Cours — Fractions et nombres rationnels
Tout ce qu’il faut : définition d’une fraction, fractions égales, simplification, comparaison, addition, soustraction et calcul d’une fraction d’une quantité.
Fraction
Numérateur / dénominateur
Fractions égales
Simplification
Comparaison
Addition / soustraction
1) Définition d’une fraction
\[
\frac{a}{b}\qquad \text{avec } b\neq 0
\]
Une fraction représente un quotient.
Dans \(\dfrac{a}{b}\), \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.
Dans \(\dfrac{a}{b}\), \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.
2) Fraction et partage
- \(\dfrac{1}{2}\) signifie une moitié.
- \(\dfrac{3}{4}\) signifie trois quarts.
- Le dénominateur indique en combien de parts égales on partage.
- Le numérateur indique combien de parts on prend.
3) Fractions égales
| Fraction | Transformation | Fraction égale |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{2}\) | \(\times 2\) | \(\dfrac{2}{4}\) |
| \(\dfrac{3}{5}\) | \(\times 3\) | \(\dfrac{9}{15}\) |
| \(\dfrac{8}{12}\) | \(\div 4\) | \(\dfrac{2}{3}\) |
On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul sans changer la valeur de la fraction.
4) Simplifier une fraction
\[
\frac{12}{18}=\frac{12\div 6}{18\div 6}=\frac{2}{3}
\]
Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Une fraction est irréductible lorsqu’on ne peut plus la simplifier.
Une fraction est irréductible lorsqu’on ne peut plus la simplifier.
5) Comparer deux fractions
Même dénominateur
\[
\frac{5}{8}>\frac{3}{8}
\]
Si les dénominateurs sont identiques, on compare simplement les numérateurs.
Dénominateurs différents
\[
\frac{3}{4}=\frac{6}{8}
\qquad ; \qquad
\frac{5}{8}=\frac{5}{8}
\]
\[
\frac{6}{8}>\frac{5}{8}
\Rightarrow
\frac{3}{4}>\frac{5}{8}
\]
On peut mettre les fractions au même dénominateur pour les comparer.
6) Fraction et nombre rationnel
\[
\frac{1}{2}=0,5
\qquad ; \qquad
\frac{3}{4}=0,75
\]
Tout nombre qui peut s’écrire sous la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b\neq 0\) est un nombre rationnel.
7) Addition de fractions
Même dénominateur
\[
\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{5}{7}
\]
On garde le dénominateur et on additionne les numérateurs.
Dénominateurs différents
\[
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}
=
\frac{3}{6}+\frac{2}{6}
=
\frac{5}{6}
\]
Il faut d’abord mettre les fractions au même dénominateur.
8) Soustraction de fractions
\[
\frac{3}{4}-\frac{1}{2}
=
\frac{3}{4}-\frac{2}{4}
=
\frac{1}{4}
\]
| Calcul | Transformation | Résultat |
|---|---|---|
| \(\dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{10}\) | Même dénominateur | \(\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\) |
| \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}\) | \(\dfrac{1}{4}\) |
| \(1-\dfrac{3}{8}\) | \(1=\dfrac{8}{8}\) | \(\dfrac{5}{8}\) |
Pour soustraire des fractions, il faut aussi les écrire avec le même dénominateur.
9) Prendre une fraction d’une quantité
\[
\frac{3}{5}\text{ de }20
=
20\times\frac{3}{5}
=
12
\]
Pour calculer une fraction d’une quantité, on multiplie la quantité par la fraction.
10)*
Méthode : mettre au même dénominateur
\[
\frac{2}{3}+\frac{1}{4}
\]
\[
=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}
\]
\[
=\frac{11}{12}
\]
On cherche un dénominateur commun, puis on transforme chaque fraction avant de calculer.
11) Exemple concret
\[
\frac{2}{5}\text{ de }30
=
30\times\frac{2}{5}
=
12
\]
\[
\text{Dans une classe de 30 élèves, cela représente 12 élèves.}
\]
12)*
À retenir
- Dans \(\dfrac{a}{b}\), \(a\) est le numérateur et \(b\) le dénominateur.
- Deux fractions égales représentent la même quantité.
- Simplifier, c’est diviser en haut et en bas par un même nombre.
- Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut le même dénominateur.
- Prendre une fraction d’une quantité revient à multiplier par cette fraction.