Fiche — Fractions et nombres rationnels
L’essentiel à retenir sur les fractions : écriture fractionnaire, fractions égales, simplification, comparaison, addition et soustraction.
Écriture fractionnaire
Fractions égales
Simplifier
Comparer
Addition
Soustraction
Définition
\[
\frac{3}{4},\quad \frac{5}{2},\quad \frac{7}{10}
\]
Une fraction \(\frac{a}{b}\) est un quotient avec :
- \(a\) : le numérateur
- \(b\) : le dénominateur, avec \(b\neq 0\)
Sens d’une fraction
\(\frac{3}{4}\) signifie :
- un tout partagé en 4 parts égales
- et on en prend 3 parts
\[
\frac{1}{2} \text{ est la moitié} \qquad ; \qquad \frac{1}{4} \text{ est le quart}
\]
Fractions égales
| Fraction | Transformation | Fraction égale |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(\times 2\) | \(\frac{2}{4}\) |
| \(\frac{2}{3}\) | \(\times 2\) | \(\frac{4}{6}\) |
| \(\frac{3}{5}\) | \(\times 3\) | \(\frac{9}{15}\) |
\[
\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}
\]
Pour obtenir une fraction égale, on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Simplifier une fraction
\[
\frac{12}{18}=\frac{12\div 6}{18\div 6}=\frac{2}{3}
\]
Simplifier une fraction, c’est écrire une fraction égale avec des nombres plus petits.
Fraction irréductible
\[
\frac{2}{3}
\]
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Comparer deux fractions
| Cas | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Même dénominateur | On compare les numérateurs | \(\frac{5}{8}>\frac{3}{8}\) |
| Même numérateur | La plus petite part donne la plus petite fraction | \(\frac{3}{7}<\frac{3}{5}\) |
| Dénominateurs différents | On met au même dénominateur | \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\) et \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\) |
\[
\frac{1}{2}<\frac{2}{3}
\qquad\text{car}\qquad
\frac{3}{6}<\frac{4}{6}
\]
Addition de fractions
\[
\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}
\]
| Calcul | Étape intermédiaire | Résultat |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\) | \(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\) | \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) |
| \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\) | — | \(\frac{4}{4}=1\) |
| \(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}\) | \(\frac{4}{10}+\frac{1}{10}\) | \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) |
Pour additionner des fractions, il faut d’abord les écrire avec le même dénominateur.
Soustraction de fractions
\[
\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
\]
| Calcul | Étape intermédiaire | Résultat |
|---|---|---|
| \(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\) | \(\frac{5}{6}-\frac{2}{6}\) | \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) |
| \(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\) | — | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}\) | \(\frac{7}{10}-\frac{4}{10}\) | \(\frac{3}{10}\) |
9)*
Méthode rapide
\[
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}
\]
\[
=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}
\]
\[
=\frac{5}{6}
\]
Étapes :
- chercher un dénominateur commun ;
- transformer les fractions ;
- calculer ;
- simplifier si possible.
Erreurs fréquentes
| Erreur | Statut | Correction |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}\) | Faux | Il faut mettre au même dénominateur : \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\), \(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\), donc \(\frac{5}{6}\). |
| \(\frac{12}{18}=\frac{1}{8}\) | Faux | On ne supprime pas des chiffres : \(\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\). |
| \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{6}{8}\) sont égales | Vrai | Car on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(2\). |
10)*
À retenir
\[
\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}
\]
\[
\text{Pour additionner ou soustraire, il faut le même dénominateur.}
\]
\[
\text{On simplifie le résultat final si possible.}
\]