Exercices — Angles et propriétés géométriques (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur la reconnaissance, la mesure, la comparaison et les propriétés des angles : angle nul, aigu, droit, obtus, plat, angles adjacents, opposés par le sommet, complémentaires, supplémentaires et somme des angles.
Exercice 1 — Reconnaître la nature d’un angle
Indiquer la nature de chaque angle :
\[ 0^\circ,\quad 35^\circ,\quad 90^\circ,\quad 120^\circ,\quad 180^\circ \]
\[ 0^\circ,\quad 35^\circ,\quad 90^\circ,\quad 120^\circ,\quad 180^\circ \]
Corrigé :
\[
0^\circ
\] : angle nul.
\[ 35^\circ \] : angle aigu.
\[ 90^\circ \] : angle droit.
\[ 120^\circ \] : angle obtus.
\[ 180^\circ \] : angle plat.
\[ 35^\circ \] : angle aigu.
\[ 90^\circ \] : angle droit.
\[ 120^\circ \] : angle obtus.
\[ 180^\circ \] : angle plat.
Exercice 2 — Comparer des angles
Compléter avec \(<\), \(>\) ou \(=\) :
\[ 45^\circ \;...\; 90^\circ,\quad 120^\circ \;...\; 110^\circ,\quad 60^\circ \;...\; 60^\circ \]
\[ 45^\circ \;...\; 90^\circ,\quad 120^\circ \;...\; 110^\circ,\quad 60^\circ \;...\; 60^\circ \]
Corrigé :
\[
45^\circ < 90^\circ,\quad 120^\circ > 110^\circ,\quad 60^\circ = 60^\circ
\]
Exercice 3 — Vocabulaire
Dans l’angle \(\widehat{ABC}\), quel est le sommet ? Quelles sont les demi-droites qui forment cet angle ?
Corrigé :
Dans l’angle \(\widehat{ABC}\), le sommet est \(B\).
Les deux demi-droites qui forment l’angle sont \([BA)\) et \([BC)\).
Les deux demi-droites qui forment l’angle sont \([BA)\) et \([BC)\).
Exercice 4 — Mesurer un angle
Un angle mesure \(78^\circ\). Est-il aigu, droit ou obtus ?
Corrigé :
Comme :
\[
0^\circ < 78^\circ < 90^\circ
\]
cet angle est un angle aigu.
Exercice 5 — Identifier un angle plat
Deux demi-droites opposées forment quel type d’angle ? Quelle est sa mesure ?
Corrigé :
Deux demi-droites opposées forment un angle plat.
Sa mesure est : \[ 180^\circ \]
Sa mesure est : \[ 180^\circ \]
Exercice 6 — Angles adjacents
Expliquer ce que sont deux angles adjacents.
Corrigé :
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont :
- le même sommet ;
- un côté commun ;
- et que leurs intérieurs ne se chevauchent pas.
- le même sommet ;
- un côté commun ;
- et que leurs intérieurs ne se chevauchent pas.
Exercice 7 — Somme de deux angles adjacents
Deux angles adjacents mesurent \(35^\circ\) et \(55^\circ\). Quelle est la mesure de leur réunion ?
Corrigé :
Comme ils sont adjacents, on additionne leurs mesures :
\[
35^\circ + 55^\circ = 90^\circ
\]
Leur réunion mesure donc :
\[
90^\circ
\]
Exercice 8 — Angles complémentaires
Deux angles sont complémentaires. L’un mesure \(28^\circ\). Calculer l’autre.
Corrigé :
Deux angles complémentaires ont une somme égale à :
\[
90^\circ
\]
Donc l’autre angle mesure :
\[
90^\circ - 28^\circ = 62^\circ
\]
Exercice 9 — Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires. L’un mesure \(117^\circ\). Calculer l’autre.
Corrigé :
Deux angles supplémentaires ont une somme égale à :
\[
180^\circ
\]
Donc l’autre angle mesure :
\[
180^\circ - 117^\circ = 63^\circ
\]
Exercice 10 — Angle droit partagé
Un angle droit est partagé en deux angles adjacents. L’un mesure \(41^\circ\). Calculer l’autre.
