Exercices corrigés — Angles Et Propriétés Géométriques (5e)

\(28^\circ<90^\circ\) : l’angle est aigu.

\(90^\circ\) définit un angle droit.

\(90^\circ<115^\circ<180^\circ\) : l’angle est obtus.

\(180^\circ\) définit un angle plat.

\(72^\circ<90^\circ\) : l’angle est aigu.

Un angle obtus mesure strictement plus de \(90^\circ\) et strictement moins de \(180^\circ\).

On soustrait l’angle connu : \(120-47=73^\circ\).

La somme vaut \(180^\circ\) : \(180-68=112^\circ\).

Les mesures s’additionnent : \(35+55=90^\circ\).

\(180-124=56^\circ\).

Oui, car \(40+140=180\).

Non. « Supplémentaires » décrit seulement une somme de \(180^\circ\) ; les angles peuvent être situés ailleurs.

Il s’agit de \(\widehat{COD}\), formé par les demi-droites opposées à celles de \(\widehat{AOB}\).

Les angles opposés par le sommet sont égaux : \(\widehat{COD}=56^\circ\).

\(\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=180^\circ\), donc \(\widehat{BOC}=124^\circ\).

\(\widehat{DOA}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{BOC}\), donc il vaut \(124^\circ\).

Leurs côtés non communs \([OA)\) et \([OC)\) sont opposés et forment une droite, donc un angle plat.

\(\widehat{BOC}\) et \(\widehat{DOA}\) sont opposés par le sommet.

\(180-52-67=61^\circ\).

\(180-90-35=55^\circ\).

\(180-45-45=90^\circ\).

\(180-30-60=90^\circ\).

\(180-72-54=54^\circ\).

\(180-115-25=40^\circ\).

Une bissectrice partage l’angle en deux angles égaux : \(\widehat{xOB}=37^\circ\).

\(37+37=74^\circ\).

\(126/2=63^\circ\) de chaque côté.

\(42+42=84^\circ\).

La demi-droite intérieure est une bissectrice si elle partage bien l’angle initial en ces deux angles égaux.

Il faut vérifier qu’elle part du sommet, est intérieure à l’angle et forme deux angles de même mesure.

Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles et sont coupées par la même sécante. Les angles \(b\) et \(f\) occupent la même position relative aux deux intersections : ce sont des angles correspondants. Ils ont donc la même mesure : \[\boxed{f=64^\circ}.\]

Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une même sécante, les angles correspondants sont égaux. Ici, \(b\) et \(f\) sont correspondants ; ainsi \(b=f=64^\circ\).

Les angles \(a\) et \(b\) sont adjacents et leurs côtés non communs forment la droite \((d_1)\). Ils sont donc supplémentaires : \[a+b=180^\circ.\] Comme \(b=64^\circ\), \[a=180^\circ-64^\circ=\boxed{116^\circ}.\]

Les angles \(b\) et \(d\) sont opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure ; donc \[\boxed{d=64^\circ}.\]

Les angles \(a\) et \(e\) sont correspondants. Comme \(a=116^\circ\), on obtient \[\boxed{e=116^\circ}.\]

L’angle \(g\) est opposé par le sommet à \(e\), donc \[\boxed{g=116^\circ}.\] L’angle \(h\) est opposé par le sommet à \(f\), donc \[\boxed{h=64^\circ}.\] On retrouve ainsi quatre angles de \(64^\circ\) et quatre angles de \(116^\circ\) dans toute la configuration.

L’autre angle alterne-interne vaut \(112^\circ\).

Avec deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont égaux.

\(180-112=68^\circ\).

L’angle opposé par le sommet vaut \(112^\circ\).

Les angles aigus valent \(68^\circ\).

Les angles obtus valent \(112^\circ\).

L’opposé par le sommet vaut \(58^\circ\).

Chaque adjacent vaut \(180-58=122^\circ\).

Le correspondant vaut \(58^\circ\).

L’alterne-interne vaut aussi \(58^\circ\).

