Exercices premium — Fractions & nombres rationnels
Progressif (bases → méthodes → pièges) + problèmes concrets. Corrigés détaillés masquables.
Exercice 1 — Vocabulaire & écritures
Pour chaque fraction, donner le numérateur, le dénominateur, puis écrire le nombre sous forme
“entier + fraction” si possible : \(\frac{9}{4}\), \(\frac{7}{7}\), \(\frac{13}{5}\).
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- \(\frac{9}{4}\) : numérateur 9, dénominateur 4, et \(\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4}\).
- \(\frac{7}{7}\) : numérateur 7, dénominateur 7, et \(\frac{7}{7}=1\).
- \(\frac{13}{5}\) : numérateur 13, dénominateur 5, et \(\frac{13}{5}=2+\frac{3}{5}\).
Réponse : \(\boxed{\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4};\ \frac{7}{7}=1;\ \frac{13}{5}=2+\frac{3}{5}}\)
Exercice 2 — Simplifier (automatismes)
Simplifier au maximum : \(\frac{12}{18}\), \(\frac{24}{36}\), \(\frac{45}{60}\), \(\frac{14}{49}\), \(\frac{81}{27}\).
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- \(\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\) (÷6)
- \(\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\) (÷12)
- \(\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\) (÷15)
- \(\frac{14}{49}=\frac{2}{7}\) (÷7)
- \(\frac{81}{27}=3\) (÷27)
Réponse : \(\boxed{\frac{2}{3};\ \frac{2}{3};\ \frac{3}{4};\ \frac{2}{7};\ 3}\)
Exercice 3 — Comparer (cas rapides)
Comparer en justifiant brièvement :
- a) \(\frac{3}{11}\) et \(\frac{8}{11}\)
- b) \(\frac{5}{6}\) et \(\frac{5}{9}\)
- c) \(\frac{7}{10}\) et \(\frac{9}{10}\)
- d) \(\frac{4}{13}\) et \(\frac{4}{7}\)
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- a) Même dénominateur : \(3<8\) donc \(\frac{3}{11}<\frac{8}{11}\).
- b) Même numérateur : \(6<9\) donc \(\frac{5}{6}>\frac{5}{9}\).
- c) Même dénominateur : \(7<9\) donc \(\frac{7}{10}<\frac{9}{10}\).
- d) Même numérateur : \(13>7\) donc \(\frac{4}{13}<\frac{4}{7}\).
Réponses : \(\boxed{<\ ;\ >\ ;\ <\ ;\ <}\)
Exercice 4 — Comparer (produit en croix)
Comparer (sans calculatrice) :
a) \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{5}{8}\)
b) \(\frac{7}{12}\) et \(\frac{3}{5}\)
c) \(\frac{11}{15}\) et \(\frac{5}{7}\).
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On compare \(a\times d\) et \(c\times b\).
- a) \(2\times8=16\) et \(5\times3=15\) ⇒ \(\frac{2}{3}>\frac{5}{8}\).
- b) \(7\times5=35\) et \(3\times12=36\) ⇒ \(\frac{7}{12}<\frac{3}{5}\).
- c) \(11\times7=77\) et \(5\times15=75\) ⇒ \(\frac{11}{15}>\frac{5}{7}\).
Réponses : \(\boxed{>\ ;\ <\ ;\ >}\)
Exercice 5 — Addition / soustraction (même dénominateur)
Calculer et simplifier :
- a) \(\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\)
- b) \(\frac{11}{9}-\frac{5}{9}\)
- c) \(\frac{7}{12}+\frac{3}{12}\)
- d) \(\frac{5}{6}-\frac{11}{6}\)
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- a) \(\frac{3+1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\).
- b) \(\frac{11-5}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).
- c) \(\frac{7+3}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\).
- d) \(\frac{5-11}{6}=\frac{-6}{6}=-1\).
