Exercices — Divisibilité et nombres premiers (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les multiples, les diviseurs, les critères de divisibilité et la décomposition en facteurs premiers.
Exercice 1 — Reconnaître des multiples
Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont des multiples de \(3\) :
\[ 9,\; 12,\; 14,\; 18,\; 25,\; 27 \]
\[ 9,\; 12,\; 14,\; 18,\; 25,\; 27 \]
Corrigé :
Les multiples de \(3\) sont :
\[ 9,\;12,\;18,\;27 \] car chacun peut s’écrire sous la forme \(3\times n\).
\[ 9,\;12,\;18,\;27 \] car chacun peut s’écrire sous la forme \(3\times n\).
Exercice 2 — Reconnaître des diviseurs
Parmi les nombres \(2\), \(4\), \(5\), \(8\), \(10\), lesquels sont des diviseurs de \(40\) ?
Corrigé :
On teste les divisions :
\[ 40\div 2=20,\quad 40\div 4=10,\quad 40\div 5=8,\quad 40\div 8=5,\quad 40\div 10=4 \] Tous ces nombres sont donc des diviseurs de \(40\).
\[ 40\div 2=20,\quad 40\div 4=10,\quad 40\div 5=8,\quad 40\div 8=5,\quad 40\div 10=4 \] Tous ces nombres sont donc des diviseurs de \(40\).
Exercice 3 — Vrai ou faux
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse :
1. \(24\) est un multiple de \(6\).
2. \(5\) est un diviseur de \(42\).
3. \(18\) est divisible par \(2\).
1. \(24\) est un multiple de \(6\).
2. \(5\) est un diviseur de \(42\).
3. \(18\) est divisible par \(2\).
Corrigé :
1. Vrai, car \(24=6\times 4\).
2. Faux, car \(42\div 5\) n’est pas un entier.
3. Vrai, car \(18\) est pair donc divisible par \(2\).
2. Faux, car \(42\div 5\) n’est pas un entier.
3. Vrai, car \(18\) est pair donc divisible par \(2\).
Exercice 4 — Critère de divisibilité par 2 et 5
Dire si les nombres suivants sont divisibles par \(2\), par \(5\), par les deux, ou par aucun :
\[ 30,\; 47,\; 50,\; 86,\; 95 \]
\[ 30,\; 47,\; 50,\; 86,\; 95 \]
Corrigé :
\[
30
\] est divisible par \(2\) et par \(5\).
\[ 47 \] n’est divisible ni par \(2\) ni par \(5\).
\[ 50 \] est divisible par \(2\) et par \(5\).
\[ 86 \] est divisible par \(2\) seulement.
\[ 95 \] est divisible par \(5\) seulement.
\[ 47 \] n’est divisible ni par \(2\) ni par \(5\).
\[ 50 \] est divisible par \(2\) et par \(5\).
\[ 86 \] est divisible par \(2\) seulement.
\[ 95 \] est divisible par \(5\) seulement.
Exercice 5 — Critère de divisibilité par 3
Dire si chacun des nombres suivants est divisible par \(3\) :
\[ 21,\; 34,\; 72,\; 111,\; 124 \]
\[ 21,\; 34,\; 72,\; 111,\; 124 \]
Corrigé :
On additionne les chiffres :
\[ 21: 2+1=3 \] donc divisible par \(3\).
\[ 34: 3+4=7 \] donc non divisible par \(3\).
\[ 72: 7+2=9 \] donc divisible par \(3\).
\[ 111: 1+1+1=3 \] donc divisible par \(3\).
\[ 124: 1+2+4=7 \] donc non divisible par \(3\).
\[ 21: 2+1=3 \] donc divisible par \(3\).
\[ 34: 3+4=7 \] donc non divisible par \(3\).
\[ 72: 7+2=9 \] donc divisible par \(3\).
\[ 111: 1+1+1=3 \] donc divisible par \(3\).
\[ 124: 1+2+4=7 \] donc non divisible par \(3\).
