Fiche ultra-synthèse — Divisibilité & nombres premiers
Le mémo complet : critères de divisibilité, nombres premiers ≤ 30, facteurs premiers, et simplification de fractions.
1) Indispensables : multiples & diviseurs
Multiple
\(a\) est un multiple de \(b\) s’il existe un entier \(k\) tel que \(a=b\times k\).
Ex : \(24\) est un multiple de \(6\).
Ex : \(24\) est un multiple de \(6\).
Diviseur
\(b\) est un diviseur de \(a\) si \(a\div b\) est un entier (reste 0).
On note : \(b\mid a\).
On note : \(b\mid a\).
Équivalence : “\(a\) multiple de \(b\)” ⇔ “\(b\) diviseur de \(a\)”.
2) Tableau récap’ — critères de divisibilité
| Divisible par | Critère | Test rapide | Exemple |
|---|---|---|---|
| 2 | Chiffre des unités pair | 0,2,4,6,8 | \(148\) oui ; \(257\) non |
| 5 | Chiffre des unités 0 ou 5 | 0 ou 5 | \(735\) oui ; \(738\) non |
| 10 | Chiffre des unités 0 | …0 | \(520\) oui ; \(52\) non |
| 3 | Somme des chiffres multiple de 3 | 2+3+4=9 | \(234\) oui ; \(235\) non |
| 9 | Somme des chiffres multiple de 9 | 1+3+7+7=18 | \(1\,377\) oui ; \(1\,378\) non |
| 4 | Les 2 derniers chiffres forment un multiple de 4 | …36 oui | \(1\,236\) oui ; \(1\,234\) non |
| 6 | Divisible par 2 et par 3 | pair + somme chiffres multiple de 3 | \(102\) oui (pair, 1+0+2=3) |
Réflexe : pour gagner du temps, teste d’abord 2, puis 3, puis 5.
3) Liste des nombres premiers ≤ 30
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
\[
\boxed{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29}
\]
Attention : \(1\) n’est pas premier.
Test rapide (≤ 30) : si un nombre n’est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), ni par \(7\), alors il est premier.
4) Décomposition en facteurs premiers (mémo)
- Je cherche le plus petit nombre premier qui divise (2, puis 3, puis 5, puis 7...).
- Je divise, puis je recommence avec le quotient.
- J’arrête quand j’obtiens 1.
Mini-exemples :
\[
84 = 2^2\times3\times7 \qquad;\qquad 180 = 2^2\times3^2\times5
\]
Piège : une décomposition en facteurs premiers ne contient que des nombres premiers
(pas de 4, 6, 9, 10…).
5) Application aux fractions : simplifier vite
Méthode
- Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (2, 3, 5… ou facteurs premiers).
- Je divise en haut et en bas par le même nombre.
- Je recommence jusqu’à obtenir une fraction irréductible.
Exemple :
\[
\frac{84}{180}=\frac{2^2\times3\times7}{2^2\times3^2\times5}=\frac{7}{15}
\]
Piège : on ne “simplifie” pas en supprimant des chiffres, mais en divisant par un facteur commun.
Ex : \(\frac{16}{64}\neq\frac{1}{4}\) parce qu’on “enlève les 6” : il faut diviser par 16 → \(\frac{1}{4}\).
Ex : \(\frac{16}{64}\neq\frac{1}{4}\) parce qu’on “enlève les 6” : il faut diviser par 16 → \(\frac{1}{4}\).
6) Checklist anti-erreurs
- Je ne confonds pas : “multiple” ↔ “diviseur”.
- Pour 3 et 9, je teste la somme des chiffres.
- Pour 4, je regarde seulement les 2 derniers chiffres.
- Je sais que divisible par 6 ⇔ divisible par 2 et par 3.
- \(1\) n’est pas premier.
- Une décomposition en facteurs premiers n’utilise que \(2,3,5,7,11...\).
- Pour simplifier une fraction, je divise numérateur et dénominateur par un même facteur.
Objectif : gagner du temps + éviter les erreurs “classiques” en contrôle.