Translations

Translation • vecteur • conservation des longueurs, angles et aires • parallélisme • construction d’images • frises et pavages (motifs répétitifs) — programme de 4e.

Cours Exercices Fiche Quiz
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Cours — Frises et pavages (translations)
Translation • vecteur • image d’un point • conservation (longueurs, angles, aires) • motifs répétitifs : frises & pavages.
4e Transformations Motifs
1️⃣ Translation : définition et vecteur

Une translation est un déplacement qui “glisse” toute la figure dans une même direction, de la même longueur et dans le même sens.

Vecteur \(\overrightarrow{u}\) : il indique
  • une direction
  • un sens
  • une longueur
On note la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : translation qui envoie \(A\) sur \(B\).
⚠️ Piège : un vecteur n’est pas un point : c’est un “déplacement”. Deux vecteurs peuvent être égaux même s’ils ne partent pas du même point.
2️⃣ Image d’un point par une translation

Soit la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). L’image d’un point \(M\) est le point \(M'\) tel que : \[ \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB} \]

Traduction géométrique :
\(MM'\) a la même direction, le même sens et la même longueur que \(AB\).
⚠️ Piège : ne pas confondre : \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}\) (vecteurs égaux) avec \(MM'=AB\) (juste une longueur).
3️⃣ Méthode : construire l’image d’un point
Construction (au choix) :
  1. Au calque : on “glisse” la figure selon le vecteur
  2. À la règle/équerre : on construit des parallèles

Méthode règle/équerre (très utilisée) :

  1. Tracer la droite passant par \(M\) parallèle à \((AB)\).
  2. Sur cette droite, reporter la longueur \(AB\) dans le même sens.
  3. Le point obtenu est \(M'\).
Mini-exemple guidé :
On veut l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
On construit \(M'\) tel que \((MM')\parallel(AB)\) et \(MM'=AB\) en respectant le sens de \(\overrightarrow{AB}\).
4️⃣ Invariants d’une translation (ce qui ne change pas)
Longueurs / angles / aires
  • Les longueurs sont conservées
  • Les angles sont conservés
  • Les aires sont conservées
Alignements / parallélisme
  • Un alignement reste un alignement
  • Le parallélisme est conservé
  • Les figures gardent la même “forme”
⚠️ Piège : une translation ne “tourne” pas la figure et ne la “retourne” pas : l’orientation est conservée.
5️⃣ Images de segments, droites et figures

Si \(A\) a pour image \(A'\) et \(B\) a pour image \(B'\), alors :

  • Le segment \([AB]\) a pour image \([A'B']\)
  • \((A'B')\parallel(AB)\)
  • \(A'B'=AB\)

Pour une figure entière, on translate tous ses points avec le même vecteur.

6️⃣ Frises : motifs répétés par translation

Une frise est un motif qui se répète le long d’une direction (souvent horizontale) par translations successives.

Vocabulaire :
  • Motif élémentaire : la “brique” qui se répète
  • Pas de la frise : le vecteur de translation qui permet de passer d’un motif au suivant
Exemple guidé :
Si le motif se répète tous les 4 cm vers la droite, le pas peut être un vecteur horizontal de longueur 4 cm (même direction, sens vers la droite).
7️⃣ Pavages : remplir le plan par translations (et répétitions)

Un pavage est une figure (ou un motif) qui se répète pour remplir le plan sans trous et sans chevauchements.

Ce qu’on vérifie souvent :
  • Les côtés qui “se touchent” sont de même longueur
  • Les angles “qui se rencontrent” s’additionnent pour faire \(360^\circ\)
  • On retrouve des translations pour passer d’une tuile à une autre
⚠️ Piège : un pavage n’est pas seulement “joli” : il faut qu’il n’y ait aucun trou et aucun recouvrement.
8️⃣ Rédaction type (à copier)
Image d’un point :

« Le point \(M'\) est l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}\). Ainsi, \((MM')\parallel(AB)\), \(MM'=AB\) et le sens est le même. »

Invariants :

« Une translation conserve les longueurs, les angles et les aires. Elle conserve aussi l’alignement et le parallélisme. »