Corrigé :
Un angle droit mesure :
\[
90^\circ
\]
Donc l’autre angle mesure :
\[
90^\circ - 41^\circ = 49^\circ
\]
Exercice 11 — Angles opposés par le sommet
Deux droites sécantes forment un angle de \(68^\circ\). Quelle est la mesure de l’angle opposé par le sommet ?
Corrigé :
Les angles opposés par le sommet sont égaux.
Donc l’angle opposé mesure : \[ 68^\circ \]
Donc l’angle opposé mesure : \[ 68^\circ \]
Exercice 12 — Angles autour d’un point
La somme des angles autour d’un point vaut \(360^\circ\).
Trois angles mesurent \(110^\circ\), \(90^\circ\) et \(75^\circ\). Calculer le quatrième.
Trois angles mesurent \(110^\circ\), \(90^\circ\) et \(75^\circ\). Calculer le quatrième.
Corrigé :
On additionne les trois angles connus :
\[
110^\circ + 90^\circ + 75^\circ = 275^\circ
\]
Donc le quatrième angle vaut :
\[
360^\circ - 275^\circ = 85^\circ
\]
Exercice 13 — Triangle
Dans un triangle, deux angles mesurent \(48^\circ\) et \(67^\circ\). Calculer le troisième angle.
Corrigé :
Dans un triangle, la somme des angles vaut :
\[
180^\circ
\]
Donc le troisième angle vaut :
\[
180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ
\]
Exercice 14 — Triangle isocèle
Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base mesurent \(72^\circ\). Calculer l’angle au sommet.
Corrigé :
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
Leur somme vaut : \[ 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ \] Donc l’angle au sommet vaut : \[ 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \]
Leur somme vaut : \[ 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ \] Donc l’angle au sommet vaut : \[ 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \]
Exercice 15 — Vérifier une affirmation
Un élève affirme : “Deux angles de \(95^\circ\) et \(85^\circ\) sont complémentaires.” A-t-il raison ?
Corrigé :
On calcule :
\[
95^\circ + 85^\circ = 180^\circ
\]
Ce ne sont donc pas des angles complémentaires mais des angles supplémentaires.
L’élève a tort.
L’élève a tort.
Exercice 16 — Demi-droites et angle nul
Deux demi-droites confondues forment quel angle ? Quelle est sa mesure ?
Corrigé :
Deux demi-droites confondues forment un angle nul.
Sa mesure est : \[ 0^\circ \]
Sa mesure est : \[ 0^\circ \]
Exercice 17 — Figure avec droites sécantes
Deux droites sécantes forment un angle de \(132^\circ\).
Calculer les trois autres angles.
Calculer les trois autres angles.
Corrigé :
L’angle opposé par le sommet vaut aussi :
\[
132^\circ
\]
Les deux angles adjacents sont supplémentaires de \(132^\circ\), donc chacun vaut :
\[
180^\circ - 132^\circ = 48^\circ
\]
Les trois autres angles sont donc :
\[
132^\circ,\quad 48^\circ,\quad 48^\circ
\]
Exercice 18 — Angle manquant dans une figure
Trois angles adjacents forment un angle plat. Deux d’entre eux mesurent \(35^\circ\) et \(64^\circ\). Calculer le troisième.
Corrigé :
Un angle plat mesure :
\[
180^\circ
\]
Donc le troisième angle vaut :
\[
180^\circ - 35^\circ - 64^\circ = 81^\circ
\]
Exercice 19 — Raisonnement
Expliquer pourquoi deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.
Corrigé :
Lorsque deux droites sont sécantes, deux angles opposés par le sommet ont chacun un angle adjacent commun.
Or deux angles adjacents alignés sont supplémentaires.
Chacun des deux angles opposés est donc égal à \(180^\circ\) moins le même angle, donc ils sont égaux.
Or deux angles adjacents alignés sont supplémentaires.
Chacun des deux angles opposés est donc égal à \(180^\circ\) moins le même angle, donc ils sont égaux.
Exercice 20 — Problème final
Autour d’un point, quatre angles successifs mesurent respectivement \(x\), \(x+20\), \(2x\) et \(60\) degrés.
Calculer \(x\).
Calculer \(x\).
Corrigé :
La somme des angles autour d’un point vaut :
\[
360^\circ
\]
Donc :
\[
x+(x+20)+2x+60=360
\]
\[
4x+80=360
\]
\[
4x=280
\]
\[
x=70
\]
Donc :
\[
x=70^\circ
\]