Exercice 6 — Critère de divisibilité par 9
Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont divisibles par \(9\) :
\[ 18,\; 36,\; 54,\; 73,\; 126,\; 153 \]
\[ 18,\; 36,\; 54,\; 73,\; 126,\; 153 \]
Corrigé :
Un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est un multiple de \(9\).
\[ 18: 1+8=9 \] oui.
\[ 36: 3+6=9 \] oui.
\[ 54: 5+4=9 \] oui.
\[ 73: 7+3=10 \] non.
\[ 126: 1+2+6=9 \] oui.
\[ 153: 1+5+3=9 \] oui.
\[ 18: 1+8=9 \] oui.
\[ 36: 3+6=9 \] oui.
\[ 54: 5+4=9 \] oui.
\[ 73: 7+3=10 \] non.
\[ 126: 1+2+6=9 \] oui.
\[ 153: 1+5+3=9 \] oui.
Exercice 7 — Compléter avec un chiffre
Trouver le chiffre \(x\) pour que le nombre \(4x2\) soit divisible par \(3\).
Corrigé :
Pour que \(4x2\) soit divisible par \(3\), il faut que la somme des chiffres soit divisible par \(3\).
\[ 4+x+2=6+x \] Comme \(6\) est déjà divisible par \(3\), \(x\) doit être un multiple de \(3\).
Donc : \[ x=0,\;3,\;6,\;9 \]
\[ 4+x+2=6+x \] Comme \(6\) est déjà divisible par \(3\), \(x\) doit être un multiple de \(3\).
Donc : \[ x=0,\;3,\;6,\;9 \]
Exercice 8 — Liste des diviseurs
Lister tous les diviseurs de \(18\).
Corrigé :
Les diviseurs positifs de \(18\) sont les nombres qui divisent \(18\) sans reste :
\[ 1,\;2,\;3,\;6,\;9,\;18 \]
\[ 1,\;2,\;3,\;6,\;9,\;18 \]
Exercice 9 — Nombres premiers ou non
Dire si les nombres suivants sont premiers :
\[ 2,\; 7,\; 9,\; 11,\; 15,\; 17 \]
\[ 2,\; 7,\; 9,\; 11,\; 15,\; 17 \]
Corrigé :
\[
2
\] est premier.
\[ 7 \] est premier.
\[ 9 \] n’est pas premier car \(9=3\times 3\).
\[ 11 \] est premier.
\[ 15 \] n’est pas premier car \(15=3\times 5\).
\[ 17 \] est premier.
\[ 7 \] est premier.
\[ 9 \] n’est pas premier car \(9=3\times 3\).
\[ 11 \] est premier.
\[ 15 \] n’est pas premier car \(15=3\times 5\).
\[ 17 \] est premier.
Exercice 10 — Attention au nombre 1
Le nombre \(1\) est-il premier ? Expliquer.
Corrigé :
Non, \(1\) n’est pas un nombre premier.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
Or \(1\) n’a qu’un seul diviseur positif : \(1\).
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
Or \(1\) n’a qu’un seul diviseur positif : \(1\).
Exercice 11 — Décomposition en facteurs premiers
Décomposer en facteurs premiers :
\[ 12,\; 18,\; 20 \]
\[ 12,\; 18,\; 20 \]
Corrigé :
\[
12=2\times 2\times 3=2^2\times 3
\]
\[
18=2\times 3\times 3=2\times 3^2
\]
\[
20=2\times 2\times 5=2^2\times 5
\]
Exercice 12 — Décomposition d’un nombre plus grand
Décomposer \(60\) en facteurs premiers.
Corrigé :
On peut écrire :
\[ 60=2\times 30=2\times 2\times 15=2\times 2\times 3\times 5 \] donc \[ 60=2^2\times 3\times 5 \]
\[ 60=2\times 30=2\times 2\times 15=2\times 2\times 3\times 5 \] donc \[ 60=2^2\times 3\times 5 \]
Exercice 13 — Multiple commun
Citer trois multiples communs à \(4\) et \(6\).
Corrigé :
Les multiples de \(4\) sont : \(4,8,12,16,20,24,\dots\)
Les multiples de \(6\) sont : \(6,12,18,24,30,36,\dots\)
Trois multiples communs sont : \[ 12,\;24,\;36 \]
Les multiples de \(6\) sont : \(6,12,18,24,30,36,\dots\)
Trois multiples communs sont : \[ 12,\;24,\;36 \]
Exercice 14 — Diviseur commun
Lister les diviseurs communs de \(24\) et \(36\).
