Exercices corrigés — Proportionnalité (5e)

Dire si chaque situation relève de la proportionnalité et justifier brièvement.

1. A. Des pommes sont vendues au même prix au kilogramme : 2 kg coûtent 5 € et 5 kg coûtent 12,50 €.
2. B. Un taxi facture 4 € de prise en charge puis 2 € par kilomètre.
3. C. À vitesse constante, un cycliste parcourt 12 km en 30 min et 24 km en 1 h.
4. D. Le côté d’un carré mesure 3 cm puis 6 cm ; son aire vaut 9 cm² puis 36 cm².
5. E. Une recette utilise 250 g de farine pour 4 personnes et 500 g pour 8 personnes.
6. F. À 10 ans un enfant mesure 1,42 m et à 15 ans 1,67 m.

Compléter la valeur manquante dans chaque tableau.

1. A.

   Nombre de cahiers	3	7
   Prix (€)	9	\(\square\)

2. B.

   Masse (kg)	4	9
   Prix (€)	10	\(\square\)

3. C.

   Durée (h)	2	5
   Distance (km)	90	\(\square\)

4. D.

   Nombre de personnes	4	10
   Farine (g)	300	\(\square\)

5. E.

   Longueur sur le plan (cm)	3	8
   Longueur réelle (m)	12	\(\square\)

6. F.

   Nombre de bouteilles	6	15
   Volume (L)	9	\(\square\)

Compléter chaque tableau sans calculer d’abord le coefficient. Écrire l’opération utilisée.

1. A.

   Paquets	2	6	8
   Masse (g)	150	450	\(\square\)

2. B.

   Bouteilles	3	9	12
   Volume (L)	4,5	13,5	\(\square\)

3. C.

   Billets	4	8	12
   Prix (€)	28	56	\(\square\)

4. D.

   Temps (min)	10	20	30
   Distance (km)	8	16	\(\square\)

5. E.

   Personnes	2	4	6
   Farine (g)	125	250	\(\square\)

6. F.

   Longueur (m)	5	10	15
   Prix (€)	12	24	\(\square\)

Résoudre en passant par une unité.

1. A. 5 kg de tomates coûtent 17,50 €. Quel est le prix de 1 kg puis de 8 kg ?
2. B. 8 cahiers coûtent 14,40 €. Quel est le prix d’un cahier puis de 15 cahiers ?
3. C. 6 m de ruban coûtent 9 €. Quel est le prix de 1 m puis de 14 m ?
4. D. 4 personnes utilisent 300 g de riz. Quelle masse pour 1 personne puis pour 10 personnes ?
5. E. 3 h correspondent à 210 km à allure constante. Quelle distance en 1 h puis en 5 h ?
6. F. 12 bouteilles contiennent 18 L. Quel volume pour 1 bouteille puis pour 7 bouteilles ?

Calculer le coefficient demandé et expliquer ce qu’il représente.

1. A. Un maraîcher vend 3 kg de pommes 7,50 €. Quel coefficient permet de passer de la masse au prix ? Que représente-t-il ?
2. B. Une voiture parcourt 180 km en 3 h. Quel coefficient permet de passer du temps à la distance ? Que représente-t-il ?
3. C. Sur un plan, 2 cm représentent 10 m. Quel coefficient permet de passer des cm du plan aux mètres réels ?
4. D. 4 personnes nécessitent 320 g de pâtes. Quel coefficient permet de passer du nombre de personnes à la masse ?
5. E. 5 tickets coûtent 17,50 €. Quel coefficient permet de passer du nombre de tickets au prix ?
6. F. Un robinet remplit 24 L en 6 min à débit constant. Quel coefficient permet de passer du temps au volume ?

Compléter mentalement chaque égalité.

