Exercices corrigés — Divisibilité & Nombres Premiers (5e)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 5ème sur Divisibilité & Nombres Premiers. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 5ème, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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✏️ Exercices — Divisibilité & Nombres Premiers

Thèmes : multiples • diviseurs • division euclidienne • critères 2, 3, 5, 9, 10 • quotient/reste • problèmes • raisonnement • culture des nombres premiers.
Objectif : maîtriser la divisibilité au niveau 5e et développer le raisonnement arithmétique. Les exercices « Culture mathématique » sur les nombres premiers sont des prolongements ; la passerelle vers la 4e est explicitement signalée.

Exercice 1 — Multiple ou diviseur ?
*

Pour chaque affirmation, répondre par oui ou non et justifier avec une égalité multiplicative.

A. 24 est-il un multiple de 6 ?
B. 7 est-il un diviseur de 42 ?
C. 54 est-il un multiple de 8 ?
D. 9 divise-t-il 63 ?
E. 35 est-il un diviseur de 5 ?
F. 45 est-il un multiple de 5 ?
Exercice 2 — Division euclidienne : quotient et reste
*

Pour chaque division, déterminer le quotient entier et le reste, puis écrire l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste.

A. Division euclidienne de 83 par 7.
B. Division euclidienne de 125 par 9.
C. Division euclidienne de 204 par 12.
D. Division euclidienne de 157 par 15.
E. Division euclidienne de 98 par 6.
F. Division euclidienne de 250 par 24.
Exercice 3 — Critères par 2, 5 et 10
*

Pour chaque nombre, indiquer s’il est divisible par 2, par 5 et par 10. Justifier uniquement avec le chiffre des unités.

A. 134
B. 275
C. 420
D. 713
E. 960
F. 1 205
Exercice 4 — Critères par 3 et par 9
*

Pour chaque nombre, dire s’il est divisible par 3, par 9, par les deux ou par aucun. Justifier par la somme des chiffres.

A. 234
B. 451
C. 702
D. 1 116
E. 1 245
F. 2 008
Exercice 5 — Factoriser avec les tables
*

Écrire chaque nombre comme produit de deux entiers strictement supérieurs à 1. Donner toutes les possibilités sans répéter l’ordre des facteurs.

A. 18
B. 24
C. 30
D. 36
E. 42
F. 49
Exercice 6 — Lire les relations de divisibilité
*

Répondre sans poser de division longue. Utiliser les tables et le vocabulaire multiple/diviseur.

A. Parmi 12, 18, 25, 30, 42 et 49, relever les multiples de 6.
B. Parmi 2, 3, 4, 5, 6, 8 et 10, relever les diviseurs de 30.
C. Donner les cinq premiers multiples strictement positifs de 7.
D. Compléter : \(56=8\times7\), donc 8 est un … de 56 et 56 est un … de 8.
E. Le nombre 1 est-il un diviseur de 37 ?
F. Tout entier naturel est-il un multiple de 1 ?
Exercice 7 — Lister tous les diviseurs
**

Déterminer tous les diviseurs positifs de chaque nombre. Présenter la recherche par paires de facteurs.

A. 18
B. 24
C. 30
D. 36
E. 42
F. 45
Exercice 8 — Quotient et reste dans des problèmes
**

Résoudre chaque problème en utilisant une division euclidienne. Donner le quotient, le reste et une phrase de conclusion.

A. 53 biscuits sont rangés dans des boîtes de 8. Combien de boîtes pleines peut-on remplir et combien de biscuits restent ?
B. 125 élèves voyagent dans des cars de 24 places. Combien de cars faut-il au minimum ?
C. Un livre de 214 pages est lu à raison de 30 pages par jour. Après 7 jours complets, combien de pages reste-t-il à lire ?
D. Avec 97 perles, on fabrique des bracelets de 12 perles. Combien de bracelets complets et combien de perles restantes ?
E. On place 350 carreaux par rangées de 16. Combien de rangées complètes et combien de carreaux restent ?
F. 144 cartes sont réparties en paquets de 12. Combien de paquets et quel reste ?
Exercice 9 — Chiffre manquant : divisibilité par 3 ou 9
**

Trouver toutes les valeurs possibles du chiffre □ pour satisfaire la condition.

