Fiche ultra-synthèse — Proportionnalité
L’essentiel à connaître : reconnaître • coefficient • tableau • 4e proportionnelle • graphique • pièges.
1️⃣ Reconnaître une situation de proportionnalité
Définition : Deux grandeurs \(A\) et \(B\) sont proportionnelles s’il existe un nombre \(k\)
tel que :
\[
B = A \times k
\]
Le nombre \(k\) s’appelle coefficient de proportionnalité.
Tests rapides :
- Test × / ÷ : si on multiplie \(A\) par 2, alors \(B\) doit aussi être multiplié par 2.
- Test des quotients : dans un tableau, les rapports \(\dfrac{B}{A}\) doivent être constants (quand \(A \neq 0\)).
⚠️ Pas proportionnel si…
- on ajoute toujours la même valeur (ex : \(+3\))
- on change d’unités sans faire attention (kg ↔ g, min ↔ h)
2️⃣ Coefficient de proportionnalité \(k\)
Formules
Si \(\;B = A \times k\;\), alors :
\[ k = \frac{B}{A}\quad (A \neq 0) \]
Et si on veut remonter : \[ A = \frac{B}{k}\quad (k \neq 0) \]
Sens du coefficient
- \(k\) = prix unitaire si \(B\)=prix et \(A\)=quantité
- \(k\) = vitesse si \(B\)=distance et \(A\)=temps
- \(k\) = échelle (carte/plan) selon la définition
⚠️ Piège “inversé” : vérifier dans quel sens on multiplie.
Si on passe de “quantité” à “prix”, on multiplie par le prix unitaire. Mais l’inverse est une division.
Si on passe de “quantité” à “prix”, on multiplie par le prix unitaire. Mais l’inverse est une division.
3️⃣ Tableau de proportionnalité
Méthode A — Coefficient :
1) Calculer \(k = \dfrac{B}{A}\) sur une colonne connue.
2) Appliquer \(B = A \times k\) (ou \(A = \dfrac{B}{k}\)).
1) Calculer \(k = \dfrac{B}{A}\) sur une colonne connue.
2) Appliquer \(B = A \times k\) (ou \(A = \dfrac{B}{k}\)).
Méthode B — Retour à l’unité :
1) Trouver la valeur pour \(1\) (ex : prix pour 1 kg).
2) Multiplier par la nouvelle quantité.
1) Trouver la valeur pour \(1\) (ex : prix pour 1 kg).
2) Multiplier par la nouvelle quantité.
Méthode C — Produit en croix (si autorisé) :
Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}\), alors : \[ a \times x = b \times c \quad\Rightarrow\quad x = \frac{b \times c}{a} \]
Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}\), alors : \[ a \times x = b \times c \quad\Rightarrow\quad x = \frac{b \times c}{a} \]
⚠️ Pièges tableau :
- Ne pas mélanger les lignes (ex : kg avec euros, ou minutes avec km)
- Si \(A=0\), on ne peut pas calculer \(\dfrac{B}{A}\)
- Un seul “bon” rapport ne suffit pas : vérifier sur plusieurs colonnes
4️⃣ Quatrième proportionnelle
But : trouver une valeur manquante dans un tableau proportionnel.
Exemple type : \[ \frac{B_1}{A_1} = \frac{B_2}{A_2} \quad\Rightarrow\quad B_2 = \frac{A_2 \times B_1}{A_1} \]
Exemple type : \[ \frac{B_1}{A_1} = \frac{B_2}{A_2} \quad\Rightarrow\quad B_2 = \frac{A_2 \times B_1}{A_1} \]
⚠️ Piège “unités” : avant tout calcul, mettre les unités dans le même format :
- \(1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\)
- \(1\,\text{h} = 60\,\text{min}\)
- \(1\,\text{L} = 1000\,\text{mL}\)
5️⃣ Graphique : droite et passage par l’origine
Propriété : Si c’est proportionnel, la courbe est une droite qui
passe par l’origine \((0 ; 0)\).
Lecture graphique :
- Pour lire \(B\) à partir de \(A\) : partir de \(A\) sur l’axe horizontal, monter jusqu’à la droite, puis lire \(B\).
- Le coefficient \(k\) correspond à la “pente” : si \(A\) augmente de 1, \(B\) augmente de \(k\).
⚠️ Pièges graphique :
- Si la droite ne passe pas par \((0 ; 0)\) → pas proportionnel
- Attention aux échelles des axes (graduations différentes)
- Ne pas confondre “droite” et “proportionnalité” : une droite peut exister sans passer par l’origine
✅ Checklist express (anti-erreurs)
- Ai-je vérifié les unités ?
- Ai-je identifié le sens du coefficient \(k\) ?
- Ai-je vérifié que le rapport \(\dfrac{B}{A}\) est constant ?
- Si graphique : la droite passe-t-elle par \((0 ; 0)\) ?
- Ma réponse a-t-elle une unité (€, kg, min…) ?