Fiche — Divisibilité et nombres premiers
L’essentiel à retenir sur les multiples, les diviseurs, les critères de divisibilité, la décomposition en facteurs premiers et les nombres premiers.
Multiples
Diviseurs
Critères
Nombres premiers
Facteurs premiers
Décomposition
Multiple et diviseur
\[
24 = 6 \times 4
\]
Dans cette égalité :
- \(24\) est un multiple de \(6\) et de \(4\),
- \(6\) et \(4\) sont des diviseurs de \(24\).
Exemples simples
| Nombre | Quelques multiples | Quelques diviseurs |
|---|---|---|
| \(5\) | \(5, 10, 15, 20, \dots\) | \(1\) et \(5\) |
| \(12\) | \(12, 24, 36, 48, \dots\) | \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) |
Critères de divisibilité à connaître
| Nombre | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| \(2\) | Le chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\) | \(148\) est divisible par \(2\) |
| \(3\) | La somme des chiffres est multiple de \(3\) | \(132\) car \(1+3+2=6\) |
| \(5\) | Le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) | \(245\) est divisible par \(5\) |
| \(9\) | La somme des chiffres est multiple de \(9\) | \(729\) car \(7+2+9=18\) |
| \(10\) | Le chiffre des unités est \(0\) | \(430\) est divisible par \(10\) |
Comment tester une divisibilité
\[
258
\]
- par \(2\) : oui, car \(8\) est pair ;
- par \(3\) : oui, car \(2+5+8=15\) et \(15\) est multiple de \(3\) ;
- par \(5\) : non, car l’unité n’est ni \(0\) ni \(5\).
Attention
\[
111
\]
\(111\) est divisible par \(3\) car :
\[
1+1+1=3
\]
Mais \(111\) n’est pas divisible par \(2\), car son chiffre des unités est \(1\).
Nombre premier
\[
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\dots
\]
Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs :
- \(1\)
- lui-même
Exemple :
- \(7\) est premier, car ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(7\).
- \(12\) n’est pas premier, car il a plusieurs diviseurs : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
Cas particulier du nombre \(1\)
\[
1
\]
Le nombre \(1\) n’est pas un nombre premier, car il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
Décomposition en facteurs premiers
\[
60 = 2 \times 30
\]
\[
60 = 2 \times 2 \times 15
\]
\[
60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5
\]
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers.
8)*
Méthode rapide
Pour décomposer un nombre :
- on commence par les petits nombres premiers : \(2\), puis \(3\), puis \(5\), etc. ;
- on continue jusqu’à obtenir uniquement des facteurs premiers.
\[
84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7
\]
9)*
Contrôler une décomposition
Pour vérifier une décomposition :
- on vérifie que tous les facteurs sont premiers ;
- on refait le produit.
\[
2 \times 2 \times 3 \times 7 = 84
\]
Erreurs à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Correction |
|---|---|---|
| \(1\) est premier | Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs | \(1\) n’a qu’un seul diviseur |
| \(21\) est premier | \(21 = 3 \times 7\) | \(21\) n’est pas premier |
| \(45 = 9 \times 5\) est une décomposition en facteurs premiers | \(9\) n’est pas premier | \(45 = 3 \times 3 \times 5\) |
Mini entraînement
| Question | Réponse |
|---|---|
| \(36\) est-il divisible par \(2\) ? | \(\dots\) |
| \(75\) est-il divisible par \(3\) ? | \(\dots\) |
| \(19\) est-il premier ? | \(\dots\) |
| Décomposer \(30\) en facteurs premiers | \(\dots\) |
10)*
À retenir
\[
\text{Un multiple est le résultat d’une multiplication.}
\]
\[
\text{Un diviseur partage un nombre sans reste.}
\]
\[
\text{Un nombre premier a exactement deux diviseurs.}
\]
\[
\text{Une décomposition en facteurs premiers n’utilise que des nombres premiers.}
\]