A. \(4\square2\) est divisible par 3.
B. \(7\square5\) est divisible par 9.
C. \(2\square1\) est divisible par 3.
D. \(6\square3\) est divisible par 9.
E. \(53\square\) est divisible par 3.
F. \(8\square4\) est divisible par 9.
Exercice 10 — Croiser plusieurs critères
**

Trouver toutes les valeurs de □ qui rendent le nombre divisible par tous les nombres indiqués.

A. \(31\square\) est divisible par 2 et par 3.
B. \(4\square0\) est divisible par 9.
C. \(7\square5\) est divisible par 3 et par 5.
D. \(2\square0\) est divisible par 9 et par 10.
E. \(5\square2\) est divisible par 2 et par 9.
F. \(81\square\) est divisible par 3 et par 5.
Exercice 11 — Construire un nombre sous contraintes
**

Déterminer le nombre demandé. Justifier que toutes les contraintes sont satisfaites.

A. Le plus petit nombre à deux chiffres divisible par 2, par 3 et par 5.
B. Le plus grand nombre à deux chiffres divisible par 5 et par 9.
C. Le nombre compris entre 400 et 500, divisible par 9 et par 10.
D. Le plus petit entier strictement supérieur à 100, divisible par 3 et par 5, mais pas par 2.
E. Tous les nombres à deux chiffres qui se terminent par 5 et sont divisibles par 3.
F. L’unique entier entre 230 et 240 divisible par 2 et par 9.
Exercice 12 — Repérer des multiples communs
**

Lister des multiples pour répondre.

A. Donner les trois premiers multiples strictement positifs communs à 4 et 6.
B. Quel est le premier multiple strictement positif commun à 8 et 12 ?
C. Donner les multiples communs strictement positifs à 5 et 7, inférieurs ou égaux à 100.
D. Donner les deux premiers multiples strictement positifs communs à 6 et 15.
E. Donner les multiples communs strictement positifs à 9 et 12, strictement inférieurs à 100.
F. Quel est le premier multiple strictement positif commun à 10 et 25 ?
Exercice 13 — Diviseurs communs dans des répartitions
**

Résoudre en recherchant les diviseurs communs.

A. Donner tous les diviseurs communs de 18 et 24.
B. Donner tous les diviseurs communs de 28 et 42.
C. On a 30 cartes rouges et 45 cartes bleues. En combien de paquets identiques (plus d’un paquet) peut-on répartir séparément chaque couleur ?
D. Donner les diviseurs communs strictement supérieurs à 1 de 40 et 60.
E. 48 cartes et 72 autocollants doivent être répartis en un même nombre de lots identiques. Donner tous les nombres de lots possibles, supérieurs à 1.
F. Avec 54 roses et 72 tulipes, quel est le plus grand nombre de bouquets identiques réalisables sans reste ?
Exercice 14 — Culture mathématique — reconnaître les nombres premiers
**

Dire si chaque entier est premier. Justifier par la définition ou en donnant une factorisation non triviale. Cette activité est un prolongement culturel et ne sert pas à évaluer la maîtrise normale du chapitre.

A. 2
B. 9
C. 17
D. 21
E. 29
F. 1
Exercice 15 — Culture mathématique — crible d’Ératosthène
***

Utiliser la grille de 1 à 50 pour mettre en œuvre un crible. Les questions A à F forment une seule recherche progressive. Cette activité est un prolongement culturel et ne sert pas à évaluer la maîtrise normale du chapitre.

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950
A. Entourer 2 puis barrer tous ses multiples strictement supérieurs à 2.
B. Prendre ensuite 3 et barrer ses multiples encore non barrés.
C. Continuer avec 5.
D. Continuer avec 7.
E. Lister les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 qui restent.
F. Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 50 ?
Exercice 16 — Culture mathématique — décomposer jusqu’aux facteurs premiers
***

Décomposer chaque nombre en facteurs, puis poursuivre jusqu’à n’obtenir que des facteurs premiers. Cette activité est un prolongement culturel et ne sert pas à évaluer la maîtrise normale du chapitre.

A. 36
B. 42
C. 60
D. 70
E. 84
F. 90
Exercice 17 — Vrai ou faux ? Justifier
***

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Une justification ou un contre-exemple est obligatoire.

A. Tout nombre divisible par 9 est divisible par 3.
B. Tout nombre divisible par 3 est divisible par 9.
C. Tout nombre divisible par 2 et par 5 est divisible par 10.
D. Tout nombre divisible par 10 est divisible par 2 et par 5.
E. Tout nombre se terminant par 5 est divisible par 10.
F. Tout multiple de 6 est un multiple de 3.
Exercice 18 — Corriger des erreurs de raisonnement
***

Pour chaque copie d’élève, repérer l’erreur puis écrire une correction mathématiquement correcte.

