Exercices premium — Volumes : pyramide et cône
Du calcul direct aux problèmes concrets : formules, unités au cube, conversions (cm³ ↔ mL, dm³ ↔ L),
débit/vitesse de remplissage, situations « pièges ».
Exercice 1 — Pyramide à base rectangulaire (direct)
Une pyramide a une base rectangle \(10\,cm \times 6\,cm\) et une hauteur \(h=12\,cm\).
Calculer son volume en \(cm^3\), puis en \(mL\).
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Aire de base :
\[
A_{\text{base}} = 10\times 6 = 60\;cm^2
\]
Volume :
\[
V=\frac13 \times 60 \times 12
= \frac13 \times 720
= 240\;cm^3
\]
Conversion :
\[
240\;cm^3 = 240\;mL
\]
Réflexe
\(1\,mL = 1\,cm^3\).
Exercice 2 — Cône : valeur exacte puis approchée
Un cône a un rayon \(r=7\,cm\) et une hauteur \(h=9\,cm\).
Donner son volume en \(cm^3\) :
1) en valeur exacte (avec \(\pi\)) ;
2) en valeur approchée à \(0{,}1\) près (prendre \(\pi \approx 3{,}14\)).
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\[
V=\frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 7^2 \times 9
=\frac13 \pi \times 49 \times 9
=147\pi\;cm^3
\]
Valeur approchée :
\[
147\pi \approx 147\times 3{,}14 = 461{,}58 \approx 461{,}6\;cm^3
\]
Piège
Ne pas oublier le \(\frac13\) : sans lui on ferait un cylindre.
Exercice 3 — Unités mélangées : convertir avant de calculer
Une pyramide a une base carrée de côté \(0{,}8\,dm\) et une hauteur \(12\,cm\).
Calculer son volume en \(cm^3\).
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Convertir le côté en \(cm\) :
\[
0{,}8\,dm = 8\,cm
\]
Aire de base :
\[
A_{\text{base}} = 8^2 = 64\;cm^2
\]
Volume :
\[
V=\frac13 \times 64 \times 12
=\frac13 \times 768
=256\;cm^3
\]
Bon réflexe
Toujours mettre toutes les longueurs dans la même unité.
Exercice 4 — Piège : hauteur ≠ arête oblique
On considère un cône de rayon \(r=4\,cm\).
On te donne la longueur d’une génératrice (arête oblique) \(g=10\,cm\).
La hauteur du cône est \(h= ?\)
1) Calculer \(h\) (on admet que le triangle formé par \(r\), \(h\), \(g\) est rectangle). 2) Puis calculer le volume du cône en \(cm^3\) (valeur exacte en \(\pi\)).
1) Calculer \(h\) (on admet que le triangle formé par \(r\), \(h\), \(g\) est rectangle). 2) Puis calculer le volume du cône en \(cm^3\) (valeur exacte en \(\pi\)).
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1) Dans la section, on a un triangle rectangle avec :
\[
g^2 = r^2 + h^2
\]
donc
\[
h^2 = g^2 - r^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84
\]
\[
h = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\;cm
\]
2) Volume :
\[
V=\frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 4^2 \times 2\sqrt{21}
=\frac13 \pi \times 16 \times 2\sqrt{21}
=\frac{32\pi\sqrt{21}}{3}\;cm^3
\]
Piège expliqué
La génératrice \(g\) n’est pas la hauteur : la hauteur est perpendiculaire à la base.
Exercice 5 — Cône : résultat en litres
Un entonnoir est modélisé par un cône de rayon \(r=9\,cm\) et de hauteur \(h=20\,cm\).
1) Calculer son volume en \(cm^3\) (valeur approchée au \(cm^3\) près, \(\pi \approx 3{,}14\)).
2) Donner le volume en litres.
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\[
V=\frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 9^2 \times 20
=\frac13 \pi \times 81 \times 20
=540\pi\;cm^3
\]
\[
540\pi \approx 540\times 3{,}14 = 1695{,}6 \approx 1696\;cm^3
\]
En litres :
\[
1696\;cm^3 = 1696\;mL = 1{,}696\;L \approx 1{,}70\;L
\]
Conversion
\(\;1000\,cm^3 = 1\,L\).
Exercice 6 — Débit : temps de remplissage d’une pyramide
Un réservoir en forme de pyramide a une base carrée de côté \(18\,cm\) et une hauteur \(h=24\,cm\).
Il se remplit avec un débit constant de \(0{,}45\,L\) par minute.
Calculer le temps nécessaire pour le remplir complètement (en minutes puis en secondes).
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Aire de base :
\[
A_{\text{base}}=18^2=324\;cm^2
\]
Volume :
\[
V=\frac13 \times 324 \times 24
=\frac13 \times 7776
=2592\;cm^3
\]
Conversion en litres :
\[
2592\;cm^3 = 2{,}592\;L
\]
Temps :
\[
t=\frac{2{,}592}{0{,}45}\approx 5{,}76\;\text{min}
\]
En secondes : \(0{,}76\times 60 \approx 45{,}6\) s, donc environ 5 min 46 s.
Méthode
Toujours : temps = volume ÷ débit (avec des unités cohérentes : ici en litres).
Exercice 7 — Vitesse de vidange : cône (mL/s)
Un récipient conique a un rayon \(r=6\,cm\) et une hauteur \(h=18\,cm\).
Il se vide à débit constant de \(35\,mL\) par seconde.
Calculer la durée de vidange complète (en secondes puis en minutes).
(On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).)
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Volume :
\[
V=\frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 6^2 \times 18
=\frac13 \pi \times 36 \times 18
=216\pi\;cm^3
\]
\[
216\pi \approx 216\times 3{,}14 = 678{,}24\;cm^3
\]
Or \(1\,cm^3 = 1\,mL\), donc \(V \approx 678{,}24\,mL\).
Durée :
\[
t = \frac{678{,}24}{35} \approx 19{,}38\;s
\]
donc environ \(19\) s.
En minutes : \(19{,}38/60 \approx 0{,}323\) min (environ \(0{,}32\) min).
Vérification
Le débit est en \(mL/s\), donc il fallait exprimer le volume en \(mL\).
Exercice 8 — Problème mixte : comparaison (pyramide vs cône)
On compare deux récipients :
• Récipient A : pyramide à base carrée de côté \(12\,cm\), hauteur \(15\,cm\). • Récipient B : cône de rayon \(6\,cm\), hauteur \(15\,cm\).
1) Calculer les volumes \(V_A\) et \(V_B\) (en \(cm^3\), valeur exacte avec \(\pi\) pour B). 2) Lequel contient le plus ? Justifier.
• Récipient A : pyramide à base carrée de côté \(12\,cm\), hauteur \(15\,cm\). • Récipient B : cône de rayon \(6\,cm\), hauteur \(15\,cm\).
1) Calculer les volumes \(V_A\) et \(V_B\) (en \(cm^3\), valeur exacte avec \(\pi\) pour B). 2) Lequel contient le plus ? Justifier.
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A : \(A_{\text{base}} = 12^2 = 144\;cm^2\)
\[
V_A = \frac13 \times 144 \times 15
= \frac13 \times 2160
= 720\;cm^3
\]
B :
\[
V_B = \frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 6^2 \times 15
=\frac13 \pi \times 36 \times 15
=180\pi\;cm^3
\]
\[
180\pi \approx 565{,}2\;cm^3
\]
Comparaison : \(720 > 565{,}2\).
Donc le récipient A (pyramide) contient plus.
Lecture intelligente
Même hauteur, mais bases différentes : le carré de côté 12 donne une aire plus grande
que le disque de rayon 6.