Cours premium — Volumes : pyramide et cône
Formules • unités au cube • conversions (cm³ ↔ mL, dm³ ↔ L) • méthodes • problèmes concrets (débit/vitesse).
0) Prérequis — volumes « de base »
Avant la pyramide et le cône, on utilise souvent :
Prisme droit
\[
V_{\text{prisme}} = A_{\text{base}} \times h
\]
où \(A_{\text{base}}\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur (distance entre les deux bases).
Cylindre
Base = disque de rayon \(r\) : \(\;A_{\text{base}}=\pi r^2\).
\[
V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 \times h
\]
Astuce
Dans tous les volumes « type prisme », on retrouve aire de base × hauteur.
Pour la pyramide et le cône, on garde la même idée… avec un facteur \(\frac13\).
1) Pyramide — formule et repérage de la hauteur
Définition
Une pyramide a une base (polygone) et un sommet relié à tous les sommets de la base.
La hauteur \(h\) est la distance perpendiculaire du sommet au plan de la base.
Formule du volume
\[
V_{\text{pyramide}}=\frac13 \times A_{\text{base}} \times h
\]
⚠️ Ne pas confondre la hauteur \(h\) avec une arête oblique (une « côté » qui monte).
Piège classique
Si on te donne une longueur « sur la face » (par exemple une apothème ou une arête),
ce n’est pas forcément la hauteur. La hauteur est perpendiculaire à la base.
2) Cône — formule et lien avec le cylindre
Définition
Un cône de révolution a une base disque de rayon \(r\) et une hauteur \(h\)
(distance perpendiculaire du sommet au centre de la base).
Aire de base
\[
A_{\text{base}}=\pi r^2
\]
Formule du volume
\[
V_{\text{cône}}=\frac13 \times \pi r^2 \times h
\]
Idée clé
Un cône a le même volume qu’un cylindre de même base et même hauteur… divisé par 3 :
\[
V_{\text{cône}}=\frac13\,V_{\text{cylindre}}
\]
3) Unités & conversions — le point piège
Règle n°1 : un volume s’exprime en unités au cube
Exemples : \(cm^3\), \(dm^3\), \(m^3\).
⚠️ Si tu changes d’unité de longueur, le volume change au cube.
Conversions indispensables
1 dm = 10 cm donc
\[
1\,dm^3 = (10\,cm)^3 = 1000\,cm^3
\]
Litres :
\[
1\,L = 1\,dm^3
\qquad\text{et}\qquad
1\,mL = 1\,cm^3
\]
Méthode
Quand tu as un résultat en \(cm^3\), tu peux le lire en \(mL\).
Quand tu as un résultat en \(dm^3\), tu peux le lire en \(L\).
4) Méthode générale (pyramide / cône)
1
Identifier la base
Polygone (pyramide) ou disque (cône).
2
Calculer l’aire de base \(A_{\text{base}}\)
Exemple disque : \(A_{\text{base}}=\pi r^2\).
3
Repérer la hauteur \(h\)
C’est la distance perpendiculaire à la base (pas une longueur « en biais »).
4
Appliquer la formule
\[
V=\frac13 \times A_{\text{base}} \times h
\]
5
Convertir si besoin
\(cm^3 \leftrightarrow mL\), \(dm^3 \leftrightarrow L\), \(m^3 \leftrightarrow L\) (attention : \(1\,m^3=1000\,L\)).
5) Exemples guidés
Exemple 1 — Pyramide à base rectangulaire
Une pyramide a une base rectangle \(6\,cm\) par \(4\,cm\) et une hauteur \(h=9\,cm\).
Calculer son volume.
Solution guidée
Aire de base :
\[
A_{\text{base}} = 6 \times 4 = 24\;cm^2
\]
Volume :
\[
V=\frac13 \times 24 \times 9
= \frac13 \times 216
= 72\;cm^3
\]
Interprétation : \(72\;cm^3 = 72\;mL\).
Exemple 2 — Cône : volume en litres
Un cône a un rayon \(r=6\,cm\) et une hauteur \(h=15\,cm\).
Calculer \(V\) en \(cm^3\), puis en litres.
Solution guidée
\[
V=\frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 6^2 \times 15
=\frac13 \pi \times 36 \times 15
= 180\pi\;cm^3
\]
Valeur approchée :
\[
180\pi \approx 180 \times 3{,}14 \approx 565{,}2\;cm^3
\]
Conversion :
\[
565{,}2\;cm^3 = 565{,}2\;mL \approx 0{,}565\;L
\]
Attention
On ne passe pas de \(cm^3\) à \(L\) en « divisant par 10 ».
On utilise \(1000\,cm^3 = 1\,L\).
Exemple 3 — Débit : temps de remplissage d’un cône
On remplit un récipient en forme de cône de rayon \(5\,cm\) et de hauteur \(12\,cm\),
avec un débit constant de \(200\,mL\) par minute.
Combien de temps faut-il pour le remplir ?
Méthode + calcul
1) Volume du cône :
\[
V=\frac13 \pi r^2 h
=\frac13 \pi \times 5^2 \times 12
=\frac13 \pi \times 25 \times 12
=100\pi\;cm^3
\]
\[
100\pi \approx 314\;cm^3 = 314\;mL
\]
2) Temps = volume ÷ débit :
\[
t = \frac{314}{200} \approx 1{,}57\;\text{min}
\]
Donc environ \(1\) minute \(34\) secondes (car \(0{,}57 \times 60 \approx 34\)).
Exemple 4 — Conversion avant calcul (piège d’unités)
Une pyramide a une base carrée de côté \(8\,cm\) et une hauteur \(0{,}9\,dm\).
Calculer le volume en \(cm^3\).
Solution guidée
Convertir d’abord la hauteur :
\[
0{,}9\,dm = 9\,cm
\]
Aire de base :
\[
A_{\text{base}} = 8^2 = 64\;cm^2
\]
Volume :
\[
V=\frac13 \times 64 \times 9
=\frac13 \times 576
=192\;cm^3
\]
6) Mini-bilan à connaître
✅ Pyramide :
\[
V=\frac13\,A_{\text{base}}\,h
\]
✅ Cône :
\[
V=\frac13\,\pi r^2 h
\]
✅ Conversions :
\[
1\,mL = 1\,cm^3
\qquad;\qquad
1\,L = 1\,dm^3 = 1000\,cm^3
\qquad;\qquad
1\,m^3 = 1000\,L
\]
Réflexe Bac/Brevet
Toujours vérifier : aires en unités², hauteurs en unités, résultat en unités³,
puis conversion éventuelle en \(mL\) ou \(L\).