nombre maximal de cubes et vérifier par les volumes.

Décomposer le calcul en aire de base puis volume.

1. A. La base trapézoïdale a deux côtés parallèles de \(8\) cm et \(14\) cm, séparés de \(5\) cm. Décomposer cette base en un rectangle \(8\times5\) et un triangle de base \(14-8=6\) cm et de hauteur \(5\) cm, puis calculer son aire.
2. B. Le prisme a une hauteur de \(12\) cm. Calculer son volume.
3. C. Exprimer le résultat en \(\text{dm}^3\).
4. D. Expliquer pourquoi la décomposition « rectangle + triangle » donne bien toute l’aire de la base sans recouvrement.
5. E. Si la hauteur du prisme double, que devient le volume ?
6. F. Calculer le volume si la hauteur du prisme devient \(18\) cm.

Utiliser le volume du cylindre et convertir en mL.

1. A. Une canette cylindrique a un rayon intérieur de \(3,2\) cm et une hauteur de \(12\) cm. Écrire son volume exact.
2. B. Calculer une valeur approchée avec \(\pi\approx3,14\).
3. C. Exprimer ce volume en mL.
4. D. La canette est annoncée à \(330\) mL. Comparer avec le modèle calculé.
5. E. Citer une raison géométrique possible expliquant l’écart.
6. F. Quel rayon faudrait-il mesurer si l’on connaissait seulement un diamètre de \(6,4\) cm ?

Décomposer un solide complexe en deux pavés droits.

1. A. Un solide est formé d’un pavé A de dimensions \(10\times6\times4\) cm et d’un pavé B de dimensions \(6\times4\times3\) cm, sans chevauchement. Calculer \(V_A\).
2. B. Calculer \(V_B\).
3. C. Calculer le volume total.
4. D. Exprimer le volume total en litres.
5. E. Si on retire le pavé B, quel volume reste-t-il ?
6. F. Pourquoi peut-on additionner les volumes ici ?

Utiliser \(\mathcal{A}_{base}=V/h\).

1. A. Un prisme a un volume de \(540\,\text{cm}^3\) et une hauteur de \(12\,\text{cm}\). Calculer l’aire de sa base.
2. B. Un autre prisme a \(V=1\,200\,\text{cm}^3\) et \(h=15\,\text{cm}\). Calculer l’aire de la base.
3. C. Si la base est un rectangle de longueur \(10\,\text{cm}\) et d’aire \(80\,\text{cm}^2\), calculer sa largeur.
4. D. En déduire le volume d’un prisme de hauteur \(9\,\text{cm}\) ayant cette base.
5. E. Pourquoi la division \(V\div h\) donne-t-elle une aire ?
6. F. Vérifier les unités dans \(540\,\text{cm}^3\div12\,\text{cm}\).

Isoler \(h\) dans \(V=\pi r^2h\).

1. A. Un cylindre de rayon \(4\) cm a un volume exact \(160\pi\,\text{cm}^3\). Calculer sa hauteur.
2. B. Vérifier le résultat par substitution.
3. C. Un cylindre de rayon \(3\) cm a un volume \(99\pi\,\text{cm}^3\). Calculer sa hauteur.
4. D. Un cylindre de rayon \(5\) cm et hauteur inconnue a un volume \(250\pi\,\text{cm}^3\). Calculer \(h\).
5. E. Écrire la formule permettant de retrouver \(h\) à partir de \(V\) et \(r\).
6. F. Pourquoi est-il pratique de conserver \(\pi\) dans les calculs exacts ?

Relier patron, dimensions et volume d’un pavé.

1. A. Un patron de pavé permet d’identifier trois dimensions : \(9\) cm, \(6\) cm et \(4\) cm. Calculer le volume.
2. B. Quelle paire de faces a une aire de \(9\times6\) ?
3. C. Calculer cette aire.
4. D. Calculer l’aire d’une face \(6\times4\).
5. E. Le volume pourrait-il être obtenu en multipliant l’aire \(54\,\text{cm}^2\) par \(4\,\text{cm}\) ?
6. F. Expliquer le lien entre une face choisie comme base et la dimension perpendiculaire.

Résoudre un problème de volume et de remplissage.

1. A. Un réservoir cylindrique a un rayon de \(0,5\) m et une hauteur de \(1,2\) m. Écrire son volume exact en \(\text{m}^3\).
2. B. Calculer une valeur approchée avec \(\pi\approx3,14\).
3. C. Convertir ce volume en litres en utilisant \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{L}\).
4. D. Le réservoir est rempli à \(75\%\). Calculer le volume d’eau en litres.
5. E. Combien de bidons de \(20\) L peut-on remplir complètement ?
6. F. Quelle quantité d’eau reste après avoir rempli ces bidons ?

Identifier la base et choisir une stratégie adaptée.

1. A. Pour un pavé droit, écrire une formule de volume à partir de ses trois dimensions.
2. B. Pour un prisme droit, écrire la formule générale du volume.
3. C. Pour un cylindre, écrire la formule du volume.
4. D. Pourquoi \(\pi r^2\) apparaît-il dans la formule du cylindre ?
5. E. Un solide a une base d’aire \(36\,\text{cm}^2\) et une hauteur de \(8\,\text{cm}\). Quel volume a-t-il s’il s’agit d’un prisme droit ?
6. F. La même donnée suffit-elle pour un cylindre ? Expliquer.

Combiner une contrainte de volume avec une dimension inconnue.

