Exercices premium — Divisibilité & nombres premiers
Progressif (critères → premiers → décompositions) + applications aux fractions. Corrigés détaillés masquables.
Exercice 1 — Multiples et diviseurs (bases)
Pour chaque affirmation, écrire vrai ou faux.
- a) \(24\) est un multiple de \(6\).
- b) \(5\) est un diviseur de \(42\).
- c) \(12\) est un diviseur de \(60\).
- d) \(81\) est un multiple de \(9\).
- e) \(7\) est un diviseur de \(56\).
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- a) vrai : \(24=6\times4\).
- b) faux : \(42\div5\) n’est pas un entier.
- c) vrai : \(60=12\times5\).
- d) vrai : \(81=9\times9\).
- e) vrai : \(56=7\times8\).
Réponses : \(\boxed{\text{vrai ; faux ; vrai ; vrai ; vrai}}\)
Exercice 2 — Critères de divisibilité
Dire si chaque nombre est divisible par \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(9\), \(10\).
Tu peux répondre par une liste (ex : “divisible par 2 et 5”).
Tu peux répondre par une liste (ex : “divisible par 2 et 5”).
- a) \(148\)
- b) \(1\,236\)
- c) \(735\)
- d) \(1\,377\)
- e) \(2\,340\)
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- a) \(148\) : divisible par \(2\) (pair) et par \(4\) (48 multiple de 4). Pas par 3, 5, 9, 10.
- b) \(1\,236\) : divisible par \(2\) (pair), \(3\) (1+2+3+6=12), \(4\) (36 multiple de 4). Pas par 5, 9, 10.
- c) \(735\) : divisible par \(3\) (7+3+5=15) et \(5\) (unité 5). Pas par 2, 4, 9, 10.
- d) \(1\,377\) : divisible par \(3\) (1+3+7+7=18) et \(9\) (18 multiple de 9). Pas par 2, 4, 5, 10.
- e) \(2\,340\) : divisible par \(2\) (pair), \(3\) (2+3+4+0=9), \(4\) (40 multiple de 4), \(5\) (unité 0), \(9\) (9 multiple de 9), \(10\) (unité 0).
Réponses :
\(\boxed{
148:2,4;\;
1236:2,3,4;\;
735:3,5;\;
1377:3,9;\;
2340:2,3,4,5,9,10
}\)
Exercice 3 — Nombres premiers (≤ 30)
Dire si chaque nombre est premier ou non premier, en justifiant avec un diviseur quand il n’est pas premier :
- a) \(29\)
- b) \(21\)
- c) \(1\)
- d) \(17\)
- e) \(27\)
- f) \(25\)
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- a) \(29\) : premier.
- b) \(21\) : non premier car \(21=3\times7\).
- c) \(1\) : non premier (il n’a pas exactement deux diviseurs).
- d) \(17\) : premier.
- e) \(27\) : non premier car \(27=3\times9\) (ou \(27=3^3\)).
- f) \(25\) : non premier car \(25=5\times5\).
Réponses : \(\boxed{\text{premier ; non ; non ; premier ; non ; non}}\)
Exercice 4 — Décomposer en facteurs premiers (guidé)
Décomposer en facteurs premiers (écrire avec des puissances si possible) :
- a) \(72\)
- b) \(90\)
- c) \(120\)
- d) \(84\)
- e) \(210\)
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- a) \(72=2\times36=2^3\times3^2\) donc \(\boxed{72=2^3\times3^2}\).
- b) \(90=2\times45=2\times3^2\times5\) donc \(\boxed{90=2\times3^2\times5}\).
- c) \(120=12\times10=2^3\times3\times5\) donc \(\boxed{120=2^3\times3\times5}\).
- d) \(84=2^2\times3\times7\) donc \(\boxed{84=2^2\times3\times7}\).
- e) \(210=21\times10=2\times3\times5\times7\) donc \(\boxed{210=2\times3\times5\times7}\).