1. A. Compléter : \(\dfrac{1}{2}\) = … %.
2. B. Compléter : \(\dfrac{1}{4}\) = … %.
3. C. Compléter : \(\dfrac{3}{4}\) = … %.
4. D. Compléter : \(\dfrac{1}{5}\) = … %.
5. E. Compléter : \(\dfrac{2}{5}\) = … %.
6. F. Compléter : \(\dfrac{7}{10}\) = … %.

Résoudre chaque problème en choisissant une procédure adaptée.

1. A. Une recette pour 4 personnes utilise 300 g de farine. Quelle quantité pour 6 personnes ?
2. B. Pour 3 personnes, il faut 45 cL de lait. Quelle quantité pour 8 personnes ?
3. C. Pour 5 personnes, on utilise 350 g de riz. Quelle masse pour 12 personnes ?
4. D. Pour 6 personnes, une soupe demande 9 carottes. Combien pour 10 personnes ?
5. E. Pour 8 personnes, il faut 600 g de fruits. Quelle masse pour 14 personnes ?
6. F. Pour 4 personnes, on utilise 2,4 L de boisson. Quel volume pour 15 personnes ?

Calculer le prix demandé.

1. A. Le prix est de 2,80 € par kilogramme. Combien coûtent 4,3 kg ?
2. B. Le tissu coûte 6,50 € par mètre. Combien coûtent 2,4 m ?
3. C. Le carburant est affiché à 1,75 € par litre. Combien coûtent 12 L ?
4. D. Une impression coûte 0,18 € par page. Prix de 35 pages ?
5. E. Un fromage coûte 14 € par kilogramme. Prix de 0,75 kg ?
6. F. Des graines coûtent 4,20 € par kilogramme. Prix de 3,5 kg ?

Calculer chaque pourcentage d’une quantité.

1. A. Calculer 15 % de 80.
2. B. Calculer 25 % de 64.
3. C. Calculer 12 % de 250.
4. D. Calculer 40 % de 135.
5. E. Calculer 5 % de 360.
6. F. Calculer 75 % de 48.

Calculer le pourcentage correspondant à la partie indiquée.

1. A. Dans un collège de 600 élèves, 180 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
2. B. Sur 80 élèves, 52 ont rendu le devoir. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
3. C. Sur 250 places, 200 sont occupées. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
4. D. Sur 120 livres, 18 sont des dictionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
5. E. Sur 40 questions, 34 sont réussies. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
6. F. Sur 500 visiteurs, 125 sont des enfants. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

Compléter toutes les cases manquantes et expliquer le coefficient utilisé.

1. A.

   Nombre de baguettes	2	\(\square\)	8
   Prix (€)	2,4	6	\(\square\)

2. B.

   Temps (h)	1	3	\(\square\)
   Distance (km)	72	\(\square\)	360

3. C.

   Masse (kg)	2	\(\square\)	10
   Prix (€)	5	15	\(\square\)

4. D.

   Personnes	4	6	\(\square\)
   Farine (g)	300	\(\square\)	750

5. E.

   Plan (cm)	1	\(\square\)	7
   Réel (m)	50	200	\(\square\)

6. F.

   Bouteilles	3	\(\square\)	12
   Volume (L)	4,5	10,5	\(\square\)

Dire si chaque tableau est proportionnel et justifier par un calcul.

1. A.

   Nombre de lots	2	5	8
   Prix (€)	6	15	24

2. B.

   Distance (km)	10	20	30
   Durée (min)	15	30	50

3. C.

   Masse (kg)	3	4	5
   Prix (€)	7,5	10	12,5

4. D.

   Cahiers	2	4	7
   Prix (€)	5	10	17,5

5. E.

   Temps (h)	1	2	3
   Distance (km)	60	120	185

6. F.

   Longueur (cm)	4	6	10
   Masse (g)	12	18	30

Observer les six graphiques puis répondre.

1. A. Le graphique A représente-t-il une situation de proportionnalité ?
2. B. Le graphique B représente-t-il une situation de proportionnalité ?
3. C. Le graphique C représente-t-il une situation de proportionnalité ?
4. D. Le graphique D représente-t-il une situation de proportionnalité ?
5. E. Le graphique E représente-t-il une situation de proportionnalité ?
6. F. Le graphique F représente-t-il une situation de proportionnalité ?

Une pompe fonctionne à débit constant. Répondre aux questions dans l’ordre.

1. A. Une pompe remplit 6 L en 2 min à débit constant. Quel volume remplit-elle en 1 min ?
2. B. Compléter : 0 min → 0 L ; 1 min → 3 L ; 2 min → 6 L ; 3 min → ? ; 5 min → ?.
3. C. Placer dans le repère les points correspondant aux temps 0, 1, 2, 3 et 5 min.
4. D. Que remarques-tu sur les points obtenus ?
5. E. Quel est le coefficient de proportionnalité ? Que représente-t-il ?
6. F. Sans refaire tout le graphique, prévoir le volume obtenu en 8 min.

Calculer la distance réelle et donner une unité adaptée.

1. A. Échelle 1:10 000 ; 3 cm sur le plan. Calculer la distance réelle.
2. B. Échelle 1:25 000 ; 4,8 cm sur le plan. Calculer la distance réelle.
3. C. Échelle 1:50 000 ; 7 cm sur le plan. Calculer la distance réelle.
4. D. Échelle 1:2 000 ; 6,5 cm sur le plan. Calculer la distance réelle.
5. E. Échelle 1:100 ; 8 cm sur le plan. Calculer la distance réelle.
6. F. Échelle 1:200 000 ; 2,5 cm sur le plan. Calculer la distance réelle.

Calculer la longueur à représenter sur la carte ou le plan.

1. A. Échelle 1:10 000 ; distance réelle 250 m. Quelle longueur sur la carte ?
2. B. Échelle 1:25 000 ; distance réelle 1,5 km. Quelle longueur sur la carte ?
3. C. Échelle 1:50 000 ; distance réelle 4 km. Quelle longueur sur la carte ?
4. D. Échelle 1:2 000 ; distance réelle 90 m. Quelle longueur sur la carte ?
5. E. Échelle 1:100 ; distance réelle 3,2 m. Quelle longueur sur la carte ?
6. F. Échelle 1:200 000 ; distance réelle 14 km. Quelle longueur sur la carte ?

Déterminer chaque échelle.

1. A. 2 cm sur le plan représentent 500 m. Déterminer l’échelle sous la forme 1:n.
2. B. 5 cm sur le plan représentent 2 km. Déterminer l’échelle sous la forme 1:n.
3. C. 4 cm sur le plan représentent 80 m. Déterminer l’échelle sous la forme 1:n.
4. D. 8 cm sur le plan représentent 4 km. Déterminer l’échelle sous la forme 1:n.
5. E. 10 cm sur le plan représentent 25 m. Déterminer l’échelle sous la forme 1:n.
6. F. 3 cm sur le plan représentent 900 m. Déterminer l’échelle sous la forme 1:n.

Calculer la vitesse moyenne dans chaque situation.

1. A. Une voiture parcourt 180 km en 3 h. Calculer la vitesse moyenne.
2. B. Un cycliste parcourt 42 km en 2 h. Calculer la vitesse moyenne.
3. C. Un train parcourt 315 km en 3 h 30 min. Calculer la vitesse moyenne.
4. D. Un marcheur parcourt 12 km en 2 h 30 min. Calculer la vitesse moyenne.
5. E. Un bateau parcourt 96 km en 4 h. Calculer la vitesse moyenne.
6. F. Un coureur parcourt 15 km en 1 h 15 min. Calculer la vitesse moyenne.

Calculer la distance parcourue.

1. A. À 75 km/h, quelle distance est parcourue en 2 h 40 min ?
2. B. À 60 km/h, quelle distance est parcourue en 1 h 45 min ?
3. C. À 90 km/h, quelle distance est parcourue en 2 h 20 min ?
4. D. À 18 km/h, quelle distance est parcourue en 1 h 30 min ?
5. E. À 12 km/h, quelle distance est parcourue en 2 h 15 min ?
6. F. À 5 km/h, quelle distance est parcourue en 3 h 36 min ?

Calculer chaque durée et l’exprimer en heures et minutes lorsque nécessaire.

1. A. À 80 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 200 km ?
2. B. À 60 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 150 km ?
3. C. À 90 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 225 km ?
4. D. À 18 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 45 km ?
5. E. À 12 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 30 km ?
6. F. À 5 km/h, combien de temps faut-il pour parcourir 18 km ?

Pour chaque situation, indiquer la procédure la plus efficace et expliquer pourquoi.

1. A. Pour 4 personnes il faut 200 g de semoule. On cherche la masse pour 8 personnes. Quelle méthode est la plus directe ?
2. B. 3 billets coûtent 18 €. On cherche le prix de 5 billets. Quelle méthode est la plus naturelle ?
3. C. On sait que 2 kg coûtent 7 € et 6 kg coûtent 21 €. Pour 8 kg, quelle opération sur les colonnes est efficace ?
4. D. Une voiture parcourt 150 km en 2 h 30. Pour prévoir 1 h, quelle méthode ?
5. E. Sur une carte, 1 cm représente 250 m. Pour 6 cm, quelle méthode ?
6. F. 25 % de 84 doit être calculé mentalement. Quelle procédure courte ?

Retrouver la quantité totale.

1. A. 30 % d’une classe représentent 9 élèves. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ?
2. B. 25 % d’un stock représentent 18 objets. Quel est l’effectif total ?
3. C. 40 % d’une distance représentent 12 km. Quelle est la distance totale ?
4. D. 15 % d’une somme représentent 12 €. Quelle est la somme totale ?
5. E. 75 % d’un réservoir correspondent à 45 L. Quelle est sa capacité totale ?
6. F. 20 % d’un groupe représentent 7 personnes. Combien de personnes dans le groupe ?

Analyser chaque affirmation. Expliquer l’erreur puis corriger.

1. A. Léa affirme : « 5 kg coûtent 12 €, donc 10 kg coûtent 17 €. » Corriger si nécessaire.
2. B. Sam écrit : « 20 % de 70 = 20 ÷ 70 = 0,286. » Corriger si nécessaire.
3. C. Noé lit une échelle 1:25 000 et écrit : « 4 cm représentent 1000 km. » Corriger si nécessaire.
4. D. Inès écrit : « 180 km en 3 h donnent 180 × 3 = 540 km/h. » Corriger si nécessaire.
5. E. Adam affirme qu’un tableau est proportionnel parce que les deux lignes sont croissantes. Corriger si nécessaire.
6. F. Maya affirme qu’un graphique proportionnel doit seulement être une droite. Corriger si nécessaire.

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifier.

1. A. Si une situation est proportionnelle et que la première grandeur est multipliée par 3, la seconde est aussi multipliée par 3.
2. B. Dans un tableau proportionnel, on peut ajouter 5 à chaque nombre des deux lignes et conserver la proportionnalité.
3. C. 50 % d’une quantité, c’est la moitié de cette quantité.
4. D. À l’échelle 1:100, 1 cm sur le plan représente 1 m en réalité.
5. E. Si des points sont alignés mais que la droite ne passe pas par l’origine, la situation est proportionnelle.
6. F. À vitesse constante, distance et durée sont proportionnelles.

Résoudre le problème dans l’ordre et contrôler les résultats.

1. A. Sur une carte à l’échelle 1:25 000, un parcours mesure 7,2 cm. Calculer la distance réelle.
2. B. Le parcours est effectué à 6 km/h. Quelle durée faut-il pour 1,8 km ?
3. C. Une variante représente 3 cm sur la même carte. Quelle distance réelle ajoute-t-elle ?
4. D. Quelle est alors la longueur totale du parcours avec la variante ?
5. E. À 6 km/h, combien de temps faut-il pour le parcours total ?
6. F. Un élève annonce 2 h 55 min. Expliquer rapidement pourquoi ce résultat est impossible.