Corrigé :
Diviseurs de \(24\) :
\[
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;24
\]
Diviseurs de \(36\) :
\[
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;9,\;12,\;18,\;36
\]
Les diviseurs communs sont :
\[
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12
\]
Exercice 15 — Nombre premier suivant
Quel est le plus petit nombre premier strictement supérieur à \(20\) ?
Corrigé :
On teste les nombres après \(20\) :
\[ 21=3\times 7 \] donc non premier.
\[ 22=2\times 11 \] donc non premier.
\[ 23 \] n’a que deux diviseurs : \(1\) et \(23\).
Donc le plus petit nombre premier strictement supérieur à \(20\) est : \[ 23 \]
\[ 21=3\times 7 \] donc non premier.
\[ 22=2\times 11 \] donc non premier.
\[ 23 \] n’a que deux diviseurs : \(1\) et \(23\).
Donc le plus petit nombre premier strictement supérieur à \(20\) est : \[ 23 \]
Exercice 16 — Problème de rangement
On a \(36\) billes. Peut-on les ranger en paquets de \(2\), de \(3\), de \(4\), de \(5\) et de \(6\) sans reste ?
Corrigé :
On teste la divisibilité de \(36\) :
\[ 36\div 2=18 \] oui.
\[ 36\div 3=12 \] oui.
\[ 36\div 4=9 \] oui.
\[ 36\div 5=7{,}2 \] non.
\[ 36\div 6=6 \] oui.
Donc on peut faire des paquets de \(2\), \(3\), \(4\) et \(6\), mais pas de \(5\).
\[ 36\div 2=18 \] oui.
\[ 36\div 3=12 \] oui.
\[ 36\div 4=9 \] oui.
\[ 36\div 5=7{,}2 \] non.
\[ 36\div 6=6 \] oui.
Donc on peut faire des paquets de \(2\), \(3\), \(4\) et \(6\), mais pas de \(5\).
Exercice 17 — Chercher un nombre
Trouver un nombre à deux chiffres divisible à la fois par \(2\), par \(3\) et par \(5\). Donner trois exemples.
Corrigé :
Être divisible par \(2\) et par \(5\) signifie se terminer par \(0\).
Il faut aussi être divisible par \(3\).
Exemples : \[ 30,\;60,\;90 \] car chacun est divisible par \(2\), \(3\) et \(5\).
Il faut aussi être divisible par \(3\).
Exemples : \[ 30,\;60,\;90 \] car chacun est divisible par \(2\), \(3\) et \(5\).
Exercice 18 — Trouver l’intrus
Parmi les nombres suivants, un seul est premier. Lequel ?
\[ 21,\; 27,\; 29,\; 33,\; 39 \]
\[ 21,\; 27,\; 29,\; 33,\; 39 \]
Corrigé :
\[
21=3\times 7
\]
non premier.
\[ 27=3\times 9 \] non premier.
\[ 29 \] est premier.
\[ 33=3\times 11 \] non premier.
\[ 39=3\times 13 \] non premier.
L’intrus est donc : \[ 29 \]
\[ 27=3\times 9 \] non premier.
\[ 29 \] est premier.
\[ 33=3\times 11 \] non premier.
\[ 39=3\times 13 \] non premier.
L’intrus est donc : \[ 29 \]
Exercice 19 — Écriture avec facteurs premiers
Écrire \(90\) comme produit de facteurs premiers.
Corrigé :
On décompose :
\[
90=9\times 10=3\times 3\times 2\times 5
\]
donc
\[
90=2\times 3^2\times 5
\]
Exercice 20 — Problème final
Un professeur veut répartir \(48\) élèves en groupes tous de même taille, sans élève isolé. Donner toutes les tailles possibles des groupes.
Corrigé :
Il faut chercher tous les diviseurs de \(48\).
\[ 48=2^4\times 3 \] Les tailles possibles sont tous les diviseurs positifs de \(48\) : \[ 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;16,\;24,\;48 \] Donc le professeur peut faire des groupes de ces tailles.
\[ 48=2^4\times 3 \] Les tailles possibles sont tous les diviseurs positifs de \(48\) : \[ 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;16,\;24,\;48 \] Donc le professeur peut faire des groupes de ces tailles.