Exercices — Triangles, parallélogrammes et quadrilatères (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les triangles usuels, les quadrilatères particuliers, le parallélogramme, les propriétés de côtés, d’angles, de diagonales et les constructions.
Exercice 1 — Reconnaître des triangles
Associer chaque description au bon type de triangle :
1. Un triangle ayant trois côtés de même longueur.
2. Un triangle ayant deux côtés de même longueur.
3. Un triangle ayant un angle droit.
1. Un triangle ayant trois côtés de même longueur.
2. Un triangle ayant deux côtés de même longueur.
3. Un triangle ayant un angle droit.
Corrigé :
1. Triangle équilatéral.
2. Triangle isocèle.
3. Triangle rectangle.
2. Triangle isocèle.
3. Triangle rectangle.
Exercice 2 — Reconnaître des quadrilatères
Associer chaque description à la bonne figure :
1. Un quadrilatère ayant quatre angles droits.
2. Un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur.
3. Un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles.
1. Un quadrilatère ayant quatre angles droits.
2. Un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur.
3. Un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles.
Corrigé :
1. Rectangle.
2. Losange.
3. Parallélogramme.
Un carré vérifie aussi les trois propriétés particulières.
2. Losange.
3. Parallélogramme.
Un carré vérifie aussi les trois propriétés particulières.
Exercice 3 — Vrai ou faux
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse :
1. Un carré est un rectangle.
2. Un rectangle est toujours un carré.
3. Un losange a quatre côtés de même longueur.
4. Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.
1. Un carré est un rectangle.
2. Un rectangle est toujours un carré.
3. Un losange a quatre côtés de même longueur.
4. Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.
Corrigé :
1. Vrai.
2. Faux.
3. Vrai.
4. Vrai.
2. Faux.
3. Vrai.
4. Vrai.
Exercice 4 — Triangle isocèle
Dans un triangle isocèle en \(A\), quels sont les côtés de même longueur ? Quels sont les angles égaux ?
Corrigé :
Dans un triangle isocèle en \(A\), on a :
\[
AB=AC
\]
Les angles à la base sont égaux, donc :
\[
\widehat{ABC}=\widehat{BCA}
\]
Exercice 5 — Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, combien mesurent les trois angles ?
Corrigé :
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux et leur somme vaut \(180^\circ\).
Donc chaque angle mesure : \[ 180^\circ \div 3 = 60^\circ \]
Donc chaque angle mesure : \[ 180^\circ \div 3 = 60^\circ \]
Exercice 6 — Somme des angles dans un triangle
Dans un triangle \(ABC\), on sait que :
\[
\widehat{A}=40^\circ,\quad \widehat{B}=65^\circ
\]
Calculer \(\widehat{C}\).
Corrigé :
Dans un triangle :
\[
\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ
\]
Donc :
\[
\widehat{C}=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ
\]
Exercice 7 — Triangle rectangle
Dans un triangle rectangle en \(A\), on sait que \(\widehat{B}=32^\circ\). Calculer \(\widehat{C}\).
Corrigé :
Comme le triangle est rectangle en \(A\), on a :
\[
\widehat{A}=90^\circ
\]
Donc :
\[
\widehat{C}=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ
\]
Exercice 8 — Parallélogramme : côtés opposés
Compléter : dans un parallélogramme \(ABCD\), les côtés opposés sont ________ et de même longueur.
Corrigé :
Dans un parallélogramme \(ABCD\), les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Exercice 9 — Parallélogramme : angles
Dans un parallélogramme \(ABCD\), on sait que \(\widehat{A}=110^\circ\). Calculer \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) et \(\widehat{D}\).
Corrigé :
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Donc : \[ \widehat{C}=110^\circ \] et \[ \widehat{B}=\widehat{D}=180^\circ-110^\circ=70^\circ \]
Donc : \[ \widehat{C}=110^\circ \] et \[ \widehat{B}=\widehat{D}=180^\circ-110^\circ=70^\circ \]
Exercice 10 — Rectangle
Citer deux propriétés du rectangle.
Corrigé :
Un rectangle possède notamment les propriétés suivantes :
- ses quatre angles sont droits ;
- ses côtés opposés sont parallèles ;
- ses côtés opposés sont de même longueur ;
- ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
- ses quatre angles sont droits ;
- ses côtés opposés sont parallèles ;
- ses côtés opposés sont de même longueur ;
- ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Exercice 11 — Losange
Citer deux propriétés du losange.
Corrigé :
Un losange possède notamment les propriétés suivantes :
- ses quatre côtés sont de même longueur ;
- ses côtés opposés sont parallèles ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses diagonales sont perpendiculaires.
