Cours — Divisibilité et nombres premiers
Comprendre les multiples, les diviseurs, les critères de divisibilité et la décomposition en facteurs premiers.
Multiples
Diviseurs
Critères
Nombres premiers
Facteurs premiers
1) Multiple et diviseur
\[
24 = 6 \times 4
\]
On dit que :
• 24 est un multiple de 6
• 6 est un diviseur de 24
Car 24 peut s'écrire comme un produit avec 6.
| Nombre | Multiples |
|---|---|
| 5 | 5, 10, 15, 20, 25... |
| 7 | 7, 14, 21, 28... |
2) Critères de divisibilité
| Nombre | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est pair | 48 |
| 3 | La somme des chiffres est multiple de 3 | 123 → 1+2+3=6 |
| 5 | Le nombre finit par 0 ou 5 | 65 |
| 9 | La somme des chiffres est multiple de 9 | 729 |
| 10 | Le nombre finit par 0 | 40 |
Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible sans poser la division.
3) Nombres premiers
\[
2,3,5,7,11,13,17,19...
\]
Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs :
• 1
• lui-même
| Nombre | Diviseurs | Premier ? |
|---|---|---|
| 7 | 1 et 7 | Oui |
| 9 | 1,3,9 | Non |
4) Décomposition en facteurs premiers
\[
12 = 2 \times 2 \times 3
\]
\[
60 = 2^2 \times 3 \times 5
\]
Décomposer un nombre en facteurs premiers signifie l’écrire comme un produit de nombres premiers.
5) Méthode de décomposition
\[
84
\]
\[
84 = 2 \times 42
\]
\[
42 = 2 \times 21
\]
\[
21 = 3 \times 7
\]
\[
84 = 2^2 \times 3 \times 7
\]
On divise successivement par les plus petits nombres premiers.
6) Exemple concret
\[
30 = 2 \times 3 \times 5
\]
La décomposition en facteurs premiers permet par exemple de simplifier des fractions ou de résoudre des problèmes de partage.
À retenir
- Un multiple est le résultat d'une multiplication.
- Un diviseur est un nombre qui divise un autre nombre sans reste.
- Un nombre premier possède exactement deux diviseurs.
- Tout nombre peut se décomposer en facteurs premiers.