Réponses : \(\boxed{\frac{1}{2};\ \frac{2}{3};\ \frac{5}{6};\ -1}\)
Exercice 6 — Addition / soustraction (dénominateurs différents)
Calculer en mettant au même dénominateur, puis simplifier :
- a) \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\)
- b) \(\frac{5}{12}-\frac{1}{8}\)
- c) \(\frac{7}{10}+\frac{3}{5}\)
- d) \(\frac{4}{9}-\frac{1}{3}\)
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- a) \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\) donc \(\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).
- b) PPCM(12,8)=24 : \(\frac{5}{12}=\frac{10}{24}\), \(\frac{1}{8}=\frac{3}{24}\) ⇒ \(\frac{7}{24}\).
- c) \(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\) ⇒ \(\frac{7}{10}+\frac{6}{10}=\frac{13}{10}=1+\frac{3}{10}\).
- d) \(\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\) ⇒ \(\frac{4}{9}-\frac{3}{9}=\frac{1}{9}\).
Réponses : \(\boxed{\frac{5}{6};\ \frac{7}{24};\ \frac{13}{10};\ \frac{1}{9}}\)
Exercice 7 — Multiplier (avec simplifications)
Calculer et simplifier :
- a) \(\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}\)
- b) \(\frac{7}{12}\times\frac{18}{21}\)
- c) \(\frac{4}{11}\times\frac{33}{8}\)
- d) \(\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}\)
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- a) \(\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\).
- b) \(\frac{7}{12}\times\frac{18}{21}=\frac{7\times18}{12\times21}\). Simplifier : \(18\div3=6\), \(21\div3=7\) ⇒ \(\frac{7\times6}{12\times7}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\).
- c) \(\frac{4}{11}\times\frac{33}{8}\). Simplifier \(33\div11=3\) ⇒ \(\frac{4\times3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\).
- d) \(\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}\). Simplifier \(5\) avec \(10\) (÷5) ⇒ \(\frac{1}{6}\times\frac{9}{2}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\).
Réponses : \(\boxed{\frac{2}{3};\ \frac{1}{2};\ \frac{3}{2};\ \frac{3}{4}}\)
Exercice 8 — Diviser (multiplier par l’inverse)
Calculer et simplifier :
- a) \(\frac{4}{7}\div\frac{2}{3}\)
- b) \(\frac{5}{6}\div\frac{10}{9}\)
- c) \(\frac{3}{8}\div\frac{1}{4}\)
- d) \(\frac{7}{12}\div\frac{14}{15}\)
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- a) \(\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}\).
- b) \(\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\).
- c) \(\frac{3}{8}\times\frac{4}{1}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\).
- d) \(\frac{7}{12}\times\frac{15}{14}\). Simplifier \(7\) avec \(14\) ⇒ \(\frac{1}{12}\times\frac{15}{2}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}\).
Réponses : \(\boxed{\frac{6}{7};\ \frac{3}{4};\ \frac{3}{2};\ \frac{5}{8}}\)
Exercice 9 — Pièges : repérer l’erreur
Un élève écrit :
\[
\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}
\]
1) Expliquer pourquoi c’est faux.
2) Donner le bon résultat.
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On ne peut pas additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément.
Il faut un même dénominateur :
\[
\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\quad;\quad \frac{1}{2}=\frac{3}{6}
\]
donc
\[
\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}=1+\frac{1}{6}.
\]
Réponse : \(\boxed{\frac{7}{6}}\)
Exercice 10 — Problèmes concrets
a) Recette
Une recette utilise \(\frac{3}{4}\) de litre de lait. Tu n’as qu’un verre de \(\frac{1}{8}\) de litre.
Combien de verres faut-il pour avoir \(\frac{3}{4}\) de litre ?
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Il faut calculer :
\[
\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}=\frac{3}{4}\times\frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6.
\]
Réponse : \(\boxed{6 \text{ verres}}\)
b) Distance
Paul a parcouru \(\frac{7}{10}\) km le matin, puis \(\frac{3}{5}\) km l’après-midi.
Quelle distance totale a-t-il parcourue ?
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\(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\), donc :
\[
\frac{7}{10}+\frac{6}{10}=\frac{13}{10}=1+\frac{3}{10}.
\]
Réponse : \(\boxed{\frac{13}{10}\ \text{km}}\)