Fiche ultra-synthèse — Frises et pavages (translations)
L’essentiel : vecteur • image • conservation • parallélisme • frises & pavages • rédaction type.
1️⃣ Vocabulaire (à connaître)
- Translation : déplacement “glissé” (même direction, même sens, même longueur)
- Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : direction + sens + longueur
- Image de \(M\) : point \(M'\) obtenu après la translation
- Motif : forme qui se répète
- Frise : répétition du motif dans une direction (pas de la frise)
- Pavage : répétition qui remplit le plan sans trous ni chevauchements
⚠️ Piège : “vecteur” ≠ “longueur”.
Un vecteur a aussi un sens et une direction.
2️⃣ Image d’un point par translation
\(M'\) est l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si :
\[
\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}
\]
Donc :
- \((MM')\parallel(AB)\)
- \(MM'=AB\)
- même sens que \(\overrightarrow{AB}\)
⚠️ Piège : écrire seulement \(MM'=AB\) ne suffit pas :
il faut aussi le parallélisme et le sens.
3️⃣ Conservation (invariants d’une translation)
Mesures conservées
- Longueurs conservées
- Angles conservés
- Aires conservées
Propriétés géométriques conservées
- Alignement conservé
- Parallélisme conservé
- Forme & orientation conservées (pas de retournement)
⚠️ Piège : une translation ne change pas l’angle :
une droite reste parallèle à son image.
4️⃣ Conséquences utiles (à réutiliser)
Si \(A\mapsto A'\) et \(B\mapsto B'\), alors :
- \((AB)\parallel(A'B')\)
- \(AB=A'B'\)
- \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\) (même vecteur de translation)
⚠️ Piège : ne pas écrire “\((AB)=(A'B')\)” :
on écrit \((AB)\parallel(A'B')\) et \(AB=A'B'\).
5️⃣ Frises & pavages : à repérer vite
Frise
- Motif répété dans une direction
- Pas : vecteur qui fait passer d’un motif au suivant
Pavage
- Motif qui remplit le plan
- Sans trous • sans chevauchements
- Souvent plusieurs translations (répétitions en “grille”)
⚠️ Pièges pavage :
- Un joli dessin peut ne pas paver (il peut rester des trous).
- Vérifier les “coins” : les angles qui se rencontrent doivent faire \(360^\circ\).
6️⃣ Rédaction type (à copier)
Construire l’image d’un point :
« On considère la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Le point \(M'\) est l’image de \(M\) si \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}\). Ainsi \((MM')\parallel(AB)\), \(MM'=AB\) et le sens est le même. »
Justifier une égalité de longueur / parallélisme :
« Une translation conserve les longueurs et le parallélisme. Donc si \([AB]\) a pour image \([A'B']\), alors \(AB=A'B'\) et \((AB)\parallel(A'B')\). »
Frise :
« Le motif se répète par translation : le vecteur du pas de la frise est le vecteur qui envoie un motif sur le suivant. »
✅ Checklist anti-erreurs
- J’ai identifié le vecteur : direction + sens + longueur.
- Pour une image \(M\mapsto M'\), j’ai bien \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}\).
- Je sais citer au moins 3 conservations (longueur, angle, aire).
- Je sais dire : “parallélisme conservé” \(\Rightarrow\) droites parallèles.
- Pour un pavage : pas de trous et pas de chevauchements.
- Je conclus avec une phrase claire.