A. « 234 n’est pas divisible par 3 car son chiffre des unités, 4, n’est pas divisible par 3. »
B. « 450 est divisible par 9 parce qu’il se termine par 0. »
C. « 1 est premier parce qu’il est divisible par 1. »
D. « 42 est un diviseur de 7 car \(42=7\times6\). »
E. « 125 est divisible par 2 parce que \(1+2+5=8\) est pair. »
F. « Dans la division de 98 par 6, le quotient est 17 et le reste est -4. »
Exercice 19 — Raisonner avec des restes
***

On sait seulement quel est le reste d’une division euclidienne. Déterminer le nouveau reste sans connaître le nombre de départ.

A. Un entier n laisse le reste 3 dans la division par 7. Quel reste laisse \(n+4\) dans la division par 7 ?
B. n laisse le reste 2 dans la division par 5. Quel reste laisse \(n+10\) par 5 ?
C. n laisse le reste 1 par 3. Quel reste laisse \(2n\) par 3 ?
D. n laisse le reste 8 par 9. Quel reste laisse \(n+1\) par 9 ?
E. n laisse le reste 3 par 4. Quel reste laisse \(n+5\) par 4 ?
F. n laisse le reste 5 par 6. Quel reste laisse \(n+2\) par 6 ?
Exercice 20 — Suivre un algorithme de classement
***

Appliquer exactement l’algorithme ci-dessous aux six nombres. Algorithme : 1) calculer le reste de la division par 3 ; 2) si le reste n’est pas 0, afficher « non multiple de 3 » ; 3) sinon calculer le quotient par 3 ; s’il est pair, afficher « multiple de 6 », sinon « multiple de 3 mais pas de 6 ».

A. 42
B. 45
C. 58
D. 72
E. 81
F. 102
Exercice 21 — Retrouver le dividende
***

Le diviseur, le quotient et le reste sont donnés. Retrouver le dividende et écrire l’égalité de division euclidienne.

A. Diviseur 7, quotient 8, reste 3.
B. Diviseur 12, quotient 9, reste 5.
C. Diviseur 5, quotient 17, reste 0.
D. Diviseur 9, quotient 14, reste 8.
E. Diviseur 6, quotient 20, reste 1.
F. Diviseur 15, quotient 11, reste 14.
Exercice 22 — Raisonnements sur des entiers consécutifs
***

Dire si chaque affirmation est toujours vraie. Justifier par un raisonnement ou donner un contre-exemple.

A. Parmi trois entiers consécutifs, il y a exactement un multiple de 3.
B. Parmi deux entiers consécutifs, il y en a exactement un qui est pair.
C. La somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3.
D. Le produit de deux entiers consécutifs est pair.
E. Parmi cinq entiers consécutifs, il y a exactement un multiple de 5.
F. La somme de deux entiers consécutifs est toujours divisible par 2.
Exercice 23 — Phénomènes périodiques : quand coïncident-ils ?
***

Résoudre en listant ou en organisant les multiples.

A. Deux cloches sonnent ensemble à 9 h. L’une sonne toutes les 6 min, l’autre toutes les 8 min. Après combien de minutes sonneront-elles ensemble ?
B. Deux bus partent ensemble. Ils reviennent toutes les 12 min et 18 min. Prochain départ commun ?
C. Deux voyants clignotent toutes les 15 s et 20 s. Quand clignotent-ils de nouveau ensemble ?
D. Deux machines terminent un cycle toutes les 9 min et 12 min. Après combien de minutes finissent-elles ensemble ?
E. Deux coureurs bouclent un tour en 4 min et 6 min. Quand repassent-ils ensemble sur la ligne de départ ?
F. Deux opérations d’entretien ont lieu tous les 14 jours et 21 jours. Dans combien de jours retomberont-elles le même jour ?
Exercice 24 — Former le plus grand nombre de lots identiques
***

Dans chaque situation, déterminer le plus grand nombre de lots identiques réalisables sans reste. Expliquer avec les diviseurs communs.