Les seules mesures sont \(58^\circ\) et \(122^\circ\).

Chacune apparaît quatre fois.

Ils ont la même mesure : \(71^\circ\).

Ils sont correspondants et déterminés par une même sécante avec les deux droites étudiées.

Si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

On conclut \((d)\parallel(d_2)\).

On sait que les angles correspondants mesurent tous deux \(71^\circ\). Or des angles correspondants égaux caractérisent deux droites parallèles. Donc \((d)\parallel(d_2)\).

Non avec cette seule information, car les angles correspondants ne sont pas égaux.

Les deux angles ont la même mesure : \(63^\circ\).

Ils sont situés entre les deux droites et de part et d’autre de la sécante : ils sont alternes-internes.

Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Les deux droites sont donc parallèles.

On sait que les deux angles alternes-internes ont la même mesure. Or l’égalité de deux angles alternes-internes caractérise le parallélisme. Donc les deux droites sont parallèles.

Il manquerait la position « alternes-internes » ; l’égalité de deux angles quelconques ne suffit pas.

Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux : le second vaut \(70^\circ\).

\(180-70-70=40^\circ\).

Il reste \(180-84=96^\circ\), partagé également : \(48^\circ\) chacun.

Les angles à la base sont égaux : \(B=58^\circ\).

\(C=180-58-58=64^\circ\).

Après l’angle droit il reste \(90^\circ\), partagé en deux angles égaux : \(45^\circ\) et \(45^\circ\).

\(180-90-38=52^\circ\).

\(180-90-27=63^\circ\).

Le troisième angle vaut \(45^\circ\) ; les deux angles aigus sont égaux, donc le triangle est rectangle isocèle.

\(180-35-55=90^\circ\).

Il possède un angle droit : il est rectangle.

Deux angles droits totaliseraient déjà \(180^\circ\), laissant \(0^\circ\) au troisième sommet, ce qui ne forme pas un triangle.

\(180-126=54^\circ\).

Il vaut \(126^\circ\).

Il vaut \(126^\circ\) car les droites sont parallèles.

Il vaut \(54^\circ\), suivant sa position, car les angles aigus sont supplémentaires des obtus.

Les mesures sont \(126^\circ\) et \(54^\circ\).

On transporte d’abord la mesure grâce au parallélisme, puis on utilise angles opposés par le sommet et angles supplémentaires.

\(A=180-54-72=54^\circ\).

L’angle correspondant ou alterne-interne formé par \((AB)\) et la parallèle \((d)\) est égal à l’angle en \(B\).

Il mesure \(54^\circ\).

De même, l’angle formé par \((AC)\) et \((d)\) du bon côté est égal à l’angle en \(C\).

Il mesure \(72^\circ\).

On obtient \(54+54+72=180^\circ\), cohérent avec l’angle plat porté par \((d)\).

L’angle alternes-internes correspondant vaut \(52^\circ\).

Le second angle transporté par le parallélisme vaut \(47^\circ\).

\(180-52-47=81^\circ\).

Son opposé par le sommet vaut \(81^\circ\).

Son supplémentaire vaut \(180-81=99^\circ\).

On utilise : angles formés par des parallèles, somme des angles du triangle, puis angles opposés/supplémentaires.

Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles et la droite \((SC)\) est une sécante. L’angle indiqué de \(52^\circ\) en \(A\) et l’angle \(\widehat{SCD}\) sont alternes-internes. Ils ont donc la même mesure : \(\widehat{SCD}=52^\circ\).

La droite \((SD)\) coupe les mêmes parallèles. L’angle indiqué de \(47^\circ\) en \(B\) et \(\widehat{CDS}\) sont alternes-internes. Donc \(\widehat{CDS}=47^\circ\).

Dans le triangle \(SCD\), la somme des angles vaut \(180^\circ\). Ainsi \(\widehat{CSD}=180^\circ-52^\circ-47^\circ=81^\circ\).

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. L’angle opposé à \(\widehat{CSD}\) mesure donc aussi \(81^\circ\).