- ses quatre côtés sont de même longueur ;
- ses côtés opposés sont parallèles ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses diagonales sont perpendiculaires.
Exercice 12 — Carré
Pourquoi peut-on dire qu’un carré est à la fois un rectangle et un losange ?
Corrigé :
Un carré a :
- quatre angles droits, donc c’est un rectangle ;
- quatre côtés de même longueur, donc c’est un losange.
Il vérifie donc les propriétés des deux figures.
- quatre angles droits, donc c’est un rectangle ;
- quatre côtés de même longueur, donc c’est un losange.
Il vérifie donc les propriétés des deux figures.
Exercice 13 — Construction d’un triangle isocèle
Rédiger un programme de construction d’un triangle isocèle \(ABC\) en \(A\) tel que :
\[
AB=AC=5\text{ cm} \quad \text{et} \quad BC=6\text{ cm}
\]
Corrigé :
Programme possible :
1. tracer le segment \([BC]\) de longueur \(6\) cm ;
2. tracer le cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm ;
3. tracer le cercle de centre \(C\) et de rayon \(5\) cm ;
4. noter \(A\) un point d’intersection des deux cercles ;
5. tracer les segments \([AB]\) et \([AC]\).
1. tracer le segment \([BC]\) de longueur \(6\) cm ;
2. tracer le cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm ;
3. tracer le cercle de centre \(C\) et de rayon \(5\) cm ;
4. noter \(A\) un point d’intersection des deux cercles ;
5. tracer les segments \([AB]\) et \([AC]\).
Exercice 14 — Propriété des diagonales
Compléter :
1. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur ________.
2. Dans un rectangle, les diagonales sont de même ________.
3. Dans un losange, les diagonales sont ________.
1. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur ________.
2. Dans un rectangle, les diagonales sont de même ________.
3. Dans un losange, les diagonales sont ________.
Corrigé :
1. milieu.
2. longueur.
3. perpendiculaires.
2. longueur.
3. perpendiculaires.
Exercice 15 — Déduire une nature
Un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Quelle est sa nature ?
Corrigé :
Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits est un :
\[
\text{carré}
\]
Exercice 16 — Déduire une autre nature
Un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles et ses quatre angles droits. Quelle est sa nature ?
Corrigé :
Un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles et quatre angles droits est un :
\[
\text{rectangle}
\]
Un carré est un cas particulier de rectangle.
Exercice 17 — Angle dans un triangle isocèle
Dans un triangle isocèle en \(S\), on sait que \(\widehat{A}=52^\circ\). Calculer \(\widehat{B}\) puis \(\widehat{S}\).
Corrigé :
Dans un triangle isocèle en \(S\), les angles à la base sont égaux.
Donc : \[ \widehat{B}=\widehat{A}=52^\circ \] Puis : \[ \widehat{S}=180^\circ-52^\circ-52^\circ=76^\circ \]
Donc : \[ \widehat{B}=\widehat{A}=52^\circ \] Puis : \[ \widehat{S}=180^\circ-52^\circ-52^\circ=76^\circ \]
Exercice 18 — Périmètre d’un carré
Un carré a un côté de \(7\) cm. Calculer son périmètre.
Corrigé :
Le périmètre d’un carré vaut :
\[
4\times \text{côté}
\]
Donc :
\[
4\times 7=28
\]
Le périmètre est :
\[
28\text{ cm}
\]
Exercice 19 — Raisonnement sur un parallélogramme
Expliquer pourquoi un rectangle est un parallélogramme particulier.
Corrigé :
Un rectangle possède deux paires de côtés opposés parallèles.
Il vérifie donc la définition d’un parallélogramme.
C’est un parallélogramme particulier dont les quatre angles sont droits.
Il vérifie donc la définition d’un parallélogramme.
C’est un parallélogramme particulier dont les quatre angles sont droits.
Exercice 20 — Problème final
Dans un parallélogramme \(ABCD\), on sait que :
\[
AB=8\text{ cm},\quad BC=5\text{ cm}
\]
Calculer le périmètre de \(ABCD\).
Corrigé :
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.
Donc : \[ AB=CD=8\text{ cm},\quad BC=AD=5\text{ cm} \] Le périmètre vaut : \[ 8+5+8+5=26 \] Donc : \[ P=26\text{ cm} \]
Donc : \[ AB=CD=8\text{ cm},\quad BC=AD=5\text{ cm} \] Le périmètre vaut : \[ 8+5+8+5=26 \] Donc : \[ P=26\text{ cm} \]