A. 48 jetons rouges et 60 jetons bleus.
B. 72 crayons et 54 stylos.
C. 84 biscuits et 126 bonbons.
D. 45 roses et 60 tulipes.
E. 96 cartes et 72 autocollants.
F. 56 pommes et 70 poires.
Exercice 25 — Code secret : contraintes de divisibilité
****

Résoudre chaque énigme numérique. Justifier toutes les contraintes.

A. Compléter \(4\square2\) pour obtenir un nombre divisible par 9.
B. Compléter \(7\square0\) pour obtenir un nombre divisible par 9.
C. Quel est le plus petit nombre à trois chiffres, se terminant par 5 et divisible par 9 ?
D. Quel est le plus grand entier strictement inférieur à 500 divisible par 9 et par 10 ?
E. Trouver l’unique entier strictement compris entre 600 et 650 divisible par 2, par 3 et par 5.
F. Trouver le nombre à deux chiffres dont le chiffre des unités est le double du chiffre des dizaines et qui est divisible par 9.
Exercice 26 — Conditionner une grande quantité
****

Pour chaque situation, déterminer le nombre de paquets complets, le reste et, lorsqu’une autre taille de paquet est proposée, choisir l’organisation la plus adaptée.

A. 275 bouteilles dans des caisses de 12. Combien de caisses pleines ? Combien restent ? Combien de caisses faut-il pour tout transporter ?
B. 418 livres sur des étagères de 15 places. Combien d’étagères complètes et combien de livres sur la dernière ?
C. 1 000 vis : sacs de 24 ou sacs de 25. Quelle taille permet de n’avoir aucun reste ?
D. 365 cartes : paquets de 9 ou paquets de 5. Comparer les restes.
E. 742 pièces : caisses de 20 ou de 25. Quelle option laisse le moins de pièces hors caisse ?
F. 999 jetons dans des boîtes de 27. La répartition est-elle exacte ?
Exercice 27 — Recherche inverse avec restes et critères
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Trouver tous les nombres qui satisfont les contraintes. Si aucun nombre n’existe, le démontrer.

A. Entre 50 et 80, trouver les entiers qui laissent le reste 2 dans la division par 7 et sont divisibles par 3.
B. Entre 100 et 150, trouver l’entier qui laisse le reste 1 par 5 et est divisible par 9.
C. Existe-t-il un entier entre 200 et 250 divisible à la fois par 9 et par 10 ?
D. Quel est le plus petit entier strictement supérieur à 100 divisible par 7 et par 5 ?
E. Quel est le plus grand entier strictement inférieur à 200 divisible par 9 et par 2 ?
F. Entre 300 et 340, trouver les entiers qui laissent le reste 2 par 6 et sont divisibles par 4.
Exercice 28 — Prouver ou réfuter
****

Pour chaque affirmation, produire une justification générale si elle est vraie, ou un contre-exemple si elle est fausse.

A. Si un entier est divisible par 9, alors l’entier obtenu en lui ajoutant 9 est encore divisible par 9.
B. Si un entier est divisible par 5, alors l’entier obtenu en lui ajoutant 5 est encore divisible par 5.
C. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3.
D. La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.
E. Le produit d’un entier pair par n’importe quel entier est pair.
F. La somme de deux entiers qui ne sont pas divisibles par 3 n’est jamais divisible par 3.
Exercice 29 — Passerelle vers la 4e — simplifier avec un diviseur commun
****

Simplifier chaque fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun visible. Cette activité prépare la 4e et ne sert pas à évaluer la maîtrise normale du chapitre 5e.

A. \(\dfrac{18}{24}\)
B. \(\dfrac{21}{28}\)
C. \(\dfrac{35}{50}\)
D. \(\dfrac{42}{63}\)
E. \(\dfrac{24}{36}\)
F. \(\dfrac{45}{60}\)
Exercice 30 — Synthèse — choisir la bonne méthode
****

Résoudre chaque question en choisissant la méthode la plus efficace. Justifier suffisamment pour qu’on puisse contrôler la démarche.

A. Donner quotient et reste de 257 par 12.
B. Compléter \(6\square5\) pour que le nombre soit divisible par 9.
C. Deux événements se répètent toutes les 8 min et 14 min. Ils ont lieu ensemble maintenant. Après combien de minutes coïncident-ils de nouveau ?
D. Donner tous les diviseurs de 48 strictement compris entre 1 et 48.
E. Le nombre 630 est-il divisible par 2, 3, 5, 9 et 10 ?
F. 96 objets A et 144 objets B doivent former le plus grand nombre de lots identiques sans reste. Combien de lots ?
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