Translations

Translation • vecteur • conservation des longueurs, angles et aires • parallélisme • construction d’images • frises et pavages (motifs répétitifs) — programme de 4e.

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Cours — Translations
Translation • vecteur • image d’un point • conservation des longueurs, angles et aires • parallélisme • frises et pavages (motifs répétitifs).
4e Transformations Géométrie
1️⃣ Translation : définition et vecteur

Une translation est un déplacement qui “glisse” toute une figure dans une même direction, dans le même sens et sur la même longueur.

Vecteur \(\overrightarrow{u}\) :
  • une direction
  • un sens
  • une longueur
La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la translation qui envoie le point \(A\) sur le point \(B\).
⚠️ Piège : un vecteur n’est pas un point. Deux vecteurs peuvent être égaux même s’ils ne partent pas du même point.
2️⃣ Image d’un point par une translation

Soit la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). L’image d’un point \(M\) est le point \(M'\) tel que :

\[ \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB} \]
Cela signifie que le segment \([MM']\) a :
  • la même direction que \([AB]\)
  • le même sens
  • la même longueur
⚠️ Piège : \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}\) est plus fort que \(MM'=AB\) : il faut aussi la direction et le sens.
3️⃣ Méthode : construire l’image d’un point
Méthode à la règle et à l’équerre :
  1. Tracer la droite passant par \(M\) parallèle à \((AB)\).
  2. Sur cette droite, reporter la longueur \(AB\) dans le même sens.
  3. Le point obtenu est l’image \(M'\).
Exemple guidé :
On construit \(M'\) tel que \((MM')\parallel(AB)\), \(MM'=AB\) et le sens est celui de \(\overrightarrow{AB}\).
4️⃣ Invariants d’une translation
Grandeurs conservées
  • les longueurs
  • les angles
  • les aires
Propriétés géométriques conservées
  • l’alignement
  • le parallélisme
  • la forme et l’orientation
⚠️ Piège : une translation ne tourne pas et ne retourne pas une figure.
5️⃣ Images de segments et de figures
Si \(A\mapsto A'\) et \(B\mapsto B'\), alors :
  • \((AB)\parallel(A'B')\)
  • \(AB=A'B'\)
  • \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\)

Pour une figure entière, on applique la même translation à chacun de ses points.

6️⃣ Frises : motifs répétés

Une frise est un motif qui se répète dans une seule direction par translations successives.

  • Motif élémentaire : la figure de base
  • Pas de la frise : le vecteur de translation entre deux motifs identiques
7️⃣ Pavages

Un pavage est une figure qui remplit le plan sans trous et sans chevauchements.

  • les côtés correspondants ont même longueur
  • les angles qui se rencontrent font \(360^\circ\)
  • on retrouve des translations entre les motifs
8️⃣ Rédaction type

« Le point \(M'\) est l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}\). Une translation conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme. »