Deux angles supplémentaires ont une somme de \(180^\circ\). Le supplémentaire de \(81^\circ\) vaut donc \(180^\circ-81^\circ=99^\circ\).

On utilise successivement : l’égalité des angles alternes-internes déterminés par deux parallèles, la somme des angles d’un triangle, la propriété des angles opposés par le sommet, puis la définition de deux angles supplémentaires.

Vrai : c’est la propriété des angles opposés par le sommet.

Faux : ils doivent seulement avoir une somme de \(180^\circ\), sans obligation d’être adjacents.

Faux : ils sont égaux lorsque les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

Vrai : c’est une propriété du parallélisme.

Vrai : c’est la réciproque utilisée pour caractériser le parallélisme.

Faux : deux angles obtus seraient chacun supérieurs à \(90^\circ\), leur somme dépasserait déjà \(180^\circ\).

Il faut préciser qu’ils sont déterminés par une même sécante avec deux droites étudiées ; on ne peut pas parler de « toutes les droites ».

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants ont la même mesure.

Si deux angles correspondants déterminés par une sécante ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.

Non : une somme de \(180^\circ\) définit des angles supplémentaires, pas nécessairement adjacents.

Non. Les opposés par le sommet sont égaux ; ils ne sont supplémentaires que s’ils valent chacun \(90^\circ\).

Par exemple deux angles opposés de \(60^\circ\) sont égaux mais leur somme vaut \(120^\circ\), pas \(180^\circ\).

Ils forment ensemble un angle plat, donc ils sont supplémentaires.

\((3x+10)+(2x+20)=180\).

\(5x+30=180\).

\(5x=150\), donc \(x=30\).

Premier angle : \(3\times30+10=100^\circ\). Second : \(2\times30+20=80^\circ\).

\(100+80=180^\circ\), donc le résultat est cohérent.

La somme des trois angles vaut \(180^\circ\).

\(x+(x+20)+(x+40)=180\).

\(3x+60=180\), donc \(3x=120\) et \(x=40\).

Les angles sont \(40^\circ,60^\circ,80^\circ\).

\(40+60+80=180\).

Les trois angles sont aigus et différents ; le triangle est donc aigu et non isocèle d’après ces mesures.

\(118+62=180^\circ\).

Les deux angles sont supplémentaires.

L’angle adjacent au premier vaut \(180-118=62^\circ\).

On obtient \(62^\circ\).

Cet angle de \(62^\circ\) est alors égal à l’angle alterne-interne ou correspondant situé sur l’autre droite selon la figure.

On transforme la supplémentarité en une égalité d’angles de bonne position ; la réciproque des propriétés d’angles permet alors de conclure que les droites sont parallèles.

Par angles correspondants ou alternes-internes, la mesure transportée reste \(65^\circ\).

De même, la seconde mesure transportée est \(42^\circ\).

Dans le triangle, le troisième angle vaut \(180-65-42=73^\circ\).

L’angle opposé par le sommet vaut \(73^\circ\).

Le supplémentaire vaut \(180-73=107^\circ\).

Identifier d’abord les parallèles et transporter les mesures ; utiliser ensuite la somme du triangle ; terminer par opposés par le sommet et supplémentaires.

\(A=180-58-67=55^\circ\).

L’angle formé par \((AB)\) et la parallèle du bon côté est égal à \(B\), donc \(58^\circ\).

L’angle correspondant lié à \((AC)\) vaut \(67^\circ\).

\(58+55+67=180^\circ\).

Les deux angles du triangle en \(B\) et \(C\) sont transportés en \(A\) ; avec l’angle \(A\), ils forment un angle plat.

On utilise l’égalité d’angles alternes-internes ou correspondants déterminés par des droites parallèles.

Oui : l’égalité de deux angles correspondants de la même configuration permet la réciproque, donc parallélisme.

Oui : l’égalité de deux alternes-internes permet de conclure au parallélisme.

Non : ils ne sont pas égaux ; cette donnée ne permet pas la réciproque des correspondants.

