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- Soigne les justifications : médiatrice, milieu, conservation.
On considère une droite \((d)\) et trois points \(A\), \(B\), \(C\) situés hors de \((d)\). Construire les images \(A'\), \(B'\), \(C'\) par symétrie axiale d’axe \((d)\).
- Quelle relation géométrique relie \((d)\) et \([AA']\) ?
- Quel rôle joue l’axe \((d)\) par rapport à \([AA']\) ?
- Écrire une phrase de justification correcte.
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Méthode : pour chaque point (ex. \(A\)) :
- Tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\).
- Sur cette perpendiculaire, placer \(A'\) de l’autre côté de \((d)\) avec la même distance à \((d)\).
Propriété : \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\) donc \([AA'] \perp (d)\) et \(A\), \(A'\) sont à la même distance de \((d)\).
Justification type : “Comme \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\), on a \([AA'] \perp (d)\) et \(A\) et \(A'\) sont équidistants de \((d)\).”
Soit un point \(O\). Construire l’image \(M'\) d’un point \(M\) par symétrie centrale de centre \(O\).
- Où se situe le point \(O\) par rapport au segment \([MM']\) ?
- Quelles égalités de longueurs peut-on écrire ?
- Donner une phrase de justification.
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Construction : tracer la droite \((OM)\). Placer \(M'\) sur \((OM)\) de l’autre côté de \(O\) tel que \(OM'=OM\).
Propriété : \(O\) est le milieu de \([MM']\) donc \(OM=OM'\) et \(M\), \(O\), \(M'\) sont alignés.
Justification type : “Comme \(O\) est le milieu de \([MM']\), on a \(OM=OM'\) et \(M, O, M'\) alignés.”
Un triangle \(ABC\) est transformé en \(A'B'C'\) par une symétrie (axiale ou centrale). Compléter et justifier :
- \(AB = \dots\)
- \(\widehat{ABC} = \dots\)
- \(AC \parallel \dots\) (si \((AC)\) est parallèle à une droite \((\Delta)\), que devient cette propriété ?)
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Les symétries sont des isométries : elles conservent longueurs, angles, alignement et parallélisme.
- \(AB = A'B'\)
- \(\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}\)
- Si \((AC)\parallel(\Delta)\), alors \((A'C')\parallel(\Delta')\) où \((\Delta')\) est l’image de \((\Delta)\) par la même symétrie.
Justification : conservation des angles ⇒ conservation du parallélisme ; conservation des longueurs ⇒ segments correspondants égaux.
On considère une flèche (un petit triangle avec une pointe) orientée vers la droite. Elle est transformée par :
- une symétrie axiale d’axe vertical \((d)\),
- une symétrie centrale de centre \(O\).
Dans chaque cas, indiquer si la flèche pointe encore vers la droite, et expliquer.
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- Symétrie axiale (axe vertical) : la flèche pointe vers la gauche.
✅ L’orientation est inversée (effet “miroir”). - Symétrie centrale : la flèche pointe vers la gauche.
✅ C’est une rotation de 180°, donc la direction s’inverse.
Piège : axiale = miroir ; centrale = demi-tour (180°). Dans les deux cas, certains sens peuvent changer selon la situation.
Une frise est construite en répétant un motif \(M\) le long d’une droite. On observe que le motif se répète tous les 6 cm vers la droite.
- Quelle transformation permet de passer d’un motif au suivant ?
- Décrire le pas de la frise (direction, sens, longueur).
- Combien de motifs complets obtient-on sur une bande de 60 cm ?
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- Une translation.
- Pas : vecteur horizontal, sens vers la droite, longueur 6 cm.
- \(60 \div 6 = 10\) → 10 motifs.
Piège : confondre “pas = 6 cm” avec “10 cm” si on compte les espaces au lieu de la distance motif → motif.
On veut paver le plan avec des hexagones réguliers de côté 3 cm. Répondre aux questions suivantes.
- Explique pourquoi des hexagones réguliers peuvent paver le plan sans trou.
- Quel est l’angle intérieur d’un hexagone régulier ?
- Combien d’hexagones se rencontrent autour d’un même point du pavage ?
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Idée : autour d’un point, la somme des angles doit faire \(360^\circ\).
- Les hexagones s’assemblent “bord à bord” avec des angles qui remplissent \(360^\circ\), donc pas de trou.
- Angle intérieur d’un hexagone régulier : \(120^\circ\).
- \(360^\circ \div 120^\circ = 3\) → 3 hexagones autour d’un point.
Conclusion : pavage possible, sans trou ni chevauchement.
On observe des transformations entre deux figures :
- Cas 1 : un point \(O\) est milieu de tous les segments reliant un point à son image.
- Cas 2 : une droite \((d)\) est médiatrice de tous les segments reliant un point à son image.
- Cas 3 : une figure est “glissée” sans tourner, toujours dans la même direction.
- Associer chaque cas à : translation / symétrie axiale / symétrie centrale.
- Donner, pour chaque cas, une propriété de conservation.
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-
Cas 1 → symétrie centrale (centre \(O\) milieu).
Cas 2 → symétrie axiale (axe \((d)\) médiatrice).
Cas 3 → translation (glissement). - Dans les trois cas : longueurs et angles conservés (isométries). En plus : axiale inverse l’orientation ; centrale conserve l’orientation.
On sait que \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont les images de \(A\), \(B\), \(C\) par une symétrie. On a mesuré : \(AB = 4{,}7\) cm et \(\widehat{ABC} = 52^\circ\).
- Donner la longueur \(A'B'\) et justifier.
- Donner la mesure de \(\widehat{A'B'C'}\) et justifier.
- Rédiger une phrase complète de niveau contrôle.
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- \(A'B' = AB = 4{,}7\) cm (conservation des longueurs).
- \(\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 52^\circ\) (conservation des angles).
- Rédaction : “Une symétrie est une isométrie : elle conserve les longueurs et les angles. Donc \(A'B' = AB = 4{,}7\) cm et \(\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 52^\circ\).”
- Axiale : axe = médiatrice, orientation inversée.
- Centrale : centre = milieu, équivaut à 180°.
- Conservation : longueurs, angles, parallélisme, aires.
- Frise : répétition par translation, pas = vecteur.
- Pavage : recouvre le plan sans trou ni chevauchement.