Cours premium — Fractions & nombres rationnels
Fractions comme quotients • écritures fractionnaires et décimales • comparaison • simplification • opérations • problèmes.
1) Fraction : définition et sens
Une fraction est un nombre de la forme :
\[
\frac{a}{b}\quad \text{avec } b \neq 0.
\]
Elle représente le quotient de \(a\) par \(b\).
Vocabulaire
- \(a\) : numérateur
- \(b\) : dénominateur
- \(\frac{a}{b}\) signifie “\(a\) partagé en \(b\) parts égales”.
Exemples
- \(\frac{3}{4}\) : 3 parts sur 4.
- \(\frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2}\).
- \(\frac{5}{5}=1\).
Réflexe : le dénominateur indique en combien de parts l’unité est découpée.
2) Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction :
\[
\frac{a}{b}\quad (b\neq0).
\]
- Les entiers sont rationnels : \(5=\frac{5}{1}\).
- Les décimaux sont rationnels : \(0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\).
- Les fractions sont rationnelles.
Attention : tous les nombres ne sont pas rationnels (ex : \(\sqrt{2}\)).
3) Repérage d’une fraction sur une droite graduée
Pour placer \(\frac{a}{b}\) :
- On repère l’intervalle \([0 ; 1]\).
- On le partage en \(b\) parts égales.
- On compte \(a\) parts à partir de 0.
Exemple
Pour placer \(\frac{3}{5}\) : on partage \([0 ; 1]\) en 5 parts égales, puis on prend la 3ᵉ.
4) Comparer des fractions
Même dénominateur
On compare les numérateurs :
\[
\frac{3}{7} < \frac{5}{7}
\]
Dénominateurs différents
On met au même dénominateur ou on utilise le produit en croix.
Exemple (produit en croix)
Comparer \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{5}{8}\).
\[
2\times8=16 \quad;\quad 5\times3=15
\]
Donc \(\frac{2}{3} > \frac{5}{8}\).
5) Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple
\[
\frac{12}{18}=\frac{12\div6}{18\div6}=\frac{2}{3}
\]
Astuce : chercher un diviseur commun (2, 3, 5…).
6) Opérations sur les fractions
Addition / soustraction
Même dénominateur :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\]
Multiplication
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}
\]
Division
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\]
7) Exemples guidés
Exemple 1
\[
\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{8}{4}=2
\]
Exemple 2
\[
\frac{2}{3}\times\frac{9}{5}=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}
\]
Exemple 3 (division)
\[
\frac{4}{7}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{6}{7}
\]