Non : être supplémentaires au même sommet ne relie pas deux droites différentes coupées par une sécante.

Non : les angles opposés par le sommet sont toujours égaux, quelle que soit l’orientation des autres droites ; cela ne prouve aucun parallélisme supplémentaire.

On ne peut pas conclure rigoureusement : il faut vérifier qu’il s’agit bien d’angles correspondants déterminés par une même sécante.

Faux : deux angles de \(40^\circ\) placés en des sommets différents sont égaux sans être opposés par le sommet ; un contre-exemple suffit.

Vrai : c’est une propriété générale des deux droites sécantes ; on la cite comme preuve.

Vrai dans la configuration d’une même sécante avec les deux droites ; c’est la réciproque de la propriété des angles correspondants.

Faux : deux angles situés à des endroits différents peuvent mesurer \(70^\circ\) et \(110^\circ\) ; ils sont supplémentaires sans être adjacents.

Vrai : c’est une propriété caractéristique du triangle isocèle.

Faux : deux angles droits totaliseraient déjà \(180^\circ\), donc le troisième serait nul.

Les droites sont parallèles et les angles sont correspondants ; ils ont donc la même mesure.

\(4x-7=2x+39\).

\(2x=46\), donc \(x=23\).

\(4\times23-7=92-7=85^\circ\) ; l’autre expression donne aussi \(46+39=85^\circ\).

\(180-85=95^\circ\).

Les deux expressions donnent \(85^\circ\), ce qui confirme l’égalité attendue.

Non : \(76\neq104\).

Non, car cette réciproque exige l’égalité des angles correspondants.

Non à elle seule : des correspondants supplémentaires ne caractérisent pas le parallélisme.

L’angle adjacent à \(76^\circ\) vaut \(180-76=104^\circ\).

Il faudrait identifier un angle correspondant ou alterne-interne de \(76^\circ\) sur l’autre intersection.

Les deux angles donnés ne permettent pas de conclure au parallélisme comme correspondants ; il faut une égalité d’angles de la bonne position ou une autre propriété adaptée.

Par exemple, tracer par \(A\) une droite parallèle à \((BC)\).

L’angle formé par \((AB)\) et cette parallèle est égal à \(\widehat B\) par angles alternes-internes/correspondants.

L’angle formé par \((AC)\) et la parallèle de l’autre côté est égal à \(\widehat C\).

Avec \(\widehat A\), ils forment un angle plat.

Un angle plat mesure \(180^\circ\), donc \(A+B+C=180^\circ\).

Tracer par \(A\) une parallèle à \((BC)\). Les angles en \(B\) et \(C\) se retrouvent en \(A\) par les propriétés des parallèles. Avec l’angle \(A\), ils composent un angle plat ; leur somme vaut donc \(180^\circ\).

Pour des voies parallèles, l’angle correspondant doit mesurer \(38^\circ\).

Ils sont supplémentaires des angles aigus : \(180-38=142^\circ\).

Non dans un modèle mathématique exact : \(39^\circ\neq38^\circ\), donc la réciproque ne s’applique pas exactement.

L’égalité de deux angles correspondants déterminés par la route-sécante caractérise le parallélisme.

En pratique, toute mesure a une incertitude ; il faut préciser une tolérance technique, différente de l’égalité mathématique parfaite.

Mathématiquement, l’égalité doit être exacte dans le modèle ; expérimentalement, on juge la compatibilité avec les incertitudes de mesure.

\(A=180-58-67=55^\circ\).

Par les angles correspondants/alternes-internes avec \((d)\parallel(BC)\), cet angle vaut \(58^\circ\).

De même, l’autre angle vaut \(67^\circ\).

\(58+55+67=180^\circ\), cohérent avec l’angle plat porté par \((d)\).

La bissectrice partage \(55^\circ\) en deux angles de \(27{,}5^\circ\).

On utilise successivement la somme des angles du triangle, les propriétés des angles déterminés par des parallèles, l’angle plat comme contrôle, puis la définition de la bissectrice.