Cours premium — Divisibilité & nombres premiers
Multiples et diviseurs • critères de divisibilité • nombres premiers (≤ 30) • décomposition en facteurs premiers • applications aux fractions.
1) Multiples et diviseurs
Multiple
\(a\) est un multiple de \(b\) s’il existe un entier \(k\) tel que :
\[
a = b \times k
\]
Exemple : \(24\) est un multiple de \(6\) car \(24=6\times4\).
Diviseur
\(b\) est un diviseur de \(a\) si \(a\) se divise par \(b\) sans reste.
On écrit : \(b\mid a\).
Exemple : \(6\mid24\).
Exemple : \(6\mid24\).
À retenir : “\(a\) est multiple de \(b\)” ⇔ “\(b\) est diviseur de \(a\)”.
2) Critères de divisibilité (indispensables)
Tableau mémo
| Divisible par | Critère | Exemple (oui) | Exemple (non) |
|---|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est \(0,2,4,6,8\) | \(148\) | \(257\) |
| 5 | Le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) | \(735\) | \(738\) |
| 10 | Le chiffre des unités est \(0\) | \(520\) | \(52\) |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par \(3\) | \(234\) (2+3+4=9) | \(235\) (2+3+5=10) |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par \(9\) | \(1\,377\) (1+3+7+7=18) | \(1\,378\) (1+3+7+8=19) |
| 4 | Les 2 derniers chiffres forment un multiple de \(4\) | \(1\,236\) (36 multiple de 4) | \(1\,234\) (34 non) |
Astuce : pour 3 et 9, on peut “réduire” la somme des chiffres (ex : 18 → divisible par 9).
Piège : divisible par 2 ET par 3 ⇔ divisible par 6 (utile à connaître).
3) Nombres premiers (≤ 30)
Un nombre premier est un nombre entier \( \ge 2 \) qui a exactement deux diviseurs :
\(1\) et lui-même.
Liste des nombres premiers ≤ 30
\[
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29
\]
Non-exemples (composés)
- \(1\) n’est pas premier.
- \(9\) n’est pas premier (divisible par 3).
- \(21\) n’est pas premier (divisible par 3 et 7).
Méthode rapide : pour tester si un nombre ≤ 30 est premier, vérifie s’il est divisible par \(2,3,5\) (et parfois \(7\)).
4) Décomposition en facteurs premiers
Décomposer un nombre, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers.
Méthode (pas à pas)
- On cherche le plus petit nombre premier qui divise le nombre (souvent 2, puis 3, puis 5...).
- On divise, puis on recommence avec le quotient.
- On s’arrête quand on obtient 1.
Conseil : utilise les critères de divisibilité pour aller vite.
Exemple guidé 1 — \(84\)
\(84\) est divisible par \(2\) : \(84=2\times42\).
\(42\) est divisible par \(2\) : \(42=2\times21\).
\(21\) est divisible par \(3\) : \(21=3\times7\).
Et \(7\) est premier.
Donc :
\[
84 = 2\times2\times3\times7 = 2^2\times3\times7
\]
Réponse : \(\boxed{84=2^2\times3\times7}\)
Exemple guidé 2 — \(180\)
\(180\) est divisible par \(2\) : \(180=2\times90\).
\(90\) est divisible par \(2\) : \(90=2\times45\).
\(45\) est divisible par \(3\) : \(45=3\times15\).
\(15\) est divisible par \(3\) : \(15=3\times5\).
\(5\) est premier.
Donc :
\[
180 = 2\times2\times3\times3\times5 = 2^2\times3^2\times5
\]
Réponse : \(\boxed{180=2^2\times3^2\times5}\)
5) Applications aux fractions (simplifier intelligemment)
Pour simplifier une fraction \(\frac{a}{b}\), on cherche un diviseur commun de \(a\) et \(b\)
(souvent grâce aux facteurs premiers), puis on divise en haut et en bas.
Exemple guidé — \(\frac{84}{180}\)
Décomposons :
\[
84=2^2\times3\times7 \qquad;\qquad 180=2^2\times3^2\times5
\]
Facteurs communs : \(2^2\times3\). On simplifie :
\[
\frac{84}{180}=\frac{2^2\times3\times7}{2^2\times3^2\times5}=\frac{7}{3\times5}=\frac{7}{15}
\]
Réponse : \(\boxed{\frac{84}{180}=\frac{7}{15}}\)
Piège : on ne peut simplifier que par un facteur commun (même nombre qui divise en haut et en bas).
Réflexe : si les deux nombres sont divisibles par 2, 3 ou 5, commence par là (rapide).