1. A. Une boîte rectangulaire a une base de \(18\,\text{cm}\times12\,\text{cm}\). On veut un volume de \(2,592\,\text{L}\). Convertir ce volume en \(\text{cm}^3\).
2. B. Calculer l’aire de la base.
3. C. Déterminer la hauteur nécessaire.
4. D. Vérifier le volume obtenu.
5. E. Si la hauteur disponible n’est que de \(10\) cm, quel serait le volume maximal ?
6. F. Exprimer ce dernier volume en litres.

Étudier l’effet du rayon sur le volume.

1. A. Les cylindres A et B ont la même hauteur \(h=10\) cm. A a un rayon \(2\) cm et B un rayon \(4\) cm. Calculer \(V_A\) exactement.
2. B. Calculer \(V_B\) exactement.
3. C. Calculer le rapport \(V_B/V_A\).
4. D. Le rayon de B est deux fois celui de A. Le volume est-il deux fois plus grand ?
5. E. Expliquer le résultat à l’aide de \(r^2\).
6. F. Si on triple le rayon à hauteur constante, par quel facteur le volume est-il multiplié ?

Calculer l’aire d’une base en la décomposant.

1. A. La base d’un prisme est formée d’un rectangle \(8\times5\) cm et d’un triangle de base \(8\) cm et hauteur \(3\) cm, sans recouvrement. Calculer l’aire du rectangle.
2. B. Calculer l’aire du triangle.
3. C. Calculer l’aire totale de la base.
4. D. La hauteur du prisme vaut \(12\) cm. Calculer le volume.
5. E. Exprimer ce volume en litres.
6. F. Expliquer pourquoi on additionne les deux aires avant de multiplier par la hauteur du prisme.

Combiner volume, conversion et quotient entier.

1. A. Un seau cylindrique a un rayon de \(15\) cm et une hauteur de \(30\) cm. Écrire son volume exact.
2. B. Calculer une valeur approchée avec \(\pi\approx3,14\).
3. C. Convertir en litres.
4. D. On utilise des bouteilles de \(1,5\) L. Combien de bouteilles pleines sont nécessaires pour dépasser la capacité du seau ?
5. E. Combien de bouteilles entières peut-on verser sans dépasser la capacité ?
6. F. Quel volume reste libre après ce nombre de bouteilles ?

Comparer deux solides de formes différentes.

1. A. Un pavé mesure \(10\times6\times8\) cm. Calculer son volume.
2. B. Un prisme a une base triangulaire de base \(12\) cm, hauteur \(5\) cm et hauteur de prisme \(16\) cm. Calculer l’aire de la base.
3. C. Calculer le volume du prisme.
4. D. Comparer les deux volumes.
5. E. Les deux solides peuvent-ils avoir le même volume malgré des formes différentes ?
6. F. Donner une condition générale permettant à deux prismes droits d’avoir le même volume.

Analyser et corriger des raisonnements erronés.

1. A. Un élève calcule un cylindre par \(V=\pi rh\). Quelle erreur commet-il ?
2. B. Corriger la formule.
3. C. Pour \(r=3\) cm et \(h=8\) cm, calculer le volume exact.
4. D. Un autre élève utilise le diamètre \(6\) à la place de \(r=3\). Quel volume exact obtient-il à tort ?
5. E. Combien de fois ce faux résultat est-il trop grand ?
6. F. Expliquer pourquoi utiliser le diamètre à la place du rayon multiplie ici le volume par 4.

Déterminer une hauteur à partir d’une capacité imposée.

1. A. On veut un réservoir cylindrique de capacité \(50\) L et de rayon intérieur \(20\) cm. Convertir \(50\) L en \(\text{cm}^3\).
2. B. Écrire l’équation \(V=\pi r^2h\).
3. C. Avec \(\pi\approx3,14\), calculer \(\pi r^2\).
4. D. En déduire la hauteur nécessaire à 0,1 cm près.
5. E. Vérifier approximativement le volume obtenu.
6. F. Pourquoi faut-il préciser qu’il s’agit du rayon intérieur ?

Comprendre l’effet d’un agrandissement sur le volume.

1. A. Un pavé a pour dimensions \(3\), \(4\) et \(5\) cm. Calculer son volume.
2. B. On double toutes les dimensions. Quelles sont les nouvelles dimensions ?
3. C. Calculer le nouveau volume.
4. D. Par quel facteur le volume a-t-il été multiplié ?
5. E. Si toutes les dimensions sont multipliées par 3, par quel facteur le volume est-il multiplié ?
6. F. Formuler une règle pour un coefficient d’agrandissement \(k\).

Résoudre un problème complet de comparaison de capacités.

1. A. Contenant A : pavé \(30\times20\times25\) cm. Calculer sa capacité en litres.
2. B. Contenant B : cylindre de rayon \(12\) cm et hauteur \(35\) cm. Écrire son volume exact.
3. C. Calculer la capacité approchée de B avec \(\pi\approx3,14\).
4. D. Quel contenant a la plus grande capacité ?
5. E. Calculer l’écart en litres.
6. F. Si on doit stocker \(16\) L, lequel des deux convient ?

Mobiliser les trois grandes formules du chapitre.

1. A. Un pavé droit mesure \(9\times5\times4\) cm. Calculer son volume.
2. B. Un prisme droit a une base d’aire \(18\,\text{cm}^2\) et une hauteur \(10\) cm. Calculer son volume.
3. C. Un cylindre a \(r=3\) cm et \(h=6\) cm. Donner son volume exact.
4. D. Donner le volume approché du cylindre avec \(\pi\approx3,14\).
5. E. Classer les trois solides du plus petit volume au plus grand.
6. F. Résumer en une phrase la stratégie commune permettant de calculer le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre.