Fractions & nombres rationnels

Fractions comme quotient • nombres rationnels • écritures (fraction/décimal) • repérage sur une droite graduée • comparaison (même dénominateur, mise au même dénominateur, produits en croix) • simplification • opérations (addition/soustraction/multiplication/division) • problèmes concrets — programme de 5e.

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Fiche ultra-synthèse — Fractions & nombres rationnels
Le mémo complet : règles + méthodes + pièges (comparaison, simplification, calculs).
À relire avant contrôle Réflexes Anti-erreurs
1) Indispensables
Définition
\[ \frac{a}{b}\quad \text{avec } b\neq 0 \] C’est le quotient de \(a\) par \(b\).
Rationnels
Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire \(\frac{a}{b}\).
Ex : \(5=\frac{5}{1}\), \(0{,}25=\frac{1}{4}\).
Repère : “dénominateur = nombre de parts égales de l’unité”.
2) Comparer des fractions
Même dénominateur
On compare les numérateurs : \[ \frac{a}{b} < \frac{c}{b}\iff a<c \]
Même numérateur
Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite : \[ \frac{a}{b} > \frac{a}{d}\iff b<d \]
Dénominateurs différents : 2 méthodes
  • Mise au même dénominateur (souvent le PPCM).
  • Produit en croix : comparer \(a\times d\) et \(c\times b\) pour \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\).
Exemple : \[ \frac{2}{3}\;\ ?\;\ \frac{5}{8}\quad\Rightarrow\quad 2\times8=16,\;5\times3=15\Rightarrow \frac{2}{3}>\frac{5}{8}. \]
Piège : on ne compare jamais en comparant séparément numérateur et dénominateur (ça peut être faux).
3) Simplifier une fraction
On simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul : \[ \frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}\quad (k\neq0) \]
Méthode rapide
  • Tester 2, puis 3, puis 5…
  • Ou utiliser le PGCD si tu sais faire.
Exemple
\[ \frac{12}{18}=\frac{12\div6}{18\div6}=\frac{2}{3} \]
Irréductible : une fraction est irréductible si on ne peut plus la simplifier (PGCD = 1).
4) Tableau récap’ — opérations sur les fractions
À connaître (et à appliquer dans cet ordre : simplifier si possible).
Opération Règle Exemple
Ajouter / soustraire Mettre au même dénominateur : \(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\) \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
Multiplier \(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\) \(\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\)
Diviser Multiplier par l’inverse : \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\) \(\frac{4}{7}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{6}{7}\)
Réflexe : après chaque calcul, simplifier le résultat si possible.
5) Pièges classiques (à éviter)
Piège 1 : addition fausse
\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\neq\frac{a+c}{b+d} \]
Piège 2 : oublier de changer en division
\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c} \]
Piège 3 : comparer “au feeling”
Toujours : même dénominateur ou produit en croix.
Piège 4 : simplifier “en travers” dans une somme
On peut simplifier dans un produit, pas directement dans une addition.
6) Checklist “je vérifie”
  • Mon dénominateur n’est jamais 0.
  • Pour comparer : même dénominateur ou produit en croix.
  • Pour addition/soustraction : je mets au même dénominateur.
  • Pour division : je multiplie par l’inverse.
  • Je simplifie le résultat (si possible).
  • Je vérifie la cohérence (ex : \(\frac{7}{2}>3\)).
Objectif : zéro erreur “mécanique” ⇒ tu gagnes des points faciles.