Étudier la même situation sous plusieurs représentations.

1. A. Un réservoir reçoit 12 L par minute. Compléter mentalement : 1 min → 12 L ; 2 min → ? ; 4 min → ?.
2. B. Donner le coefficient de proportionnalité et son unité.
3. C. Écrire une formule donnant le volume V en fonction du temps t, en minutes.
4. D. Vérifier sur le graphique que les points correspondant à 1, 2, 3 et 4 min sont alignés avec l’origine.
5. E. Quel volume devrait correspondre à 5 min ?
6. F. Sur le dessin, le point vide est placé à (5 ; 58). Peut-il appartenir à la représentation de cette situation ?

Dans chaque tableau, une seule valeur empêche la proportionnalité. La repérer et la corriger.

1. A.

   Nombre d’objets	2	5	8	10
   Prix (€)	6	15	25	30

2. B.

   Temps (h)	1	2	3	4
   Distance (km)	70	140	210	285

3. C.

   Personnes	2	4	6	8
   Farine (g)	150	300	440	600

4. D.

   Longueur plan (cm)	1	2	5	7
   Réel (m)	40	80	200	270

5. E.

   Bouteilles	2	4	6	10
   Volume (L)	3	6	9	16

6. F.

   Masse (kg)	1	3	5	8
   Prix (€)	2,4	7,2	12	19

Résoudre en privilégiant le raisonnement et une justification courte.

1. A. Dans une situation proportionnelle, on sait que 4 unités correspondent à 18. Sans passer par 1, expliquer comment obtenir la valeur correspondant à 12 unités.
2. B. On sait que 3 unités correspondent à 14 et 5 unités à 22. Peut-il s’agir d’une proportionnalité ?
3. C. Une grandeur y est proportionnelle à x avec coefficient 2,5. Si x augmente de 4, de combien y augmente-t-elle ?
4. D. Un graphique contient l’origine et les points (2 ; 7) et (6 ; 21). Donner une justification numérique de la proportionnalité.
5. E. 20 % d’une quantité valent 14. Sans utiliser de formule toute faite, expliquer comment trouver 100 %.
6. F. Sur une carte, 3 cm représentent 1,2 km. Expliquer comment trouver mentalement la distance correspondant à 7,5 cm.

Passerelle vers la 4e — approfondissement non évaluatif.

Approfondissement non évaluatif du niveau 5e. Découvrir progressivement une méthode de 4e.

1. A. Un prix de 80 € augmente de 10 %. Calculer d’abord l’augmentation, puis le nouveau prix.
2. B. Un prix de 60 € baisse de 20 %. Calculer la baisse puis le prix final.
3. C. Pour une hausse de 10 %, quel nombre multiplie directement la valeur initiale pour obtenir la valeur finale ?
4. D. Pour une baisse de 20 %, quel nombre multiplie directement la valeur initiale ?
5. E. Vérifier avec 80 € que multiplier par 1,10 donne le même résultat que calculer +10 %.
6. F. Expliquer pourquoi cette méthode du coefficient multiplicateur est indiquée ici comme une passerelle et non comme un attendu normal de 5e.

Traiter les six questions avec une rédaction et un calcul justifiés.

1. A.

   Masse (kg)	2	5	8
   Prix (€)	7	17,5	28

   Le tableau est-il proportionnel ? Donner le coefficient.

2. B. 7 barquettes coûtent 10,50 €. Combien coûtent 15 barquettes ?
3. C. Dans un collège de 720 élèves, 216 participent à une activité. Quel pourcentage ?
4. D. Sur un plan à l’échelle 1:15 000, une distance mesure 2,4 cm. Calculer la distance réelle.
5. E. Un automobiliste parcourt 135 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
6. F. À la même vitesse, quelle distance parcourt-il en 2 h 20 min ?