Exercice 5 — Facteurs communs
Pour chaque paire, donner un diviseur commun (autre que 1) puis dire si les deux nombres sont divisibles par \(6\).
- a) \(42\) et \(84\)
- b) \(45\) et \(120\)
- c) \(72\) et \(90\)
- d) \(35\) et \(210\)
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- a) diviseur commun : \(42\) (ou 6, 7, 14...). \(42\) et \(84\) sont divisibles par 6 (oui/oui).
- b) diviseur commun : \(15\) (ou 5, 3...). \(45\) divisible par 6 ? non (pas pair). \(120\) divisible par 6 ? oui.
- c) diviseur commun : \(18\) (ou 6, 9...). \(72\) et \(90\) divisibles par 6 : oui/oui.
- d) diviseur commun : \(35\) (ou 5, 7...). \(35\) divisible par 6 ? non. \(210\) divisible par 6 ? oui.
Réponses : \(\boxed{a)\ \text{oui/oui}\ ;\ b)\ \text{non/oui}\ ;\ c)\ \text{oui/oui}\ ;\ d)\ \text{non/oui}}\)
Exercice 6 — Simplifier des fractions
Simplifier au maximum (tu peux utiliser les facteurs premiers) :
- a) \(\frac{84}{180}\)
- b) \(\frac{72}{90}\)
- c) \(\frac{45}{120}\)
- d) \(\frac{210}{84}\)
- e) \(\frac{105}{140}\)
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- a) \(84=2^2\times3\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\) ⇒ \(\boxed{\frac{84}{180}=\frac{7}{15}}\).
- b) \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\) ⇒ \(\boxed{\frac{72}{90}=\frac{4}{5}}\).
- c) \(\frac{45}{120}=\frac{3}{8}\) (÷15) ⇒ \(\boxed{\frac{3}{8}}\).
- d) \(\frac{210}{84}=\frac{2\times3\times5\times7}{2^2\times3\times7}=\frac{5}{2}\) ⇒ \(\boxed{\frac{5}{2}}\).
- e) \(\frac{105}{140}=\frac{3}{4}\) (÷35) ⇒ \(\boxed{\frac{3}{4}}\).
Exercice 7 — Pièges : repérer l’erreur
Un élève écrit :
\[
\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\ \text{car “on enlève le 6”}
\]
1) Expliquer pourquoi la justification est fausse.
2) Donner une justification correcte (avec une division).
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La méthode “enlever des chiffres” n’a aucun sens en mathématiques.
On doit diviser le numérateur et le dénominateur par un même facteur.
Ici, on divise par 16 :
\[
\frac{16}{64}=\frac{16\div16}{64\div16}=\frac{1}{4}.
\]
Réponse : \(\boxed{\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\ \text{en divisant par }16}\)
Exercice 8 — Problèmes (applications aux fractions)
a) Cartes identiques
On veut faire des paquets identiques avec \(84\) cartes rouges et \(180\) cartes bleues, sans reste.
1) Quel est le plus grand nombre de paquets possibles ?
2) Combien de cartes rouges et bleues dans chaque paquet ?
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On cherche le plus grand diviseur commun (PGCD).
Ici, \(84=2^2\times3\times7\) et \(180=2^2\times3^2\times5\).
Facteurs communs : \(2^2\times3=12\) ⇒ on peut faire \(\boxed{12}\) paquets.
Dans chaque paquet : \(84\div12=7\) rouges et \(180\div12=15\) bleues.
Réponse : \(\boxed{12\ \text{paquets ; } 7\ \text{rouges et } 15\ \text{bleues par paquet}}\)
b) Simplification utile
On calcule la proportion de cartes rouges parmi toutes les cartes :
\[
\frac{84}{84+180}
\]
Simplifier la fraction au maximum.
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\(84+180=264\).
On simplifie \(\frac{84}{264}\) par 12 : \(\frac{84\div12}{264\div12}=\frac{7}{22}\).
Réponse : \(\boxed{\frac{84}{264}=\frac{7}{22}}\)